നിർദ്ദിഷ്‌ടവും വ്യത്യസ്‌തവുമായ ഗുണങ്ങളുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ അറേകളാണ് ടെൻസറുകൾ. എല്ലാ ബഹുമുഖ ശേഖരവും ഒരു ടെൻസർ അല്ല.

രണ്ട് തരത്തിലുള്ള ഏകമാന ടെൻസറുകൾ ഉണ്ട്: ഇവയിൽ വെക്റ്ററുകളും കോ-വെക്റ്ററുകളും ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒന്നുകിൽ വെക്‌ടറുകൾ അല്ലെങ്കിൽ കോ-വെക്‌ടറുകൾ ആക്‌സസ് ചെയ്യാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു നിരയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഒബ്ജക്റ്റിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന വൈവിധ്യമാർന്ന അക്കങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ടാകുമ്പോൾ ഒരേയൊരു വ്യത്യാസം സംഭവിക്കുന്നു, വ്യത്യസ്തമായ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരേ കാര്യത്തെ സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെയാണെന്ന് കണ്ടെത്തണം.

പരിവർത്തന ചിഹ്നങ്ങളും നിയമങ്ങളും വെക്‌ടറുകൾക്കും സഹ-വെക്‌ടറുകൾക്കും അൽപ്പം സമാനതകളില്ലാത്തതാണ്. വെക്‌ടറുകളും കോ-വെക്‌ടറുകളും സാധാരണയായി യഥാക്രമം “സംഖ്യകളുടെ നിരകൾ” അല്ലെങ്കിൽ “സംഖ്യകളുടെ വരികൾ” ആണ്.

വെക്‌റ്റർ, ടെൻസർ വ്യത്യാസം

ചുരുക്കത്തിൽ, ഒരു വെക്‌റ്റർ എപ്പോഴും ഒരു ഏകമാന ടെൻസർ ആയിരിക്കുക; നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഡിമെൻഷണൽ ടെൻസർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് തീർച്ചയായും ഒരു വെക്റ്റർ അല്ലെങ്കിൽ കോ-വെക്റ്റർ ആയിരിക്കും. ദ്വിമാന ടെൻസറുകൾ മെട്രിക്സ് എന്നാണ് അറിയപ്പെടുന്നത്.

നാലു വ്യത്യസ്ത തരം ദ്വിമാന ടെൻസറുകൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ പ്രത്യേക പേരുകളൊന്നും നിലവിലില്ല. വെക്റ്ററുകളുടെ കാര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഒരടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ പരിവർത്തന നിയമങ്ങൾ അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്, എന്നാൽ ഈ ടെൻസറുകൾക്ക് പ്രത്യേക പേരുകളൊന്നുമില്ല: അവ മെട്രിക്സുകൾ മാത്രമാണ്.

വേഗത്തിലോ പിന്നീടോ, അവയെ ഏത് വേണമെങ്കിലും വിളിക്കാം. ദ്വിമാന അറേ ഒരു "മാട്രിക്സ്", അത് ഒരു ടെൻസർ അല്ലെങ്കിലും. വീണ്ടും, അറേയും ടെൻസറും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ വിശദാംശങ്ങൾക്ക്, റഫർ ചെയ്യുകമുമ്പത്തെ ചർച്ചയിലേക്ക്.

ടെൻസറുകളെ കുറിച്ച് എന്താണ് അറിയേണ്ടത്

നിർദ്ദിഷ്‌ടവും വ്യത്യസ്തവുമായ ഗുണങ്ങളുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ ശ്രേണികളാണ് ടെൻസറുകൾ.

സദിശങ്ങൾക്കൊപ്പം സ്കെയിലറുകൾ പോലെ തന്നെ ഗണ്യമായ ഗുണങ്ങളെ വിവരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാവുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കളാണ് ടെൻസറുകൾ. ടെൻസറുകൾ സ്കെയിലറുകളുടെയും വെക്റ്ററുകളുടെയും ഒരു അനുമാനം മാത്രമാണ്; ഒരു സ്കെയിലർ 0 റാങ്ക് ടെൻസറും വെക്റ്റർ ഒരു ഒന്നാം റാങ്ക് ടെൻസറും ആണ്.

