Тензори - це складні масиви, які мають специфічні та різні властивості. Не кожна багатогранна колекція є тензором.

Існує два типи одновимірних тензорів: вектори та ко-вектори. І вектори, і ко-вектори можна представити у вигляді доступного масиву чисел.

Єдина відмінність полягає в тому, що зв'язок між ними виникає тоді, коли ви маєте різні цифри, що представляють об'єкт на одній основі, і хочете з'ясувати, які цифри ускладнюють те саме на якійсь іншій основі.

Ознаки та правила перетворення дещо відрізняються для векторів та співвекторів. Вектори та співвектори зазвичай є "стовпчиками чисел" або "рядками чисел", відповідно.

Різниця векторів і тензорів

Коротше кажучи, вектор завжди буде одновимірним тензором; якщо ви маєте одновимірний тензор, він обов'язково буде або вектором, або ко-вектором. Двовимірні тензори відомі як матриці.

Існує чотири різних типи двовимірних тензорів, але спеціальних назв не існує. У випадку векторів правила перетворення дещо відрізняються при переході від одного базису до іншого, але спеціальних назв для цих тензорів не існує: вони є лише матрицями.

Рано чи пізно будь-який двовимірний масив можна назвати "матрицею", навіть якщо він не є тензором. Знову ж таки, для більш детальної інформації про різницю між масивом і тензором зверніться до попереднього обговорення.

Що потрібно знати про тензори

Тензори - це складні масиви, які мають специфічні та різні властивості.

Тензори - це математичні об'єкти, які можна використовувати для опису суттєвих властивостей, так само як скаляри та вектори. Тензори - це просто висновок зі скалярів та векторів; скаляр - це тензор 0-го рангу, а вектор - тензор 1-го рангу.

Ранг тензора визначається кількістю напрямків (і, відповідно, розмірністю масиву), необхідних для його визначення. Наприклад, властивості, які вимагають одного підходу (або першого рангу), можна легко описати вектором зі стовпчиками 3×1.

Крім того, властивості, які вимагають двох порядків (тензори другого рангу), можуть бути визначені дев'ятьма числами, як у загальному випадку матриці 3×3, 3n коефіцієнтів можуть описувати тензор n-го рангу.

Вимога тензорів другого рангу з'являється тоді, коли нам потрібно думати про більш ніж один напрямок для опису 1 з цих фізичних аспектів.

Чудовим прикладом цього є ситуація, коли нам потрібно визначити електропровідність будь-якого ізотропного кристала. Ми знаємо, що в загальних рисах ізотропні провідники повинні підкорятися закону Ома, а саме: j=σE. Це означає, що густина струму j паралельна напруженості електричного поля, E, і що кожна частина j лінійно пропорційна кожному елементу E (наприклад, j1 = σE1).

Компоненти електричного поля

Однак густина струму, індукована в анізотропному матеріалі, не обов'язково буде паралельною відповідному електричному полю через різні напрямки протікання струму в кристалі (чудовий приклад - графіт). Це свідчить про те, що, загалом, кожна складова існуючого вектора густини може покладатися на всі частини поточного електричного поля.

Отже, загалом, електропровідність є тензором 2-го рангу і може бути задана дев'ятьма незалежними коефіцієнтами, яку можна проілюструвати матрицею 3×3.

Це означає, що густина струму j паралельна спеціальному електричному полю, E, і що кожна частина j лінійно пропорційна цьому полю.

Деякі приклади тензорів другого рангу

Деякі інші приклади тензорів другого рангу:

• Сприйнятливість до електричного струму
• Теплопровідність
• Стрес

Вони зазвичай пов'язують вектор з іншим вектором або інший тензор подвійного рангу зі скаляром. Тензорам більш високого рангу доручено повністю описувати властивості, які описують два тензори другого рангу (наприклад, жорсткість (4-й ранг): напруження і деформація) або тензор другого рангу і вектор (наприклад, п'єзоелектрика (3-й ранг): напруженість і поляризація).

Щоб переглянути ці та інші приклади і дослідити, як зміна компонент тензорів впливає на ці властивості, перегляньте флеш-програму нижче.

Вступ до тензорів

Що таке вектор?

Вектор - це одновимірний масив чисел, матриця, де m або n дорівнює 1. Як і над матрицею, над вектором можна виконувати різні математичні операції, а також легко множити матриці на вектори і навпаки.

Однак тензор можна розглядати як узагальнену матрицю, яку може описувати його ранг.

Рівень тензора - це ціле число від 0 і вище. Скаляр може представляти тензор з рангом 0, тензор з рангом один може бути представлений вектором, а тензор з рангом два може бути представлений матрицею. Існують також тензори з рангом три і вище, причому останні складніше візуалізувати.

Крім рангу, тензори мають специфічні характеристики, пов'язані з тим, як вони взаємодіють з іншими математичними сутностями. Якщо будь-яка з сутностей у взаємодії перетворює іншу сутність або сутності, то тензор повинен підкорятися аналогічному правилу перетворення.

Різниця між векторами та тензорами

Вектор - це одновимірний масив чисел, часто відомий як матриця, де m або n = одиниці.

Всі вектори зазвичай є тензорами, але всі тензори не можуть бути векторами. Це означає, що тензори є більш поширеним об'єктом, ніж вектори (строго кажучи, хоча математики збирають тензори за допомогою векторів). Тензори технічно описуються за допомогою двох різних об'єктів:

• Вектори
• Одноформи ("подвійні" вектори)

Вектори - це виключно об'єкти, для яких ви знаєте, що підрахунок будь-яких двох з них (додавання векторів) вказує на зміну масштабу (також відоме як скалярне множення).

Одна форма також має всі ті ж самі поняття; крім того, вона може оперувати з векторами, а потім повертати скаляри. Приклади по порядку: Найбільш прототиповими прикладами є евклідові вектори - точки простору.

Прикладами можуть бути такі форми "вектор" магнітного потенціалу (він не є "істинним" вектором) або оператор градієнта .

Якщо додати інші відповідні припущення, найбільш значущою властивістю є те, що одновимірні форми та вектори певним чином перетворюються при зміні координат. Саме ці властивості найчастіше турбують фізиків, коли вони консультуються з приводу таких речей, як теорія загальної відносності.

Тензори, за визначенням, як математичні об'єкти є "мультилінійними" операторами; це означає, що вони приймають набори векторів (і одновимірних форм) і повертають інший тензор (на відміну від лінійних операторів, які приймають вектори і повертають вектори). Вони мають різне застосування.

Припустимо, ви хочете зрозуміти загальну теорію тензорів (в такому випадку вам потрібно знати абстрактну алгебру і неймовірно лінійну алгебру), а якщо ви хочете зрозуміти тензорне числення, вам також потрібно знати теорію диференційовних многовидів.

Заключні думки

У цій статті ви дізналися про це:

• Тензори - це багатовимірні масиви з певними властивостями.
• Не кожна багатогранна колекція є тензором.
• Вектор завжди є одновимірним тензором, а одновимірний тензор завжди є або вектором, або ко-вектором. Матриця - це назва двовимірних тензорів.
• Вектор - це одновимірний масив чисел, часто відомий як матриця, де m або n = 1. З вектором, як і з матрицею, можна виконувати різноманітні математичні операції, а також легко множити матриці на вектори і навпаки.
• З іншого боку, тензор можна розглядати як узагальнену матрицю, яка описується своїм рангом.

Схожі статті

Чарівник проти чаклуна (хто сильніший?)

Різні види стейків (T-Bone, Ribeye, Tomahawk та Filet Mignon)

Відмінності між Cessna 150 і Cessna 152 (порівняння)