Tensorid on keerulised massiivid, millel on spetsiifilised ja erinevad omadused. Mitte iga mitmetahuline kogum ei ole tensor.

On olemas kahte tüüpi ühemõõtmelisi tensoreid: need on vektorid ja kaasvektorid. Nii vektoreid kui ka kaasvektoreid saab esitada kättesaadava arvude massiivi kujul.

Ainus erinevus on see, et nende kahe ühendamine tuleb siis, kui teil on erinevaid numbreid, mis esindavad objekti ühel alusel, ja soovite teada saada, millised numbrid keerutavad sama asja mingil muul alusel.

Transformatsioonimärgid ja -reeglid on veidi erinevad vektorite ja kaasvektorite puhul. Vektorid ja kaasvektorid on tavaliselt vastavalt "arvude veerud" või "arvude read".

Vektori ja tensori erinevus

Lühidalt öeldes on vektor alati ühemõõtmeline tensor; kui teil on ühemõõtmeline tensor, siis on see kindlasti kas vektor või kaasvektor. Kahemõõtmelisi tensoreid nimetatakse maatriksiteks.

Kahemõõtmelisi tensoreid on nelja erinevat tüüpi, kuid konkreetseid nimesid ei ole olemas. Vektorite puhul on transformatsioonireeglid veidi erinevad, kui liigute ühest baasist teise, kuid nende tensorite jaoks ei ole konkreetseid nimesid: need on ainult maatriksid.

Varem või hiljem võib neid nimetada "maatriksiksiks" mis tahes kahemõõtmelist massiivi, isegi kui see ei ole tensor. Veel kord, üksikasjad massiivi ja tensori erinevuse kohta leiate varasemast arutelust.

Mida peab teadma tensoritest

Tensorid on keerulised massiivid, millel on spetsiifilised ja erinevad omadused.

Tensorid on matemaatilised objektid, mida saab kasutada oluliste omaduste kirjeldamiseks, nagu skalaarid koos vektoritega. Tensorid on lihtsalt skalaaride ja vektorite tuletis; skalaar on 0-astme tensor ja vektor on 1. astme tensor.

Tensori auaste määratakse kindlaks selle defineerimiseks vajalike suundade arvu (ja seega massiivi mõõtmelisuse) järgi. Näiteks omadusi, mis nõuavad ühte lähenemist ( ehk esimest auastet), saab hõlpsasti kirjeldada 3×1 veeruvektoriga.

Lisaks sellele saab kahe järjestuse (teise astme tensorid) omadusi defineerida üheksa arvuga, sest 3×3 maatriksis üldiselt saab 3n koefitsiendiga kirjeldada n-ndat astme tensorit.

Nõue teise astme tensoritele tekib siis, kui meil on vaja mõelda rohkem kui ühe suuna peale, et kirjeldada 1 neist füüsikalistest aspektidest.

Täiuslik näide on see, kui meil on vaja öelda elektrijuhtivus tahes isotroopne kristall. Me teame, et üldiselt on isotroopsed juhid, mis nõuavad Ohmi seadusele allumist ja see on; j=σE. See tähendab, et voolutihedus j on paralleelne pühendunud elektriväljaga E ja et iga j osa on lineaarselt proportsionaalne iga E elemendi kohta (nt j1 = σE1).

Elektrivälja komponendid

Kuid anisotroopses materjalis indutseeritud voolutihedus ei ole tingimata paralleelne kaasatud elektriväljaga, kuna kristallil on erinevad voolusuunad (suurepärane näide selle kohta on grafiit). See näitab, et üldiselt võib olemasoleva tihedusvektori iga komponent tugineda kõigile olemasoleva elektrivälja osadele.

Nii et üldiselt, elektrijuhtivus on 2. järgu tensor ja seda saab fikseerida üheksa sõltumatu koefitsiendiga, mida saab illustreerida 3×3 maatriksiga.

See tähendab, et voolutihedus j on paralleelne spetsiaalse elektriväljaga E ja et iga j osa on lineaarselt proportsionaalne iga väljaga.

Mõned näited teise astme tensoritest

Mõned teised näited teise astme tensoritest:

• Elektriline tundlikkus
• Soojusjuhtivus
• Stress

Need seostavad tavaliselt vektorit teise vektoriga või teist kahes astmes tensorit skalaariga. Kõrgemate astmete tensoritele antakse ülesanne kirjeldada täielikult omadusi, mis ütlevad kaks teise astme tensorit (nt jäikus (4. aste): pinge ja pinge) või teise astme tensor ja vektor (nt piesoelektrilisus (3. aste): ärevus ja polarisatsioon).

