Тенсорууд нь тусгай болон өөр өөр шинж чанартай цогц массивууд юм. Олон талт цуглуулга бүр тензор биш.

Нэг хэмжээст тензорын хоёр төрөл байдаг: Үүнд вектор ба ко-векторууд орно. Векторууд эсвэл ко-векторуудын аль нэгийг тоонуудын хүртээмжтэй массив хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Цорын ганц ялгаа нь эдгээр хоёрыг холбох нь тухайн объектыг нэг үндсэн дээр төлөөлөх олон тооны цифрүүд байгаа бөгөөд ямар тоо нь өөр үндэслэлээр ижил зүйлийг төвөгтэй болгож байгааг олж мэдэхийг хүссэн үед л ирдэг.

Хувиргах тэмдэг, дүрмүүд нь вектор болон ко-векторуудын хувьд бага зэрэг ялгаатай. Вектор ба ко-векторууд нь ихэвчлэн "тооны багана" эсвэл "тооны мөр" байдаг.

Вектор ба тензорын ялгаа

Товчхондоо вектор үргэлж байх болно. нэг хэмжээст тензор байх; Хэрэв танд нэг хэмжээст тензор байгаа бол энэ нь вектор эсвэл ко-вектор байх нь гарцаагүй. Хоёр хэмжээст тензорыг матриц гэж нэрлэдэг.

Хоёр хэмжээст тензорын дөрвөн өөр төрөл байдаг ч тодорхой нэр байхгүй. Векторуудын хувьд нэг баазаас нөгөөд шилжих үед хувиргах дүрмүүд арай өөр байдаг ч эдгээр тензоруудад тусгайлсан нэр байхгүй: тэдгээр нь зөвхөн матрицууд юм.

Эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэдгээрийг ямар ч гэж нэрлэж болно. хоёр хэмжээст массив нь тензор биш ч гэсэн “матриц” болно. Дахин хэлэхэд массив ба тензор хоёрын ялгааны талаар дэлгэрэнгүй мэдээллийг үзнэ үүӨмнөх хэлэлцүүлэгт.

Тензорын талаар юу мэдэх вэ

Тенсор гэдэг нь өвөрмөц ба өөр шинж чанартай цогц массив юм.

Тенсорууд нь векторын хамт скалярын нэгэн адил чухал шинж чанарыг тодорхойлоход ашиглаж болох математикийн объект юм. Тензорууд нь ердөө л скаляр ба векторуудын дүгнэлт юм; скаляр нь 0 зэрэглэлийн тензор, вектор нь 1-р зэрэглэлийн тензор юм.

Тензорын зэрэг нь тодорхойлоход шаардлагатай чиглэлүүдийн тоогоор (тиймээс массивын хэмжээст) тодорхойлогддог. тэр. Жишээлбэл, нэг хандлага (эсвэл нэгдүгээр зэрэглэл) шаарддаг шинж чанаруудыг 3×1 баганын вектороор хялбархан дүрсэлж болно.

Цаашилбал, хоёр дараалал шаарддаг шинж чанаруудыг (хоёрдугаар зэрэглэлийн тензорууд) дараах байдлаар тодорхойлж болно. 3×3 матрицын ерөнхий нэгэн адил есөн тоо 3n коэффициент нь n-р зэрэглэлийн тензорыг тодорхойлж чадна.

Хоёрдугаар зэрэглэлийн тензоруудад тавигдах шаардлага нь бид нэгээс олон чиглэлийг дүрслэх шаардлагатай үед ирдэг. Эдгээр физик талуудын 1.

Үүний төгс жишээ бол ямар нэгэн изотроп болорын цахилгаан дамжуулах чанарыг хэлэх хэрэгтэй. Ерөнхийдөө Ом-ын хуулийг дагаж мөрдөхийг шаарддаг изотроп дамжуулагч гэдгийг бид мэднэ; j=σE. Энэ нь одоогийн нягт j нь тусгайлсан цахилгаан орон болох E-тэй параллель байна гэсэн үг бөгөөд j-ийн хэсэг бүр E. элемент бүрт шугаман пропорциональ байна (жишээ нь, j1 = σE1).

