टेन्सरहरू जटिल एरे हुन् जसमा विशिष्ट र फरक गुणहरू हुन्छन्। प्रत्येक बहुमुखी सङ्कलन टेन्सर हुँदैन।

एक-आयामी टेन्सरहरू दुई प्रकारका हुन्छन्: यसमा भेक्टर र सह-भेक्टरहरू समावेश हुन्छन्। या त भेक्टर वा सह-भेक्टरहरूलाई संख्याहरूको पहुँचयोग्य एरेको रूपमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ।

एउटै मात्र फरक छ कि ती दुईलाई जोड्नु तब आउँछ जब तपाईंसँग एक आधारमा वस्तुलाई प्रतिनिधित्व गर्ने विभिन्न अंकहरू हुन्छन् र कुन संख्याहरूले फरक आधारमा एउटै कुरालाई जटिल बनाउँछ भनेर पत्ता लगाउन चाहनुहुन्छ।

रूपान्तरण संकेत र नियमहरू भेक्टर र सह-भेक्टरहरूका लागि थोरै फरक छन्। भेक्टर र सह-भेक्टरहरू क्रमशः "संख्याहरूको स्तम्भहरू" वा "अंकहरूको रेखाहरू" हुन्।

भेक्टर र टेन्सर भिन्नता

छोटकरीमा, भेक्टर सधैं एक-आयामी टेन्सर हो; यदि तपाइँसँग एक-आयामी टेन्सर छ भने, यो निश्चित रूपमा एक भेक्टर वा सह-भेक्टर हुनेछ। दुई-आयामी टेन्सरहरूलाई म्याट्रिक्स भनिन्छ।

दुई-आयामी टेन्सरहरू चार फरक प्रकारका छन्, तर कुनै विशेष नामहरू अवस्थित छैनन्। भेक्टरहरूको अवस्थामा, रूपान्तरण नियमहरू थोरै फरक हुन्छन् जब तपाईं एक आधारबाट अर्कोमा जानुहुन्छ, तर यी टेन्सरहरूको लागि कुनै विशेष नामहरू छैनन्: तिनीहरू केवल म्याट्रिकहरू हुन्।

ढिलो वा पछि, तिनीहरूलाई कुनै पनि भनिन्छ। दुई-आयामी एरे एक "म्याट्रिक्स," भले पनि यो एक टेन्सर छैन। फेरि, array र tensor बीचको भिन्नता बारे थप विवरणहरूको लागि, सन्दर्भ गर्नुहोस्पहिलेको छलफलमा।

Tensors को बारे मा के थाहा हुन्छ

टेन्सरहरू जटिल एरे हुन् जसमा विशिष्ट र फरक गुणहरू छन्।

टेन्सरहरू गणितीय वस्तुहरू हुन् जसलाई भेक्टरहरूको साथमा स्केलरहरू जस्तै पर्याप्त गुणहरू वर्णन गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ। टेन्सरहरू केवल स्केलर र भेक्टरहरूको अनुमान हो; स्केलर भनेको ० श्रेणीको टेन्सर हो, र भेक्टर पहिलो श्रेणीको टेन्सर हो।

टेन्सरको श्रेणीलाई परिभाषित गर्न आवश्यक दिशाहरूको संख्या (र त्यसकारण एरेको आयाम) द्वारा पहिचान गरिन्छ। यो। उदाहरण को लागी, एक दृष्टिकोण (वा पहिलो श्रेणी) को आवश्यकता को लागी गुणहरु लाई सजिलै संग 3x1 स्तम्भ भेक्टर द्वारा वर्णन गर्न सकिन्छ।

यसबाहेक, दुई अर्डर (दोस्रो श्रेणी टेन्सर) आवश्यक पर्ने गुणहरू द्वारा परिभाषित गर्न सकिन्छ। नौ संख्याहरू, जस्तै 3×3 म्याट्रिक्स सामान्यमा, 3n गुणांकले nth श्रेणीको टेन्सरलाई वर्णन गर्न सक्छ।

दोस्रो श्रेणीको टेन्सरहरूको आवश्यकता तब आउँछ जब हामीले वर्णन गर्न एकभन्दा बढी दिशाको बारेमा सोच्नुपर्छ। यी भौतिक पक्षहरू मध्ये 1।

यसको एक उत्तम उदाहरण हो यदि हामीले कुनै पनि आइसोट्रोपिक क्रिस्टलको विद्युतीय चालकता बताउन आवश्यक छ। हामीलाई थाहा छ कि सामान्य सर्तहरूमा, आइसोट्रोपिक कन्डक्टरहरू जसले ओमको नियम पालना गर्न आवश्यक छ र त्यो हो; j=σE। यसको मतलब वर्तमान घनत्व j समर्पित विद्युतीय क्षेत्र, E सँग समानान्तर छ र j को प्रत्येक भाग E. को प्रति तत्वसँग समानुपातिक छ (जस्तै, j1 = σE1)।

