Tensorer er komplekse arrays, der har specifikke og forskellige egenskaber. Det er ikke alle flerfacetterede samlinger, der er en tensor.

Der findes to typer af endimensionale tensorer: Vektorer og co-vektorer. Enten kan vektorer eller co-vektorer repræsenteres som et tilgængeligt talmatrixfelt.

Den eneste forskel er, at man forbinder disse to, når man har en række tal, der repræsenterer genstanden på ét grundlag, og man ønsker at finde ud af, hvilke tal der komplicerer den samme ting på et andet grundlag.

Transformationstegn og -regler er lidt forskellige for vektorer og kovektorer. Vektorer og kovektorer er normalt henholdsvis "talsøjler" eller "tallinjer".

Vektor- og tensorforskel

Kort sagt vil en vektor altid være en endimensional tensor; hvis du har en endimensional tensor, vil den helt sikkert være enten en vektor eller en co-vektor. To-dimensionale tensorer er kendt som matricer.

Der findes fire forskellige typer af todimensionale tensorer, men der findes ingen specifikke navne. For vektorers vedkommende er transformationsreglerne lidt anderledes, når man går fra en basis til en anden, men der findes ingen specifikke navne for disse tensorer: de er blot matricer.

Før eller siden kan de kalde ethvert todimensionelt array for en "matrix", selv om det ikke er en tensor. For flere detaljer om forskellen mellem array og tensor henvises til den tidligere diskussion.

Hvad du skal vide om tensorer

Tensorer er komplekse arrays, der har specifikke og forskellige egenskaber.

Tensorer er matematiske objekter, der kan bruges til at beskrive væsentlige egenskaber, ligesom skalarer og vektorer. Tensorer er simpelthen en afledning af skalarer og vektorer; en skalar er en tensor af 0 rang, og en vektor er en tensor af 1. rang.

En tensors rang identificeres ved antallet af retninger (og dermed dimensionaliteten af arrayet), der er nødvendige for at definere den. F.eks. kan egenskaber, der kræver én tilgang (eller første rang), nemt beskrives ved hjælp af en 3×1 kolonnevektor.

Desuden kan egenskaber, der kræver to ordener (tensorer af anden rang), defineres med ni tal, da 3n koefficienter i en 3×3 matrix generelt kan beskrive den niende rangtensor.

Kravet om tensorer af anden rang opstår, når vi skal tænke på mere end én retning for at beskrive et af disse fysiske aspekter.

Et perfekt eksempel på dette er, hvis vi skal bestemme den elektriske ledningsevne for en isotrop krystal. Vi ved, at isotrope ledere generelt set skal følge Ohm's lov, og det vil sige j=σE. Det betyder, at strømtætheden j er parallel med det afsatte elektriske felt E, og at hver del af j er lineært proportional med hvert element af E. (f.eks. j1 = σE1).

Komponenter i det elektriske felt

Den strømtæthed, der induceres i et anisotropisk materiale, vil imidlertid ikke nødvendigvis være parallel med det pågældende elektriske felt på grund af krystallens forskellige strømretninger (et glimrende eksempel herpå er grafit). Dette tyder på, at hver komponent af den eksisterende tæthedsvektor generelt kan være afhængig af alle dele af det nuværende elektriske felt.

Så, generelt, elektrisk ledningsevne er en tensor af 2. rang og kan fastsættes ved hjælp af ni uafhængige koefficienter, som kan illustreres i en 3×3-matrix.

Det betyder, at strømtætheden j er parallel med det dedikerede elektriske felt E, og at hver del af j er lineært proportional med feltet.

Nogle eksempler på andenrangstensorer

Nogle andre eksempler på tensorer af anden rang omfatter:

• Elektrisk modtagelighed
• Varmeledningsevne
• Stress

De relaterer generelt en vektor til en anden vektor eller en anden tensor af dobbelt rang til en skalar. Tensorer af højere rang er instrueret til fuldt ud at beskrive egenskaber, der fortæller to tensorer af anden rang (f.eks. stivhed (4. rang): spænding og belastning) eller en tensor af anden rang og en vektor (f.eks. piezoelektricitet (3. rang): angst og polarisering).

