تنسورها آرایه‌های پیچیده‌ای هستند که ویژگی‌های خاص و متفاوتی دارند. هر مجموعه چند وجهی یک تانسور نیست.

دو نوع تانسور تک بعدی وجود دارد: این تانسورها شامل بردارها و بردارهای مشترک هستند. بردارها یا بردارهای مشترک را می توان به عنوان یک آرایه قابل دسترسی از اعداد نشان داد.

تنها تفاوت این است که پیوند آن دو زمانی اتفاق می‌افتد که ارقام مختلفی داشته باشید که شیء را بر اساس یک پایه نشان می‌دهند و می‌خواهید بفهمید چه اعدادی یک چیز را در زمینه‌های مختلف پیچیده می‌کنند.

علائم و قوانین دگرگونی برای بردارها و بردارهای مشترک کمی متفاوت است. بردارها و بردارهای همراه معمولاً به ترتیب "ستون های اعداد" یا "خط های اعداد" هستند.

تفاوت بردار و تانسور

به طور خلاصه، یک بردار همیشه خواهد بود. یک تانسور یک بعدی باشد. اگر یک تانسور یک بعدی داشته باشید، مطمئناً یا بردار یا هم بردار خواهد بود. تانسورهای دو بعدی به عنوان ماتریس شناخته می شوند.

چهار نوع مختلف تانسور دو بعدی وجود دارد، اما نام خاصی وجود ندارد. در مورد بردارها، قوانین تبدیل زمانی که از پایه ای به پایه دیگر حرکت می کنید کمی متفاوت است، اما نام خاصی برای این تانسورها وجود ندارد: آنها فقط ماتریس هستند.

دیر یا زود، می توان آنها را هر کدام نامید. آرایه دو بعدی یک "ماتریس"، حتی اگر یک تانسور نباشد. دوباره، برای جزئیات بیشتر در مورد تفاوت بین آرایه و تانسور، مراجعه کنیدبه بحث قبلی.

آنچه درباره تانسورها باید بدانید

تانسورها آرایه های پیچیده ای هستند که ویژگی های خاص و متفاوتی دارند.

تانسورها اشیاء ریاضی هستند که می‌توان از آنها برای توصیف ویژگی‌های اساسی استفاده کرد، مانند اسکالرها و بردارها. تانسورها صرفاً یک استنتاج از اسکالرها و بردارها هستند. یک اسکالر یک تانسور رتبه صفر است و یک بردار یک تانسور رتبه اول است.

رتبه یک تانسور با تعداد جهت ها (و در نتیجه ابعاد آرایه) لازم برای تعریف مشخص می شود. آی تی. به عنوان مثال، خواصی که نیاز به یک رویکرد (یا رتبه اول) دارند را می توان به راحتی با بردار ستونی 3×1 توصیف کرد. نه عدد، همانطور که در یک ماتریس کلی 3×3، ضرایب 3n می توانند تانسور رتبه n را توصیف کنند.

الزام تانسورهای رتبه دوم زمانی ایجاد می شود که ما نیاز به فکر کردن به بیش از یک جهت برای توصیف داشته باشیم. 1 از این جنبه های فیزیکی.

نمونه کامل این مورد این است که لازم باشد رسانایی الکتریکی هر کریستال همسانگرد را بگوییم. ما می دانیم که به طور کلی، هادی های همسانگردی که نیاز به اطاعت از قانون اهم دارند و آن است. j=σE. این بدان معنی است که چگالی جریان j با میدان الکتریکی اختصاص داده شده، E موازی است و هر قسمت از j به طور خطی متناسب با هر عنصر E است (به عنوان مثال، j1 = σE1).

اجزای میدان الکتریکی

با این حال، چگالی جریان القا شده در یک ماده ناهمسانگرد به دلیل جهات مختلف جریان کریستال، لزوماً با میدان الکتریکی درگیر موازی نخواهد شد (نمونه عالی آن در گرافیت است). این نشان می دهد که، به طور کلی، هر جزء از بردار چگالی موجود می تواند به تمام بخش های میدان الکتریکی فعلی تکیه کند.

بنابراین، به طور کلی، رسانایی الکتریکی یک تانسور رتبه دوم است و می تواند با 9 ضریب مستقل ثابت شود، که می تواند در یک ماتریس 3×3 نشان داده شود.

این بدان معنی است که چگالی جریان j با میدان الکتریکی اختصاصی E موازی است و هر قسمت از j به صورت خطی متناسب با هر میدان است. تانسورهای رتبه دوم عبارتند از:

• حساسیت الکتریکی
• رسانایی حرارتی
• تنش

آنها عموماً یک بردار را به بردار دیگر یا یک تانسور رتبه دوگانه دیگر را به یک اسکالر مرتبط می کنند. تانسورهای با رتبه بالاتر دستور داده شده اند تا خصوصیاتی را به طور کامل توصیف کنند که به دو تانسور درجه دوم (مثلاً سفتی (رتبه 4): تنش و کرنش) یا یک تانسور رتبه دوم و یک بردار (مثلاً پیزوالکتریک (3) می‌گویند.رتبه): اضطراب و پلاریزاسیون).