നിർവ്വചിക്കാൻ ആവശ്യമായ ദിശകളുടെ എണ്ണം (അതിനാൽ അറേയുടെ അളവും) ടെൻസറിന്റെ റാങ്ക് തിരിച്ചറിയുന്നു അത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സമീപനം (അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നാം റാങ്ക്) ആവശ്യമുള്ള പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3×1 കോളം വെക്‌ടറിന് എളുപ്പത്തിൽ വിവരിക്കാം.

കൂടാതെ, രണ്ട് ഓർഡറുകൾ (രണ്ടാം റാങ്ക് ടെൻസറുകൾ) ആവശ്യമുള്ള പ്രോപ്പർട്ടികൾ നിർവ്വചിക്കാം ഒമ്പത് സംഖ്യകൾ, ഒരു 3×3 മാട്രിക്സ് ജനറൽ പോലെ, 3n ഗുണകങ്ങൾക്ക് nth റാങ്ക് ടെൻസറിനെ വിവരിക്കാൻ കഴിയും.

രണ്ടാം റാങ്ക് ടെൻസറുകളുടെ ആവശ്യകത വിവരിക്കുന്നതിന് ഒന്നിലധികം ദിശകളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കേണ്ടിവരുമ്പോഴാണ് ഈ ശാരീരിക വശങ്ങളിൽ ഒന്ന്.

ഏതെങ്കിലും ഐസോട്രോപിക് ക്രിസ്റ്റലിന്റെ വൈദ്യുതചാലകത നമുക്ക് പറയണമെങ്കിൽ ഇതിന്റെ ഉത്തമ ഉദാഹരണമാണ്. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഓമിന്റെ നിയമം അനുസരിക്കാൻ ആവശ്യപ്പെടുന്ന ഐസോട്രോപിക് കണ്ടക്ടറുകൾ, അതായത്; j=σE. ഇതിനർത്ഥം നിലവിലെ സാന്ദ്രത j എന്നത് സമാന്തരമായ വൈദ്യുത മണ്ഡലമായ E യ്ക്ക് സമാന്തരമാണെന്നും j യുടെ ഓരോ ഭാഗവും E. യുടെ ഓരോ മൂലകത്തിനും രേഖീയമായി ആനുപാതികമാണെന്നും (ഉദാ., j1 = σE1).

ഇലക്ട്രിക് ഫീൽഡിന്റെ ഘടകങ്ങൾ

എന്നിരുന്നാലും, നിലവിലെ സാന്ദ്രത പ്രേരിപ്പിച്ചത് ക്രിസ്റ്റലിന്റെ കറന്റ് ഫ്ലോയുടെ വ്യത്യസ്ത ദിശകൾ കാരണം ഒരു അനിസോട്രോപിക് മെറ്റീരിയൽ ഉൾപ്പെടുന്ന വൈദ്യുത മണ്ഡലത്തിന് സമാന്തരമാകണമെന്നില്ല (ഇതിന്റെ മികച്ച ഉദാഹരണം ഗ്രാഫൈറ്റിലാണ്). പൊതുവേ, നിലവിലുള്ള സാന്ദ്രത വെക്റ്ററിന്റെ ഓരോ ഘടകത്തിനും നിലവിലെ വൈദ്യുത മണ്ഡലത്തിന്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളെയും ആശ്രയിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, പൊതുവെ, വൈദ്യുത ചാലകത ഒരു 2-ാം റാങ്ക് ടെൻസർ ആണ്, അത് ഒമ്പത് സ്വതന്ത്ര ഗുണകങ്ങളാൽ ഉറപ്പിക്കാം, ഇത് 3×3 മാട്രിക്സിൽ ചിത്രീകരിക്കാം.

ഇതിനർത്ഥം നിലവിലെ സാന്ദ്രത j സമർപ്പിത വൈദ്യുത മണ്ഡലമായ E ന് സമാന്തരമാണെന്നും j യുടെ ഓരോ ഭാഗവും ഓരോ ഫീൽഡിന് രേഖീയ ആനുപാതികമാണെന്നും ആണ്.

