Tensoren sind komplexe Arrays, die spezifische und unterschiedliche Eigenschaften haben. Nicht jede vielschichtige Sammlung ist ein Tensor.

Es gibt zwei Arten von eindimensionalen Tensoren: Vektoren und Ko-Vektoren. Sowohl Vektoren als auch Ko-Vektoren können als zugängliche Zahlenreihe dargestellt werden.

Der einzige Unterschied besteht darin, dass man diese beiden miteinander verbindet, wenn man eine Vielzahl von Ziffern hat, die das Objekt auf einer Basis darstellen, und herausfinden will, welche Zahlen dieselbe Sache auf einer anderen Basis verkomplizieren.

Die Transformationszeichen und -regeln sind für Vektoren und Ko-Vektoren leicht unterschiedlich: Vektoren und Ko-Vektoren sind in der Regel "Zahlenkolonnen" bzw. "Zahlenreihen".

Vektor- und Tensordifferenz

Kurz gesagt, ein Vektor ist immer ein eindimensionaler Tensor; wenn Sie einen eindimensionalen Tensor haben, ist er mit Sicherheit entweder ein Vektor oder ein Co-Vektor. Zweidimensionale Tensoren werden als Matrizen bezeichnet.

Es gibt vier verschiedene Arten von zweidimensionalen Tensoren, aber keine spezifischen Namen. Bei Vektoren sind die Transformationsregeln etwas anders, wenn man von einer Basis zur anderen wechselt, aber es gibt keine spezifischen Namen für diese Tensoren: Sie sind nur Matrizen.

Früher oder später kann man jedes zweidimensionale Feld als "Matrix" bezeichnen, auch wenn es kein Tensor ist. Weitere Einzelheiten über den Unterschied zwischen Feld und Tensor finden Sie in der früheren Diskussion.

Was man über Tensoren wissen sollte

Tensoren sind komplexe Arrays, die spezifische und unterschiedliche Eigenschaften haben.

Tensoren sind mathematische Objekte, die wie Skalare und Vektoren verwendet werden können, um wesentliche Eigenschaften zu beschreiben. Tensoren sind einfach eine Ableitung von Skalaren und Vektoren; ein Skalar ist ein Tensor vom Rang 0 und ein Vektor ist ein Tensor vom Rang 1.

Der Rang eines Tensors wird durch die Anzahl der Richtungen (und damit der Dimensionalität des Feldes) bestimmt, die zu seiner Definition erforderlich sind. Eigenschaften, die nur einen Ansatz (oder den ersten Rang) erfordern, können beispielsweise leicht durch einen 3×1-Spaltenvektor beschrieben werden.

Darüber hinaus können Eigenschaften, die zwei Ordnungen erfordern (Tensoren zweiten Ranges), durch neun Zahlen definiert werden, da in einer 3×3-Matrix allgemein 3n Koeffizienten den Tensor n. Ranges beschreiben können.

Die Notwendigkeit von Tensoren zweiter Ordnung ergibt sich, wenn wir über mehr als eine Richtung nachdenken müssen, um einen dieser physikalischen Aspekte zu beschreiben.

Ein perfektes Beispiel hierfür ist die Frage nach der elektrischen Leitfähigkeit eines isotropen Kristalls. Wir wissen, dass isotrope Leiter im Allgemeinen dem Ohm'schen Gesetz gehorchen müssen, d. h. j=σE. Das bedeutet, dass die Stromdichte j parallel zum zugehörigen elektrischen Feld E verläuft und dass jeder Teil von j linear proportional zu jedem Element von E ist (z. B. j1 = σE1).

Komponenten des elektrischen Feldes

Die in einem anisotropen Material induzierte Stromdichte verläuft jedoch aufgrund der unterschiedlichen Stromflussrichtungen im Kristall nicht notwendigerweise parallel zum beteiligten elektrischen Feld (ein hervorragendes Beispiel hierfür ist Graphit), was darauf hindeutet, dass im Allgemeinen jede Komponente des vorhandenen Dichtevektors auf alle Teile des vorhandenen elektrischen Feldes zurückgreifen kann.

Also, ganz allgemein, Die elektrische Leitfähigkeit ist ein Tensor 2. Ranges und kann durch neun unabhängige Koeffizienten bestimmt werden, die in einer 3×3-Matrix dargestellt werden können.

Das bedeutet, dass die Stromdichte j parallel zum zugehörigen elektrischen Feld E verläuft und dass jeder Teil von j linear proportional zu diesem Feld ist.

Einige Beispiele für Tensoren zweiten Ranges

Einige andere Beispiele für Tensoren zweiten Ranges sind:

• Elektrische Suszeptibilität
• Wärmeleitfähigkeit
• Stress

Tensoren höheren Ranges werden angewiesen, Eigenschaften vollständig zu beschreiben, die zwei Tensoren zweiten Ranges (z. B. Steifigkeit (4. Rang): Spannung und Dehnung) oder einen Tensor zweiten Ranges und einen Vektor (z. B. Piezoelektrizität (3. Rang): Angst und Polarisation) beschreiben.