Цахилгаан талбайн бүрэлдэхүүн хэсгүүд

Гэхдээ гүйдлийн нягт анизотроп материал нь талст гүйдлийн урсгалын өөр өөр чиглэлтэй тул холбогдох цахилгаан оронтой заавал параллель байх албагүй (үүний гайхалтай жишээ нь бал чулуу юм). Энэ нь ерөнхийдөө одоо байгаа нягтын векторын бүрэлдэхүүн хэсэг бүр нь одоогийн цахилгаан талбайн бүх хэсгүүдэд найдаж болно гэдгийг харуулж байна.

Тиймээс ерөнхийдөө цахилгаан дамжилтын илтгэлцүүр нь 2-р зэрэглэлийн тензор бөгөөд бие даасан есөн коэффициентээр тогтоогдох боломжтой үүнийг 3×3 матрицаар дүрсэлж болно.

Энэ нь гүйдлийн нягт j нь тусгай зориулалтын цахилгаан орон болох E-тэй параллель бөгөөд j-ийн хэсэг бүр талбар бүрт шугаман пропорциональ байна гэсэн үг юм.

Хоёрдугаар зэрэглэлийн тенсоруудын зарим жишээ

Бусад жишээ. Хоёрдугаар зэрэглэлийн тензорууд нь:

• Цахилгаан мэдрэмж
• Дулаан дамжуулалт
• Стресс

Тэд ерөнхийдөө векторыг өөр вектортой эсвэл өөр хоёр зэрэглэлийн тензорыг скаляртай холбодог. Илүү өндөр зэрэглэлийн тензорууд нь хоёр дахь зэрэглэлийн хоёр тензор (жишээ нь, хөшүүн чанар (4-р зэрэг): стресс ба ачаалал) эсвэл хоёр дахь зэрэглэлийн тензор ба векторыг (жишээ нь, пьезо цахилгаан (3-р зэрэг)) зааж өгөх шинж чанарыг бүрэн дүрслэхийг зааварчилдаг.зэрэг): түгшүүр ба туйлшрал).

Эдгээр болон бусад жишээг үзэж, тензорын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн өөрчлөлт нь эдгээр шинж чанарт хэрхэн нөлөөлж байгааг судлахын тулд доорх флэш програмыг үзнэ үү.

Тензорын танилцуулга

Вектор гэж юу вэ?

Вектор гэдэг нь 1 хэмжээст тоон массив, m эсвэл n нь 1-тэй тэнцүү матриц юм. Матрицтай адил вектор дээр янз бүрийн математикийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэх боломжтой бөгөөд үүнийг хийхэд хялбар байдаг. матрицыг вектороор үржүүлэх ба эсрэгээр.

Гэхдээ тензорыг түүний зэрэглэлийг тодорхойлж чадах ерөнхий матриц гэж үзэж болно.

Тензорын түвшин нь 0 ба түүнээс дээш бүхэл тоо юм. Скаляр нь 0 зэрэгтэй тензорыг, 1-р зэрэгтэй тензорыг вектороор, матриц нь 2-р зэрэглэлийн тензорыг илэрхийлж болно. Гурав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн тензорууд байдаг бөгөөд сүүлийнх нь нүдэнд харагдахад илүү хэцүү байдаг.

Зэрэглэлээс гадна тензорууд нь математикийн биетүүдтэй хэрхэн харьцдагтай холбоотой өвөрмөц шинж чанартай байдаг. Хэрэв харилцан үйлчлэлд байгаа объектуудын аль нэг нь нөгөө объект эсвэл объектыг хувиргавал тензор нь ижил төстэй хувиргах дүрмийг дагаж мөрдөх ёстой.