രണ്ടാം റാങ്ക് ടെൻസറുകളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ

മറ്റു ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ രണ്ടാം റാങ്ക് ടെൻസറുകളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

• വൈദ്യുത സംവേദനക്ഷമത
• താപ ചാലകത
• സമ്മർദ്ദം

അവ പൊതുവെ ഒരു വെക്‌ടറിനെ മറ്റൊരു വെക്‌റ്ററുമായോ മറ്റൊരു ഡ്യുവൽ റാങ്ക് ടെൻസറിനെ സ്‌കെലാറുമായോ ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു. രണ്ട് രണ്ടാം റാങ്ക് ടെൻസറുകളെ (ഉദാ. ദൃഢതയും (നാലാം റാങ്കും): സമ്മർദ്ദവും സമ്മർദ്ദവും) അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാം റാങ്ക് ടെൻസറും വെക്‌ടറും (ഉദാ. പീസോ ഇലക്‌ട്രിസിറ്റി (മൂന്നാം റാങ്ക്)) പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ പൂർണ്ണമായി വിവരിക്കാൻ കൂടുതൽ ഉയർന്ന റാങ്കിലുള്ള ടെൻസറുകൾക്ക് നിർദ്ദേശം നൽകിയിട്ടുണ്ട്.റാങ്ക്): ഉത്കണ്ഠയും ധ്രുവീകരണവും).

ഇവയും കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങളും കാണാനും ടെൻസറുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ മാറ്റുന്നത് ഈ ഗുണങ്ങളെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നു എന്ന് അന്വേഷിക്കാനും, ചുവടെയുള്ള ഫ്ലാഷ് പ്രോഗ്രാമിലൂടെ പോകുക.

ടെൻസറുകളിലേക്കുള്ള ആമുഖം

എന്താണ് വെക്റ്റർ?

ഒരു വെക്റ്റർ എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഒരു 1-ഡൈമൻഷണൽ അറേയാണ്, m അല്ലെങ്കിൽ n 1-ന് തുല്യമാകുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ്. ഒരു മാട്രിക്സിന് സമാനമായി, ഒരു വെക്റ്ററിൽ വിവിധ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ സാധിക്കും, അത് എളുപ്പവുമാണ്. മെട്രിക്സുകളെ വെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിക്കുക, തിരിച്ചും.

എന്നിരുന്നാലും, ടെൻസറിനെ അതിന്റെ റാങ്ക് വിവരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു സാമാന്യവൽക്കരിച്ച മാട്രിക്സ് ആയി കണക്കാക്കാം.

ഒരു ടെൻസറിന്റെ ലെവൽ 0 അല്ലെങ്കിൽ അതിലും ഉയർന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. ഒരു സ്കെയിലറിന് റാങ്ക് 0 ഉള്ള ടെൻസറിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും, റാങ്ക് ഒന്ന് ഉള്ള ഒരു ടെൻസറിനെ ഒരു വെക്റ്റർ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഒരു മാട്രിക്സിന് റാങ്ക് രണ്ട് ടെൻസറിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും. മൂന്നും അതിലും ഉയർന്ന റാങ്കും ഉള്ള ടെൻസറുകളും ഉണ്ട്, രണ്ടാമത്തേത് ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാൻ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

റാങ്കിന് പുറമേ, ടെൻസറുകൾക്ക് അവ എങ്ങനെ പരസ്പരം ഗണിതശാസ്ത്ര ഘടകങ്ങളുമായി ഇടപഴകുന്നു എന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രത്യേക സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്. ഒരു ഇന്ററാക്ഷനിലെ ഏതെങ്കിലും എന്റിറ്റികൾ മറ്റ് എന്റിറ്റിയെയോ എന്റിറ്റികളെയോ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ടെൻസർ സമാനമായ ഒരു പരിവർത്തന നിയമം അനുസരിക്കണം.

വെക്‌ടറുകളും ടെൻസറുകളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

വെക്‌റ്റർ ഒന്നാണ്- സംഖ്യകളുടെ ഡൈമൻഷണൽ അറേ, പലപ്പോഴും മാട്രിക്സ് എന്നറിയപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ m അല്ലെങ്കിൽ n = ഒന്ന്.

