Tensorii sunt matrici complexe care au proprietăți specifice și diferite. Nu orice colecție multifațetată este un tensor.

Există două tipuri de tensori unidimensionali: vectori și covectori. Fie vectorii, fie covectori pot fi reprezentați ca o matrice accesibilă de numere.

Singura diferență este că legătura dintre cele două intervine atunci când aveți o varietate de cifre care reprezintă obiectul pe o bază și doriți să aflați ce numere complică același lucru pe un alt teren.

Semnele și regulile de transformare sunt ușor diferite pentru vectori și covectori. Vectorii și covectori sunt de obicei "coloane de numere" sau, respectiv, "linii de numere".

Diferența dintre vectori și tensori

Pe scurt, un vector va fi întotdeauna un tensor unidimensional; dacă aveți un tensor unidimensional, acesta va fi cu siguranță fie un vector, fie un covector. Tensorii bidimensionali sunt cunoscuți sub numele de matrici.

Există patru tipuri diferite de tensori bidimensionali, dar nu există denumiri specifice. În cazul vectorilor, regulile de transformare sunt ușor diferite atunci când se trece de la o bază la alta, dar nu există denumiri specifice pentru acești tensori: sunt doar matrici.

Mai devreme sau mai târziu, ei pot fi numiți orice matrice bidimensională "matrice", chiar dacă nu este un tensor. Din nou, pentru mai multe detalii despre diferența dintre matrice și tensor, consultați discuția anterioară.

Ce trebuie să știți despre tensori

Tensorii sunt rețele complexe care au proprietăți specifice și diferite.

Tensorii sunt obiecte matematice care pot fi utilizate pentru a descrie proprietăți substanțiale, la fel ca și scalarii împreună cu vectorii. Tensorii sunt pur și simplu o inferență de scalari și vectori; un scalar este un tensor de rang 0, iar un vector este un tensor de rang 1.

Rangul unui tensor este identificat de numărul de direcții (și, prin urmare, de dimensionalitatea matricei) necesare pentru a-l defini. De exemplu, proprietățile care necesită o singură abordare ( sau primul rang) pot fi descrise cu ușurință printr-un vector de coloane 3×1.

În plus, proprietățile care necesită două ordine (tensori de rangul al doilea) pot fi definite de nouă numere, deoarece într-o matrice generală 3×3, 3n coeficienți pot descrie tensorul de rangul n.

Necesitatea unor tensori de rangul doi apare atunci când trebuie să ne gândim la mai multe direcții pentru a descrie unul dintre aceste aspecte fizice.

Un exemplu perfect în acest sens este dacă avem nevoie să aflăm conductivitatea electrică a unui cristal izotrop. Știm că, în termeni generali, conductorii izotropi trebuie să respecte legea lui Ohm și anume: j=σE. Aceasta înseamnă că densitatea de curent j este paralelă cu câmpul electric dedicat, E și că fiecare parte a lui j este liniar proporțională cu fiecare element al lui E. (de exemplu, j1 = σE1).

Componentele câmpului electric

Cu toate acestea, densitatea de curent indusă într-un material anizotrop nu va fi neapărat paralelă cu câmpul electric implicat, din cauza direcțiilor diferite de curgere a curentului în cristal (un exemplu excelent în acest sens este în cazul grafitului). Acest lucru sugerează că, în general, fiecare componentă a vectorului de densitate existent se poate baza pe toate părțile câmpului electric prezent.

Deci, în general, conductivitatea electrică este un tensor de rangul 2 și poate fi fixată prin nouă coeficienți independenți, care poate fi ilustrat printr-o matrice 3×3.

Aceasta înseamnă că densitatea de curent j este paralelă cu câmpul electric dedicat, E și că fiecare parte a lui j este liniar proporțională cu câmpul.

Câteva exemple de tensori de rangul doi

Alte exemple de tensori de rangul doi cuprind:

• Susceptibilitatea electrică
• Conductivitate termică
• Stres

În general, acestea relaționează un vector cu un alt vector sau un alt tensor de rang dublu cu un scalar. Tensorii de rang mai înalt sunt instruiți să descrie complet proprietățile care relatează doi tensori de rang doi (de exemplu, Rigiditate (rang 4): tensiune și deformație) sau un tensor de rang doi și un vector (de exemplu, Piezoelectricitate (rang 3): anxietate și polarizare).