Du kan se disse og flere eksempler og undersøge, hvordan ændringerne af tensorkomponenterne påvirker disse egenskaber, ved at gennemgå flashprogrammet nedenfor.

Introduktion til tensorer

Hvad er en vektor?

En vektor er et 1-dimensionelt array af tal, en matrix, hvor m eller n er lig med 1. I lighed med en matrix er det muligt at udføre forskellige matematiske operationer på en vektor, og det er let at gange matricer med vektorer og omvendt.

En tensor kan imidlertid opfattes som en generaliseret matrix, som dens rang kan beskrive.

En tensors rang er et heltal på 0 eller højere. En skalar kan repræsentere en tensor af rang 0, en tensor af rang 1 kan repræsenteres af en vektor, og en matrix kan repræsentere en tensor af rang 2. Der findes også tensorer af rang 3 og højere, men de sidstnævnte er vanskeligere at visualisere.

Ud over rangordenen har tensorer særlige egenskaber i forbindelse med den måde, de interagerer med andre matematiske enheder. Hvis en af enhederne i et samspil transformerer den eller de andre enheder, skal tensorerne følge en lignende transformationsregel.

Forskellen mellem vektorer og tensorer

En vektor er en endimensional række af tal, ofte kendt som en matrix, hvor m eller n = et.

Alle vektorer er normalt tensorer. Men alle tensorer kan ikke være vektorer. Det betyder, at tensorer er et mere udbredt objekt end en vektor (strengt taget, selv om matematikere sammensætter tensorer gennem vektorer). Tensorer beskrives teknisk set ved hjælp af to forskellige objekter:

• Vektorer
• Enformsformer ("dobbelte" vektorer)

Vektorer er udelukkende objekter, for hvilke man ved, hvad tælling af to af dem (vektoraddition) angiver for at ændre skalaen (også kendt som skalar multiplikation).

One forms har ligeledes alle de samme begreber; bortset fra at den kan operere på vektorer og derefter returnere skalarer. For eksempler er i orden: De mest prototypiske eksempler omfatter euklidiske vektorer - rumpunkter.

Eksempler på en formular er f.eks. den magnetiske potentiale-"vektor" (det er ikke en "ægte" vektor) eller gradientoperatoren .

Når man tilføjer andre passende antagelser, er den vigtigste egenskab, at enformer og vektorer konverteres på en eller anden måde under en ændring af koordinaterne. Det er disse egenskaber, som fysikere oftest er bekymrede over, når de rådfører sig om ting som den generelle relativitetsteori.

Tensorer er i forlængelse heraf som matematiske objekter "multilineære" operatorer; det vil sige, at de modtager mængder af vektorer (og enformer) og returnerer en anden tensor (i modsætning til lineære operatorer, som modtager vektorer og returnerer vektorer). Disse har forskellige anvendelsesmuligheder.

Hvis du ønsker at forstå den generelle teori om tensorer, skal du forstå abstrakt algebra og især lineær algebra, og hvis du vil forstå tensorregning, skal du også forstå teorien om differentierbare mangfoldigheder.

Afsluttende overvejelser

Det har du lært i denne artikel:

• Tensorer er flerdimensionale arrays med forskellige egenskaber.
• Ikke alle flerfacetterede samlinger er en tensor.
• En vektor er altid en endimensional tensor, og en endimensional tensor er altid enten en vektor eller en co-vektor. Matrix er betegnelsen for todimensionale tensorer.
• En vektor er et endimensionelt talmatrixfelt, ofte kendt som en matrix, hvor m eller n = 1. En vektor kan ligesom en matrix bruges til at udføre en række matematiske operationer, og det er nemt at gange matricer med vektorer og omvendt.
• På den anden side kan en tensor opfattes som en generaliseret matrix, der beskrives af dens rang.

Relaterede artikler

Troldmand vs. troldmand (Hvem er stærkest?)

Forskellige typer bøffer (T-Bone, Ribeye, Tomahawk og Filet Mignon)

Forskelle mellem Cessna 150 og Cessna 152 (sammenligning)