विद्युत क्षेत्रका अवयवहरू

यद्यपि, वर्तमान घनत्वमा प्रेरित क्रिस्टलको वर्तमान प्रवाहको विभिन्न दिशाहरूका कारण एनिसोट्रोपिक सामग्री आवश्यक रूपमा संलग्न विद्युतीय क्षेत्रसँग समानान्तर हुँदैन (यसको उत्कृष्ट उदाहरण ग्रेफाइटमा छ)। यसले सुझाव दिन्छ कि, सामान्यतया, अवस्थित घनत्व भेक्टरको प्रत्येक घटकले वर्तमान विद्युतीय क्षेत्रका सबै भागहरूमा भर पर्न सक्छ।

त्यसैले, सामान्यतया, विद्युत चालकता दोस्रो श्रेणीको टेन्सर हो र यसलाई नौ स्वतन्त्र गुणांकहरूद्वारा निश्चित गर्न सकिन्छ, जसलाई ३×३ म्याट्रिक्समा चित्रण गर्न सकिन्छ।

यसको मतलब वर्तमान घनत्व j समर्पित विद्युतीय क्षेत्र, E सँग समानान्तर छ र j को प्रत्येक भाग प्रति क्षेत्रसँग समानुपातिक छ।

दोस्रो श्रेणीको टेन्सरका केही उदाहरणहरू

केही अन्य उदाहरणहरू दोस्रो श्रेणीको टेन्सरहरू समावेश छन्:

• विद्युत संवेदनशीलता 20>
• थर्मल चालकता 20>
• तनाव

तिनीहरूले सामान्यतया एउटा भेक्टरलाई अर्को भेक्टरसँग वा अर्को दोहोरो श्रेणीको टेन्सरलाई स्केलरसँग जोड्छन्। थप उच्च श्रेणीका टेन्सरहरूलाई पूर्ण रूपमा गुणहरू वर्णन गर्न निर्देशन दिइन्छ जसले दुई दोस्रो-रैंक टेन्सरहरू (जस्तै, कठोरता (चौथो श्रेणी): तनाव र तनाव) वा दोस्रो श्रेणीको टेन्सर र एक भेक्टर (जस्तै, Piezoelectricity (3rd)श्रेणी): चिन्ता र ध्रुवीकरण)।

यी र थप उदाहरणहरू हेर्न र टेन्सरका कम्पोनेन्टहरू परिवर्तनले यी गुणहरूलाई कसरी असर गर्छ भनेर अनुसन्धान गर्न, तलको फ्ल्यास कार्यक्रममा जानुहोस्।

टेन्सरहरूको परिचय<। 1>

भेक्टर भनेको के हो?

एक भेक्टर संख्याहरूको १-आयामी एरे हो, एउटा म्याट्रिक्स जहाँ m वा n बराबर 1 हुन्छ। म्याट्रिक्स जस्तै, यो भेक्टरमा विभिन्न गणितीय कार्यहरू गर्न सम्भव छ, र यो गर्न सजिलो छ। भेक्टरहरूसँग म्याट्रिक्सहरू गुणा गर्नुहोस् र यसको विपरीत।

तथापि, एक टेन्सरलाई सामान्यीकृत म्याट्रिक्सको रूपमा सोच्न सकिन्छ जुन यसको श्रेणीले वर्णन गर्न सक्छ।

टेन्सरको स्तर ० वा उच्चको पूर्णांक संख्या हो। स्केलरले श्रेणी 0 भएको टेन्सरलाई प्रतिनिधित्व गर्न सक्छ, रैंक वन भएको टेन्सरलाई भेक्टरले प्रतिनिधित्व गर्न सक्छ, र म्याट्रिक्सले श्रेणी दुईको टेन्सरलाई प्रतिनिधित्व गर्न सक्छ। रैंक तीन र माथिका टेन्सरहरू पनि छन्, पछिल्लाहरूलाई कल्पना गर्न गाह्रो छ।

रैंकको अतिरिक्त, टेन्सरहरूसँग तिनीहरूले एकअर्काको गणितीय संस्थाहरूसँग कसरी अन्तरक्रिया गर्छन् भन्नेसँग सम्बन्धित विशिष्ट विशेषताहरू हुन्छन्। यदि अन्तरक्रियामा रहेको कुनै पनि निकायले अन्य निकाय वा निकायहरूलाई रूपान्तरण गर्छ भने, टेन्सरले समान रूपान्तरण नियम पालना गर्नुपर्छ।

भेक्टर र टेन्सरहरू बीचको भिन्नता

भेक्टर एक हो। संख्याहरूको आयामी एरे, प्राय: म्याट्रिक्सको रूपमा चिनिन्छ, जहाँ m वा n = one।