Pentru a vizualiza aceste exemple și altele și pentru a investiga modul în care modificarea componentelor tensorilor afectează aceste proprietăți, accesați programul flash de mai jos.

Introducere în tensori

Ce este un vector?

Un vector este o matrice unidimensională de numere, o matrice în care m sau n este egal cu 1. La fel ca o matrice, este posibil să se efectueze diverse operații matematice pe un vector și este ușor să se înmulțească matrici cu vectori și invers.

Cu toate acestea, un tensor poate fi considerat ca o matrice generalizată pe care rangul său o poate descrie.

Nivelul unui tensor este un număr întreg de rang 0 sau mai mare. Un scalar poate reprezenta un tensor de rang 0, un tensor de rang 1 poate fi reprezentat de un vector, iar o matrice poate reprezenta un tensor de rang 2. Există și tensori de rang 3 și mai mare, aceștia din urmă fiind mai greu de vizualizat.

În plus față de rang, tensorii au caracteristici specifice legate de modul în care interacționează cu alte entități matematice. Dacă oricare dintre entitățile aflate în interacțiune transformă cealaltă entitate sau entități, atunci tensorul trebuie să se supună unei reguli de transformare similare.

Diferența dintre vectori și tensori

Vectorul este o matrice unidimensională de numere, adesea cunoscută sub numele de matrice, unde m sau n = unu.

Toți vectorii sunt, de obicei, tensori. Dar toți tensorii nu pot fi vectori. Aceasta înseamnă că tensorii sunt un obiect mai răspândit decât un vector (strict vorbind, deși matematicienii asamblează tensorii prin intermediul vectorilor). Tensorii sunt descriși din punct de vedere tehnic prin intermediul a două obiecte diferite:

• Vectori
• Forme unice (vectori "dubli")

Vectorii sunt exclusiv obiecte pentru care se știe ce înseamnă numărarea a două dintre ele (adunare vectorială) și ce înseamnă schimbarea scării (cunoscută și sub numele de înmulțire scalară).

Una dintre forme, la fel, are toate aceleași noțiuni; în afară de aceasta, poate opera pe vectori și apoi returnează scalari. Pentru exemple sunt în ordine: Cele mai prototipice exemple includ vectorii euclidieni -punctele din spațiu.

Exemplele includ formulare unice ar fi "vectorul" potențialului magnetic (nu este un vector "adevărat") sau operatorul de gradient. .

Când adăugați alte ipoteze adecvate, cea mai semnificativă proprietate este aceea că formele unu și vectorii se convertesc într-un anumit mod la o schimbare de coordonate. Acestea sunt proprietățile care îi preocupă cel mai des pe fizicieni atunci când se consultă cu privire la lucruri precum teoria relativității generale.

Tensorii, prin alungire, ca obiecte matematice, sunt operatori "multiliniari"; adică primesc seturi de vectori (și forme unice) și returnează un alt tensor (spre deosebire de operatorii liniari, care primesc vectori și returnează vectori). Aceștia au utilizări diferite.

Să presupunem că doriți să înțelegeți teoria generală a tensorilor. În acest caz, ar trebui să realizați algebra abstractă și, incredibil de mult, algebra liniară), iar dacă veți înțelege calculul tensorial, ar trebui să înțelegeți, de asemenea, teoria mulțimilor diferențiabile.

Gânduri finale

În acest articol, ați aflat că:

• Tensorii sunt rețele multidimensionale cu proprietăți distincte.
• Nu orice colecție multifațetată este un tensor.
• Un vector este întotdeauna un tensor unidimensional, iar un tensor unidimensional este întotdeauna fie un vector, fie un covector. Matricea este denumirea dată tensorilor bidimensionali.
• Vectorul este o matrice unidimensională de numere, adesea cunoscută sub numele de matrice, unde m sau n = 1. Un vector, ca și o matrice, poate fi utilizat pentru a executa o varietate de operații matematice și este simplu să înmulțești matrici cu vectori și invers.
• Pe de altă parte, un tensor poate fi conceput ca o matrice generalizată descrisă prin rangul său.

Articole conexe

Vrăjitor vs. Vrăjitor (Cine este mai puternic?)

Diferite tipuri de fripturi (T-Bone, Ribeye, Tomahawk și Filet Mignon)

Diferențe între Cessna 150 și Cessna 152 (comparație)