Tensoriai - tai sudėtingi masyvai, pasižymintys specifinėmis ir skirtingomis savybėmis. Ne kiekviena daugialypė aibė yra tenzorius.

Yra du vienmačių tenzorių tipai: tai vektoriai ir kovektoriai. Tiek vektoriai, tiek kovektoriai gali būti pateikiami kaip prieinamas skaičių masyvas.

Skirtumas tik tas, kad susieti šiuos du dalykus galima tada, kai turite įvairių skaičių, vaizduojančių objektą vienu pagrindu, ir norite išsiaiškinti, kokie skaičiai tą patį dalyką komplikuoja kitu pagrindu.

Vektorių ir kovektorių transformacijos ženklai ir taisyklės šiek tiek skiriasi. Vektoriai ir kovektoriai paprastai yra atitinkamai "skaičių stulpeliai" arba "skaičių eilutės".

Vektorių ir tenzorių skirtumas

Trumpai tariant, vektorius visada bus vienmatis tenzorius; jei turite vienmatį tenzorių, jis tikrai bus arba vektorius, arba ko-vektorius. Dvimatiai tenzoriai vadinami matricomis.

Yra keturi skirtingi dvimačių tenzorių tipai, tačiau konkrečių pavadinimų nėra. Vektorių atveju transformacijos taisyklės šiek tiek skiriasi pereinant iš vieno pagrindo į kitą, tačiau konkrečių pavadinimų šiems tenzoriams nėra: tai tik matricos.

Anksčiau ar vėliau bet kurį dvimatį masyvą galima pavadinti "matrica", net jei jis nėra tenzorius. Vėlgi, norėdami išsamiau sužinoti apie skirtumą tarp masyvo ir tenzoriaus, žr. ankstesnę diskusiją.

Ką reikia žinoti apie tenzorius

Tensoriai - tai sudėtingi masyvai, pasižymintys specifinėmis ir skirtingomis savybėmis.

Tensoriai yra matematiniai objektai, kurie gali būti naudojami esminėms savybėms aprašyti, kaip ir skalarai bei vektoriai. Tensoriai yra tiesiog skaliarų ir vektorių išvada; skalaras yra 0 rango tenzorius, o vektorius - 1 rango tenzorius.

Tensoriaus rangas nustatomas pagal krypčių (taigi ir masyvo matmenų), reikalingų jam apibrėžti, skaičių. Pavyzdžiui, savybes, kurioms reikia vieno požiūrio ( arba pirmojo rango), galima lengvai aprašyti 3 × 1 stulpelio vektoriumi.

Be to, savybes, kurioms reikia dviejų eilių (antrojo rango tenzoriai), galima apibrėžti devyniais skaičiais, nes bendroje 3×3 matricoje 3n koeficientų gali apibūdinti n-tojo rango tenzorių.

Antrojo rango tenzorių poreikis atsiranda tada, kai norėdami aprašyti 1 iš šių fizikinių aspektų, turime galvoti apie daugiau nei vieną kryptį.

Puikus pavyzdys, jei mums reikia pasakyti bet kurio izotropinio kristalo elektrinį laidumą. Žinome, kad apskritai izotropiniai laidininkai, kuriems reikia paklusti Omo dėsniui, yra: j = σE. Tai reiškia, kad srovės tankis j yra lygiagretus atiduotam elektriniam laukui E ir kad kiekviena j dalis yra tiesiškai proporcinga kiekvienam E elementui (pvz., j1 = σE1).

Elektrinio lauko komponentai

Tačiau anizotropinėje medžiagoje indukuotas srovės tankis nebūtinai bus lygiagretus susijusiam elektriniam laukui dėl skirtingų kristalo srovės tekėjimo krypčių (puikus to pavyzdys - grafitas). Tai rodo, kad apskritai kiekviena esamo tankio vektoriaus komponentė gali remtis visomis esamo elektrinio lauko dalimis.

Taigi, apskritai, elektrinis laidumas yra antrojo rango tenzorius, kurį galima nustatyti devyniais nepriklausomais koeficientais, kurį galima pavaizduoti 3×3 matricoje.

Tai reiškia, kad srovės tankis j yra lygiagretus specialiajam elektriniam laukui E ir kad kiekviena j dalis yra tiesiškai proporcinga laukui.

Keletas antrojo rango tenzorių pavyzdžių

Kiti antrojo rango tenzorių pavyzdžiai:

• Elektrinis jautrumas
• Šilumos laidumas
• Stresas

Paprastai jie susieja vektorių su kitu vektoriumi arba kitą dvigubo rango tenzorių su skaliaru. Aukštesnio rango tenzoriams nurodoma visapusiškai aprašyti savybes, kurios pasako du antrojo rango tenzorius (pavyzdžiui, standumas (4 rangas): įtempimas ir deformacija) arba antrojo rango tenzorių ir vektorių (pavyzdžiui, pjezoelektriškumas (3 rangas): nerimas ir poliarizacija).