Вектор ба тензорын ялгаа

Вектор нь нэг- тоонуудын хэмжээст массивыг ихэвчлэн матриц гэж нэрлэдэг ба m эсвэл n = нэг.

Бүх векторууд ихэвчлэн тензор байдаг. Гэхдээ бүх тензорууд вектор байж чадахгүй. ЭнэЭнэ нь тензорууд нь вектороос илүү өргөн тархсан объект гэсэн үг (харин хэлэхэд математикчид тензоруудыг вектороор угсардаг). Тензорыг техникийн хувьд хоёр өөр объектоор тайлбарладаг:

• Векторууд
• Нэг хэлбэр ("хос" векторууд)

Векторууд нь зөвхөн объектууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь тоолох (вектор нэмэх) нь масштабыг өөрчлөхийг заадаг (мөн скаляр үржүүлэх гэж нэрлэдэг).

Мөн нэгэн хэлбэр нь бүгд ижил ойлголттой байдаг; Үүнээс гадна энэ нь векторууд дээр ажиллаж, дараа нь скаляруудыг буцаана. Жишээнүүдийг дарааллаар нь үзүүлэв: Хамгийн үлгэр жишээ жишээнд Евклидийн векторууд - орон зайн цэгүүд орно.

Жишээ нь соронзон потенциалын "вектор" ("үнэн" вектор биш) эсвэл градиент оператор гэсэн нэг хэлбэртэй.

Та өөр тохирохыг нэмэх үед Хамгийн чухал шинж чанар нь координатын өөрчлөлтийн дор нэг хэлбэр ба векторууд ямар нэгэн байдлаар хувирдаг. Эдгээр нь харьцангуйн ерөнхий онол гэх мэт зүйлсийн талаар зөвлөлдөхдөө физикчдийн хамгийн их санаа зовдог шинж чанарууд юм.

Математикийн объектууд нь "олон шугаман" операторууд байдаг тул тенсорууд нь сунгалтаар; Энэ нь тэд векторуудын багцыг (мөн нэг хэлбэр) авч, өөр тензорыг буцаана (шугаман операторуудаас ялгаатай нь векторуудыг авч, векторуудыг буцаадаг). Эдгээр нь янз бүрийн хэрэглээтэй байдаг.

гэж бодъёТа тензорын ерөнхий онолыг ойлгохыг хүсч байна. Энэ тохиолдолд та хийсвэр алгебр болон гайхалтай шугаман алгебрийг ойлгох хэрэгтэй), хэрэв та тензорын тооцоог ойлгох гэж байгаа бол дифференциалагдах олон талтуудын онолыг ойлгох хэрэгтэй.

Эцсийн бодол

Энэ өгүүллээс та:

• Тенсорууд нь ялгаатай шинж чанартай олон хэмжээст массивууд гэдгийг мэдэж авсан.
• Олон талт цуглуулга бүр тензор биш.
• Вектор нь үргэлж нэг хэмжээст тензор, нэг хэмжээст тензор үргэлж байдаг. вектор эсвэл ко-вектор. Матриц гэдэг нь хоёр хэмжээст тензоруудын нэр юм.
• Вектор нь нэг хэмжээст тоон массив бөгөөд ихэвчлэн матриц гэж нэрлэгддэг ба энд m эсвэл n = 1. Вектор нь үүнтэй адил юм. матрицыг янз бүрийн математик үйлдлүүдийг гүйцэтгэхэд ашиглаж болох ба матрицыг вектороор үржүүлэх нь энгийн бөгөөд эсрэгээр нь.
• Нөгөө талаас тензорыг дараах байдлаар төсөөлж болно. зэрэглэлээр нь тодорхойлсон ерөнхий матриц.

Холбоотой өгүүллүүд

Ид шидтэн ба Warlock (Хэн хүчтэй вэ?)

Өөр өөр төрлийн стейк (Т) -Bone, Ribeye, Tomahawk болон Filet Mignon)

Cessna 150 ба Cessna 152-ын ялгаа (Харьцуулалт)