برای مشاهده این نمونه ها و نمونه های بیشتر و بررسی چگونگی تاثیر تغییر اجزای تانسورها بر این ویژگی ها، برنامه فلش زیر را دنبال کنید.

معرفی تانسورها

وکتور چیست؟

بردار آرایه ای 1 بعدی از اعداد است، ماتریسی که در آن m یا n برابر با 1 است. مشابه ماتریس، انجام عملیات ریاضی مختلف بر روی یک بردار امکان پذیر است و انجام آن آسان است. ماتریس ها را با بردارها ضرب کنید و بالعکس.

با این حال، یک تانسور را می توان به عنوان یک ماتریس تعمیم یافته در نظر گرفت که رتبه آن می تواند توصیف شود.

سطح یک تانسور یک عدد صحیح 0 یا بالاتر است. یک اسکالر می تواند یک تانسور با رتبه 0، یک تانسور با رتبه یک را با یک بردار و یک ماتریس می تواند نشان دهنده تانسور رتبه دو باشد. همچنین تانسورهای رتبه سه و بالاتر وجود دارد که تجسم تانسورهای دوم دشوارتر است.

علاوه بر رتبه، تانسورها ویژگی‌های خاصی در ارتباط با نحوه تعامل آنها با موجودات ریاضی دیگر دارند. اگر هر یک از موجودات موجود در یک تعامل، موجودیت یا موجودیت های دیگر را تبدیل کند، آنگاه تانسور باید از قانون تبدیل مشابهی پیروی کند.

تفاوت بین بردارها و تانسورها

بردار یک- است. آرایه بعدی اعداد، که اغلب به عنوان ماتریس شناخته می شوند، که در آن m یا n = یک است.

همه بردارها معمولا تانسور هستند. اما همه تانسورها نمی توانند بردار باشند. اینبه این معنی که تانسورها شیء گسترده تری نسبت به بردار هستند (به بیان دقیق، اگرچه ریاضیدانان تانسورها را از طریق بردارها جمع می کنند). تنسورها از نظر فنی از طریق دو شی مختلف توصیف می‌شوند:

• بردارها
• تک‌فرم‌ها (بردارهای "دوگانه")

بردارها منحصراً اشیایی هستند که می‌دانید شمارش هر دو از آنها (جمع بردار) نشان‌دهنده تغییر مقیاس آن است (به عنوان ضرب اسکالر نیز شناخته می‌شود).

فرمهای یکسان نیز مفاهیم یکسانی دارند. جدای از آن، می تواند بر روی بردارها عمل کند و سپس اسکالرها را برگرداند. مثال‌ها به ترتیب هستند: نمونه‌ای‌ترین نمونه‌ها شامل بردارهای اقلیدسی – نقاط فضا هستند.

مثال‌هایی شامل فرم‌های تک می‌شود بردار پتانسیل مغناطیسی (این یک بردار واقعی نیست) یا عملگر گرادیان .

هنگامی که دیگر مناسب را اضافه می‌کنید در مفروضات، مهمترین ویژگی این است که یک شکل و بردار به روشی تحت تغییر مختصات تبدیل می شوند. اینها ویژگی هایی هستند که فیزیکدانان اغلب هنگام مشورت در مورد چیزهایی مانند نظریه نسبیت عام نگران آنها هستند.

تانسورها، با ازدیاد طول، به عنوان اجسام ریاضی عملگرهای "چند خطی" هستند. به این معنا که آنها مجموعه‌ای از بردارها (و یک شکل) را می‌گیرند و تانسور دیگری را برمی‌گردانند (برخلاف عملگرهای خطی که بردارها را می‌گیرند و بردارها را برمی‌گردانند). اینها کاربردهای متفاوتی دارند.

فرض کنیدشما می خواهید نظریه کلی تانسورها را درک کنید. در این صورت، باید جبر انتزاعی و جبر خطی فوق العاده خطی را درک کنید، و اگر می خواهید حساب تانسور را درک کنید، باید تئوری منیفولدهای قابل تمایز را نیز درک کنید.

اندیشه های نهایی

در این مقاله یاد گرفتید که:

• تانسورها آرایه های چند بعدی با ویژگی های متمایز هستند.
• هر مجموعه چندوجهی یک تانسور نیست.
• بردار همیشه یک تانسور یک بعدی است و یک تانسور یک بعدی همیشه یا بردار یا هم بردار. ماتریس نامی است که به تانسورهای دوبعدی داده می شود.
• بردار آرایه ای یک بعدی از اعداد است که اغلب به عنوان ماتریس شناخته می شود که m یا n = 1 است. یک بردار، مانند یک ماتریس، می تواند برای اجرای انواع عملیات ریاضی استفاده شود، و ضرب ماتریس ها با بردارها و بالعکس ساده است.
• از سوی دیگر، یک تانسور را می توان به صورت تصور کرد یک ماتریس تعمیم یافته که با رتبه آن توصیف شده است.

مقالات مرتبط

جادوگر در مقابل وارلاک (چه کسی قوی تر است؟)

انواع مختلف استیک (T -Bone، Ribeye، Tomahawk و Filet Mignon)

تفاوت بین Cessna 150 و Cessna 152 (مقایسه)