Jei norite peržiūrėti šiuos ir kitus pavyzdžius ir išsiaiškinti, kokią įtaką šioms savybėms turi tenzorių komponentų keitimas, naudokite toliau pateiktą "flash" programą.

Įvadas į tenzorius

Kas yra vektorius?

Vektorius - tai vienmatis skaičių masyvas, matrica, kurioje m arba n yra lygus 1. Kaip ir su matrica, su vektoriumi galima atlikti įvairius matematinius veiksmus, matricas lengva dauginti iš vektorių ir atvirkščiai.

Tačiau tenzorių galima laikyti apibendrinta matrica, kurios rangą galima aprašyti.

Tensoriaus rangas yra sveikasis skaičius, lygus 0 arba didesnis. 0 rango tenzorių galima pavaizduoti skaliaru, 1 rango tenzorių galima pavaizduoti vektoriumi, o 2 rango tenzorių galima pavaizduoti matrica. Taip pat yra 3 ir aukštesnio rango tenzorių, tačiau pastaruosius sunkiau vizualizuoti.

Be rango, tenzoriai turi specifinių savybių, susijusių su tuo, kaip jie sąveikauja su kitomis matematinėmis esybėmis. Jei bet kuri sąveikos esybė transformuoja kitą esybę ar esybes, tuomet tenzorius turi paklusti panašiai transformacijos taisyklei.

Vektorių ir tenzorių skirtumas

Vektorius - tai vienmatė skaičių matrica, dažnai vadinama matrica, kur m arba n = vienas.

Visi vektoriai paprastai yra tenzoriai. Tačiau visi tenzoriai negali būti vektoriai. Tai reiškia, kad tenzoriai yra plačiau paplitęs objektas nei vektoriai (griežtai kalbant, nors matematikai renka tenzorius per vektorius). Tensoriai techniškai aprašomi dviem skirtingais objektais:

• Vektoriai
• Vienformės ("dvigubi" vektoriai)

Vektoriai - tai tik tie objektai, kurių bet kurių dviejų skaičiavimas (vektorių sudėtis) rodo, kad jų keitimas masteliu (dar vadinamas skaliarine daugyba).

Vienos formos taip pat turi visas tas pačias sąvokas; be to, gali operuoti vektoriais ir tada grąžinti skaliarus. Dėl pavyzdžių yra tvarka: Prototipiškiausi pavyzdžiai yra euklidiniai vektoriai - erdvės taškai.

Vienetinių formų pavyzdžiai magnetinio potencialo "vektorius" (tai nėra "tikras" vektorius) arba gradiento operatorius. .

Pridėjus kitas atitinkamas prielaidas, svarbiausia savybė yra ta, kad vienformės ir vektoriai tam tikru būdu konvertuojasi keičiant koordinates. Būtent dėl šių savybių fizikai dažniausiai nerimauja konsultuodamiesi dėl tokių dalykų kaip bendroji reliatyvumo teorija.

Tensoriai, kaip matematiniai objektai, yra "daugialinijiniai" operatoriai, t. y. jie priima vektorių (ir vienformių) rinkinius ir grąžina kitą tenzorių (priešingai nei tiesiniai operatoriai, kurie priima vektorius ir grąžina vektorius). Jų paskirtis įvairi.

Tarkime, norite suprasti bendrąją tenzorių teoriją. Tokiu atveju turėtumėte išmanyti abstrakčiąją algebrą ir neįtikėtinai tiesinę algebrą), o jei ketinate suprasti tenzorių skaičiavimą, turėtumėte suprasti ir diferencijuojamųjų daugiamačių teoriją.

Galutinės mintys

Šiame straipsnyje sužinojote, kad:

• Tensoriai yra daugiamatės matricos, pasižyminčios skirtingomis savybėmis.
• Ne kiekviena daugialypė kolekcija yra tenzorius.
• Vektorius visada yra vienmatis tenzorius, o vienmatis tenzorius visada yra arba vektorius, arba ko-vektorius. Matrica - tai pavadinimas, kuriuo vadinami dvimačiai tenzoriai.
• Vektorius - tai vienmatis skaičių masyvas, dažnai vadinamas matrica, kur m arba n = 1. Vektorius, kaip ir matricą, galima naudoti įvairiems matematiniams veiksmams atlikti, be to, matricas paprasta dauginti iš vektorių ir atvirkščiai.
• Kita vertus, tenzorių galima suvokti kaip apibendrintą matricą, kurią apibūdina jos rangas.

Susiję straipsniai

Burtininkas prieš burtininką (Kas stipresnis?)

Įvairių rūšių kepsniai (T-Bone, Ribeye, Tomahawk ir Filet Mignon)

"Cessna 150" ir "Cessna 152" skirtumai (palyginimas)