Um diese und weitere Beispiele zu sehen und zu untersuchen, wie sich die Veränderung der Komponenten der Tensoren auf diese Eigenschaften auswirkt, gehen Sie durch das unten stehende Flash-Programm.

Einführung in Tensoren

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist eine eindimensionale Anordnung von Zahlen, eine Matrix, bei der m oder n gleich 1 ist. Ähnlich wie bei einer Matrix lassen sich mit einem Vektor verschiedene mathematische Operationen durchführen, und es ist einfach, Matrizen mit Vektoren zu multiplizieren und umgekehrt.

Ein Tensor kann jedoch als eine verallgemeinerte Matrix betrachtet werden, die durch ihren Rang beschrieben werden kann.

Der Rang eines Tensors ist eine ganze Zahl von 0 oder höher. Ein Skalar kann einen Tensor des Rangs 0 darstellen, ein Tensor des Rangs 1 kann durch einen Vektor dargestellt werden, und eine Matrix kann einen Tensor des Rangs 2 darstellen. Es gibt auch Tensoren des Rangs 3 und höher, wobei die letzteren schwieriger zu visualisieren sind.

Zusätzlich zum Rang haben Tensoren spezifische Eigenschaften, die sich darauf beziehen, wie sie mit anderen mathematischen Entitäten interagieren. Wenn eine der Entitäten in einer Interaktion die andere(n) Entität(en) transformiert, dann muss der Tensor einer ähnlichen Transformationsregel gehorchen.

Unterschied zwischen Vektoren und Tensoren

Ein Vektor ist eine eindimensionale Anordnung von Zahlen, oft auch als Matrix bezeichnet, wobei m oder n = eins ist.

Alle Vektoren sind in der Regel Tensoren. Aber nicht alle Tensoren können Vektoren sein. Das bedeutet, dass Tensoren ein weiter verbreitetes Objekt sind als Vektoren (streng genommen, obwohl Mathematiker Tensoren durch Vektoren zusammensetzen). Tensoren werden technisch durch zwei verschiedene Objekte beschrieben:

• Vektoren
• Ein-Formen ("duale" Vektoren)

Vektoren sind ausschließlich Objekte, von denen man weiß, was die Zählung zweier beliebiger Vektoren (Vektoraddition) bedeutet, wenn man sie skaliert (auch bekannt als skalare Multiplikation).

Eine Form hat ebenfalls alle dieselben Begriffe; abgesehen davon kann sie auf Vektoren operieren und gibt dann Skalare zurück. Denn Beispiele sind in Ordnung: Die prototypischsten Beispiele sind euklidische Vektoren - Punkte des Raums.

Beispiele für Ein-Formulare sind den "Vektor" des magnetischen Potenzials (es ist kein "echter" Vektor) oder den Gradientenoperator .

Wenn man weitere geeignete Annahmen hinzufügt, besteht die wichtigste Eigenschaft darin, dass sich Einheitsformen und Vektoren bei einer Änderung der Koordinaten in irgendeiner Weise umwandeln. Dies sind die Eigenschaften, über die sich Physiker am häufigsten Gedanken machen, wenn sie über Dinge wie die allgemeine Relativitätstheorie beraten.

Tensoren sind als mathematische Objekte "multilineare" Operatoren, d. h. sie nehmen Mengen von Vektoren (und Einformen) auf und geben einen anderen Tensor zurück (im Gegensatz zu linearen Operatoren, die Vektoren aufnehmen und Vektoren zurückgeben). Diese haben unterschiedliche Verwendungsmöglichkeiten.

Angenommen, Sie wollen die allgemeine Theorie der Tensoren verstehen, dann sollten Sie abstrakte Algebra und vor allem lineare Algebra beherrschen, und wenn Sie die Tensorrechnung verstehen wollen, sollten Sie auch die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten verstehen.

Abschließende Überlegungen

In diesem Artikel haben Sie das gelernt:

• Tensoren sind mehrdimensionale Arrays mit unterschiedlichen Eigenschaften.
• Nicht jede vielschichtige Sammlung ist ein Tensor.
• Ein Vektor ist immer ein eindimensionaler Tensor, und ein eindimensionaler Tensor ist immer entweder ein Vektor oder ein Co-Vektor. Matrix ist die Bezeichnung für zweidimensionale Tensoren.
• Ein Vektor ist eine eindimensionale Anordnung von Zahlen, die oft auch als Matrix bezeichnet wird, wobei m oder n = 1 ist. Ein Vektor kann wie eine Matrix für eine Vielzahl von mathematischen Operationen verwendet werden, und es ist einfach, Matrizen mit Vektoren zu multiplizieren und umgekehrt.
• Andererseits kann man sich einen Tensor als eine verallgemeinerte Matrix vorstellen, die durch ihren Rang beschrieben wird.

Verwandte Artikel

Zauberer vs. Hexenmeister (Wer ist stärker?)

Verschiedene Arten von Steaks (T-Bone, Ribeye, Tomahawk und Filet Mignon)

Unterschiede zwischen der Cessna 150 und der Cessna 152 (Vergleich)