सबै भेक्टरहरू सामान्यतया टेन्सरहरू हुन्। तर सबै टेन्सरहरू भेक्टर हुन सक्दैनन्। योमतलब टेन्सरहरू भेक्टर भन्दा धेरै व्यापक वस्तु हुन् (कडाको रूपमा भन्नुपर्दा, गणितज्ञहरूले भेक्टरहरू मार्फत टेन्सरहरू जम्मा गर्छन्)। टेन्सरहरूलाई प्राविधिक रूपमा दुई फरक वस्तुहरू मार्फत वर्णन गरिन्छ:

• भेक्टरहरू 20>
• एक-फार्म ("डुअल" भेक्टरहरू)

भेक्टरहरू विशेष रूपमा वस्तुहरू हुन् जसका लागि तपाइँलाई थाहा छ कि ती मध्ये कुनै पनि दुई (भेक्टर थप) ले यसलाई मापन-परिवर्तन गर्न संकेत गर्छ (स्केलर गुणन पनि भनिन्छ)।

एउटा फारम, त्यसै गरी, सबै समान धारणाहरू छन्; त्यो बाहेक, यसले भेक्टरहरूमा काम गर्न सक्छ र त्यसपछि स्केलरहरू फर्काउन सक्छ। उदाहरणका लागि क्रमबद्ध छन्: सबैभन्दा प्रोटोटाइपिकल उदाहरणहरूमा इक्लिडियन भेक्टरहरू - स्पेसको बिन्दुहरू समावेश छन्।

उदाहरणहरूमा एक-फार्महरू समावेश हुनेछन् चुम्बकीय सम्भाव्यता "भेक्टर" (यो "सत्य" भेक्टर होइन) वा ग्रेडियन्ट अपरेटर ।

जब तपाईंले अन्य उपयुक्त थप्नुहुन्छ अनुमानहरू, सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण गुण भनेको एक-फार्म र भेक्टरहरू कुनै न कुनै रूपमा निर्देशांकहरूको परिवर्तन अन्तर्गत रूपान्तरण हुन्छ। यी गुणहरू हुन् जुन भौतिकशास्त्रीहरू प्रायः चिन्तित हुन्छन् जब सामान्य सापेक्षताको सिद्धान्त जस्ता चीजहरूको बारेमा परामर्श लिइरहेका हुन्छन्।

टेन्सरहरू, लम्बाइद्वारा, गणितीय वस्तुहरू "बहुरेखीय" अपरेटरहरू हुनाले; यसको मतलब, तिनीहरू भेक्टरहरूको सेटमा लिन्छन् (र एक-फार्महरू) र अर्को टेन्सर फर्काउँछन् (रैखिक अपरेटरहरूको विपरीत, जसले भेक्टरहरू लिन्छ र भेक्टरहरू फर्काउँछ)। यी विभिन्न प्रयोगहरू छन्।

मानौंतपाईं tensors को सामान्य सिद्धान्त बुझ्न चाहनुहुन्छ। त्यस अवस्थामा, तपाईंले अमूर्त बीजगणित र अविश्वसनीय रैखिक बीजगणित महसुस गर्नुपर्छ), र यदि तपाईं टेन्सर क्याल्कुलस बुझ्न जाँदै हुनुहुन्छ भने, तपाईंले भिन्नता मेनिफोल्डहरूको सिद्धान्त पनि बुझ्नुपर्छ।

अन्तिम विचारहरू

यस लेखमा, तपाईंले सिक्नुभयो कि:

• टेन्सरहरू फरक गुणहरू भएका बहुआयामी एरे हुन्।
• हरेक बहुमुखी सङ्कलन टेन्सर हुँदैन।
• एक भेक्टर सधैं एक-आयामी टेन्सर हुन्छ, र एक-आयामी टेन्सर सधैं हुन्छ। या त वेक्टर वा सह-भेक्टर। म्याट्रिक्स दुई-आयामी टेन्सरहरूलाई दिइएको नाम हो।
• भेक्टर संख्याहरूको एक-आयामी एरे हो, जसलाई प्राय: म्याट्रिक्स भनिन्छ, जहाँ m वा n = 1। एक भेक्टर, जस्तै एक म्याट्रिक्स, विभिन्न प्रकारका गणितीय कार्यहरू कार्यान्वयन गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ, र भेक्टरहरू र यसको विपरित रूपमा म्याट्रिक्सहरू गुणन गर्न सरल छ।
• अर्को तर्फ, टेन्सरलाई यसरी कल्पना गर्न सकिन्छ। एक सामान्यीकृत म्याट्रिक्स यसको श्रेणी द्वारा वर्णन गरिएको छ।

सम्बन्धित लेखहरू

विजार्ड बनाम वारलक (को बलियो छ?)

विभिन्न प्रकारका स्टेक्स (टी) -बोन, रिबे, टोमाहक, र फिलेट मिग्नन)

सेस्ना 150 र सेस्ना 152 बीचको भिन्नता (तुलना)