Nende ja teiste näidete vaatamiseks ning selle uurimiseks, kuidas tensorite komponentide muutmine mõjutab neid omadusi, vaadake allolevat flash-programmi.

Sissejuhatus tensoritesse

Mis on vektor?

Vektor on ühemõõtmeline arvude massiivi, maatriks, kus m või n võrdub 1. Sarnaselt maatriksiga on võimalik teha vektoriga mitmesuguseid matemaatilisi operatsioone ning maatriksit on lihtne korrutada vektoritega ja vastupidi.

Tensorit võib aga mõelda kui üldistatud maatriksit, mida saab kirjeldada selle auastmega.

Tensori aste on täisarv 0 või suurem. 0-astmelist tensorit võib kujutada skalaar, 1-astmelist tensorit võib kujutada vektor ja 2-astmelist tensorit võib kujutada maatriks. On olemas ka 3-astmelised ja kõrgemad tensorid, kusjuures viimaseid on keerulisem visualiseerida.

Lisaks auastmele on tensoritel spetsiifilised omadused, mis on seotud sellega, kuidas nad teiste matemaatiliste entiteetidega interaktsioonis on. Kui mõni interaktsioonis olev entiteet transformeerib teist entiteeti või entiteete, siis peab tensor alluma sarnasele transformeerumisreeglile.

Vektorite ja tensorite erinevus

Vektor on ühemõõtmeline arvude massiivi, mida sageli nimetatakse maatriksiksiks, kus m või n = üks.

Kõik vektorid on tavaliselt tensorid. Aga kõik tensorid ei saa olla vektorid. See tähendab, et tensorid on laiemalt levinud objekt kui vektor (rangelt võttes, kuigi matemaatikud panevad tensoreid kokku vektorite kaudu). Tensoreid kirjeldatakse tehniliselt kahe erineva objekti kaudu:

• Vektorid
• Ühekordsed vormid ("kaksikvektorid")

Vektorid on eranditult objektid, mille puhul te teate, mida kahe ükskõik millise vektori kokkuarvamine (vektorite liitmine) näitab skaalamuutmiseks ( tuntud ka kui skalaarne korrutamine).

Üks vormid on samuti kõik samad mõisted; peale selle võib ta opereerida vektoritega ja siis tagastada skalaare. Sest näited on korras: Kõige prototüüpsemad näited on eukleidilised vektorid -punktid ruumis.

Näited hõlmavad ühevormilisi vorme magnetilise potentsiaali "vektor" (See ei ole "tõeline" vektor) või gradientioperaatoriga .

Kui lisada muud asjakohased eeldused, siis kõige olulisem omadus on see, et ühevormid ja vektorid muutuvad mingil viisil koordinaatide muutmisel. Need on omadused, mille pärast füüsikud kõige sagedamini muretsevad, kui nad konsulteerivad selliste asjade nagu üldise relatiivsusteooria üle.

Tensorid kui matemaatilised objektid on pikendamise teel "multilineaarsed" operaatorid; see tähendab, et nad võtavad vastu vektorite (ja ühevormiliste) kogumeid ja annavad tagasi teise tensori (erinevalt lineaarsetest operaatoritest, mis võtavad vastu vektoreid ja annavad tagasi vektoreid). Neil on erinevad kasutusvõimalused.

Oletame, et sa tahad mõista tensorite üldist teooriat. Sel juhul peaksid sa mõistma abstraktset algebrat ja uskumatult lineaaralgebrat), ja kui sa kavatsed mõista tensorarvutust, siis peaksid sa mõistma ka diferentseeritavate hulkade teooriat.

Lõplikud mõtted

Selles artiklis olete teada saanud, et:

• Tensorid on mitmemõõtmelised massiivid, millel on erinevad omadused.
• Mitte iga mitmetahuline kogum ei ole tensor.
• Vektor on alati ühemõõtmeline tensor ja ühemõõtmeline tensor on alati kas vektor või kaasvektor. Kahemõõtmeliste tensorite nimetus on maatriks.
• Vektor on ühemõõtmeline arvude massiivi, mida sageli nimetatakse maatriksiksiks, kus m või n = 1. Vektorit, nagu ka maatriksit, saab kasutada mitmesuguste matemaatiliste operatsioonide sooritamiseks ning maatriksit on lihtne korrutada vektoritega ja vastupidi.
• Teisest küljest võib tensorit käsitleda kui üldistatud maatriksit, mida kirjeldab selle auaste.

Seotud artiklid

Võlur vs. nõid (Kes on tugevam?)

Erinevat tüüpi praed (T-Bone, Ribeye, Tomahawk ja Filet Mignon)

Erinevused Cessna 150 ja Cessna 152 vahel (võrdlus)