Los tensores son matrices complejas que tienen propiedades específicas y diferentes. No toda colección multifacética es un tensor.

Existen dos tipos de tensores unidimensionales: los vectores y los covectores. Tanto los vectores como los covectores pueden representarse como una matriz accesible de números.

La única diferencia es que la vinculación de estos dos viene cuando se tiene una variedad de dígitos que representan el objeto sobre una base y quiere averiguar qué números complican la misma cosa en algún terreno diferente.

Los signos y las reglas de transformación son ligeramente distintos para los vectores y los covectores. Los vectores y los covectores suelen ser "columnas de números" o "líneas de números", respectivamente.

Diferencia de vectores y tensores

En resumen, un vector siempre será un tensor unidimensional; si tienes un tensor unidimensional, seguramente será un vector o un covector. Los tensores bidimensionales se conocen como matrices.

Hay cuatro tipos diferentes de tensores bidimensionales, pero no existen nombres específicos. En el caso de los vectores, las reglas de transformación son ligeramente diferentes cuando se pasa de una base a otra, pero no hay nombres específicos para estos tensores: son sólo matrices.

Tarde o temprano, se puede llamar "matriz" a cualquier matriz bidimensional, aunque no sea un tensor. De nuevo, para más detalles sobre la diferencia entre matriz y tensor, consulte la discusión anterior.

Qué hay que saber sobre los tensores

Los tensores son matrices complejas que tienen propiedades específicas y diferentes.

Los tensores son objetos matemáticos que pueden utilizarse para describir propiedades sustanciales, al igual que los escalares y los vectores. Los tensores son simplemente una inferencia de escalares y vectores; un escalar es un tensor de rango 0 y un vector es un tensor de rango 1.

El rango de un tensor se identifica por el número de aproximaciones (y, por tanto, la dimensionalidad de la matriz) necesarias para definirlo. Por ejemplo, las propiedades que requieren una aproximación ( o primer rango) pueden describirse fácilmente mediante un vector columna de 3×1.

Además, las propiedades que requieren dos órdenes (tensores de segundo rango) pueden definirse con nueve números, ya que en una matriz general de 3×3, 3n coeficientes pueden describir el tensor de enésimo rango.

La necesidad de tensores de segundo rango surge cuando necesitamos pensar en más de una dirección para describir 1 de estos aspectos físicos.

Un ejemplo perfecto de esto es si necesitamos saber la conductividad eléctrica de cualquier cristal isotrópico. Sabemos que en términos generales, los conductores isotrópicos que requieren obedecer la ley de Ohm y que es; j=σE. Esto significa que la densidad de corriente j es paralela al campo eléctrico dedicado, E y que cada parte de j es linealmente proporcional a cada elemento de E. (por ejemplo, j1 = σE1).

Componentes del campo eléctrico

Sin embargo, la densidad de corriente inducida en un material anisótropo no será necesariamente paralela al campo eléctrico implicado debido a las diferentes direcciones de flujo de corriente del cristal (un excelente ejemplo de ello es el grafito). Esto sugiere que, en general, cada componente del vector de densidad existente puede depender de todas las partes del campo eléctrico presente.

Así que, en general, La conductividad eléctrica es un tensor de 2º rango y puede fijarse mediante nueve coeficientes independientes, que puede ilustrarse en una matriz de 3×3.

Esto significa que la densidad de corriente j es paralela al campo eléctrico dedicado, E y que cada parte de j es linealmente proporcional a por campo.

Algunos ejemplos de tensores de segundo rango

Otros ejemplos de tensores de segundo rango son:

• Susceptibilidad eléctrica
• Conductividad térmica
• Estrés

Generalmente relacionan un vector con otro vector u otro tensor de doble rango con un escalar. Los tensores de más alto rango se instruyen para describir completamente propiedades que cuentan dos tensores de segundo rango (por ejemplo, Rigidez (4º rango): tensión y deformación) o un tensor de segundo rango y un vector (por ejemplo, Piezoelectricidad (3º rango): ansiedad y polarización).

Para ver estos y más ejemplos e investigar cómo el cambio de los componentes de los tensores afecta a estas propiedades, recorre el programa flash que aparece a continuación.

Introducción a los tensores

¿Qué es un vector?

Un vector es una matriz unidimensional de números, una matriz donde m o n es igual a 1. Al igual que una matriz, es posible realizar diversas operaciones matemáticas con un vector, y es fácil multiplicar matrices por vectores y viceversa.

Sin embargo, un tensor puede considerarse como una matriz generalizada que su rango puede describir.

El nivel de un tensor es un número entero de 0 o superior. Un escalar puede representar un tensor de rango 0, un tensor de rango uno puede representarse mediante un vector y una matriz puede representar un tensor de rango dos. También existen tensores de rango tres y superior, siendo estos últimos más difíciles de visualizar.

Además del rango, los tensores tienen características específicas relacionadas con la forma en que interactúan con otras entidades matemáticas. Si cualquiera de las entidades en una interacción transforma la otra entidad o entidades, entonces el tensor debe obedecer una regla de transformación similar.

Diferencia entre vectores y tensores

Vector es una matriz unidimensional de números, a menudo conocida como matriz, donde m o n = uno.

Todos los vectores suelen ser tensores. Pero no todos los tensores pueden ser vectores. Esto significa que los tensores son un objeto más extendido que un vector (en sentido estricto, aunque los matemáticos ensamblan tensores a través de vectores). Los tensores se describen técnicamente a través de dos objetos diferentes:

• Vectores
• Formas únicas (vectores "duales")

Los vectores son exclusivamente objetos para los que se sabe lo que indica contar dos cualesquiera de ellos (suma de vectores) a escalarlos (también conocida como multiplicación escalar).

Una forma, igualmente, tiene todas las mismas nociones; aparte de eso, puede operar sobre vectores y luego devolver escalares. Los ejemplos más prototípicos son los vectores euclidianos -puntos del espacio-.

Ejemplos de formularios únicos el "vector" de potencial magnético (no es un vector "verdadero") o el operador de gradiente .

Cuando se añaden otros supuestos apropiados, la propiedad más significativa es que las formas únicas y los vectores se convierten de alguna manera bajo un cambio de coordenadas. Éstas son las propiedades que más preocupan a los físicos cuando consultan sobre cosas como la teoría de la relatividad general.

Los tensores, por elongación, como objetos matemáticos son operadores "multilineales"; es decir, toman conjuntos de vectores (y formas únicas) y devuelven otro tensor (a diferencia de los operadores lineales, que toman vectores y devuelven vectores). Tienen usos diversos.

Supongamos que quieres entender la teoría general de los tensores. En ese caso, deberías realizar álgebra abstracta e increíblemente álgebra lineal), y si vas a entender el cálculo tensorial, también deberías entender la teoría de las variedades diferenciables.

Reflexiones finales

En este artículo ha aprendido que:

• Los tensores son matrices multidimensionales con distintas propiedades.
• No toda colección multifacética es un tensor.
• Un vector es siempre un tensor unidimensional, y un tensor unidimensional es siempre un vector o un covector. Matriz es el nombre que reciben los tensores bidimensionales.
• Un vector es una matriz unidimensional de números, a menudo conocida como matriz, donde m o n = 1. Un vector, al igual que una matriz, puede utilizarse para ejecutar diversas operaciones matemáticas, y es sencillo multiplicar matrices por vectores y viceversa.
• Por otra parte, un tensor puede concebirse como una matriz generalizada descrita por su rango.

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