എല്ലാ വെക്റ്ററുകളും സാധാരണയായി ടെൻസറുകളാണ്. എന്നാൽ എല്ലാ ടെൻസറുകളും വെക്റ്ററുകളാകാൻ കഴിയില്ല. ഈടെൻസറുകൾ വെക്‌ടറിനേക്കാൾ വ്യാപകമായ ഒരു വസ്തുവാണ് എന്നർത്ഥം (കണിശമായി പറഞ്ഞാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ വെക്‌ടറുകൾ വഴി ടെൻസറുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നുവെങ്കിലും). ടെൻസറുകൾ സാങ്കേതികമായി രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകളിലൂടെ വിവരിക്കുന്നു:

• വെക്‌ടറുകൾ
• ഒരു-രൂപങ്ങൾ (“ഡ്യുവൽ” വെക്‌ടറുകൾ) 20>

വെക്‌ടറുകൾ അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം എണ്ണുന്നത് (വെക്റ്റർ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ) സ്കെയിൽ-മാറ്റത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് (സ്കെയിലർ ഗുണനം എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു) എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്ന വസ്തുക്കളാണ് വെക്‌ടറുകൾ.

ഒരു രൂപത്തിന്, സമാനമായ എല്ലാ ആശയങ്ങളും ഉണ്ട്; കൂടാതെ, ഇതിന് വെക്റ്ററുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കാനും പിന്നീട് സ്കെയിലറുകൾ നൽകാനും കഴിയും. ഉദാഹരണങ്ങൾ ക്രമത്തിലാണ്: ഏറ്റവും പ്രോട്ടോടൈപ്പിക്കൽ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ യൂക്ലിഡിയൻ വെക്റ്ററുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു - ബഹിരാകാശ പോയിന്റുകൾ.

ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, കാന്തിക പൊട്ടൻഷ്യൽ "വെക്റ്റർ" (ഇത് "സത്യ" വെക്റ്റർ അല്ല) അല്ലെങ്കിൽ ഗ്രേഡിയന്റ് ഓപ്പറേറ്റർ ആയിരിക്കും.

നിങ്ങൾ മറ്റ് ഉചിതമായത് ചേർക്കുമ്പോൾ അനുമാനങ്ങൾ, കോർഡിനേറ്റുകളുടെ മാറ്റത്തിന് കീഴിൽ വൺ-ഫോമുകളും വെക്റ്ററുകളും ഏതെങ്കിലും രീതിയിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു എന്നതാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വത്ത്. സാമാന്യ ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തം പോലുള്ള കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ആലോചിക്കുമ്പോൾ ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞർ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ആശങ്കാകുലരാകുന്നത് ഇവയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒബ്‌ജക്റ്റുകൾ "മൾട്ടിലീനിയർ" ഓപ്പറേറ്ററുകളാണ് എന്നതിനാൽ, ദീർഘിപ്പിക്കൽ വഴി ടെൻസറുകൾ; അതായത്, അവർ വെക്റ്ററുകളുടെ സെറ്റ് എടുക്കുകയും (ഒപ്പം ഒരു രൂപവും) മറ്റൊരു ടെൻസർ തിരികെ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു (ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്ററുകൾക്ക് വിരുദ്ധമായി, വെക്റ്ററുകളും റിട്ടേൺ വെക്റ്ററുകളും എടുക്കുന്നു). ഇവയ്ക്ക് വ്യത്യസ്ത ഉപയോഗങ്ങളുണ്ട്.

കരുതുകടെൻസറുകളുടെ പൊതുവായ സിദ്ധാന്തം നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അങ്ങനെയെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അമൂർത്ത ബീജഗണിതവും അവിശ്വസനീയമാംവിധം ലീനിയർ ബീജഗണിതവും മനസ്സിലാക്കണം), കൂടാതെ ടെൻസർ കാൽക്കുലസ് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ പോകുകയാണെങ്കിൽ, വ്യത്യസ്തമായ മാനിഫോൾഡുകളുടെ സിദ്ധാന്തവും നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കണം.

അന്തിമ ചിന്തകൾ

ഈ ലേഖനത്തിൽ, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയത്:

• വ്യത്യസ്‌ത ഗുണങ്ങളുള്ള മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ അറേകളാണ് ടെൻസറുകൾ.
• എല്ലാ ബഹുമുഖ ശേഖരണവും ഒരു ടെൻസർ അല്ല.
• ഒരു വെക്‌ടർ എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഒരു ഏകമാന ടെൻസർ ആണ്, ഒരു ഏകമാന ടെൻസർ എല്ലായ്‌പ്പോഴും ആണ് ഒന്നുകിൽ ഒരു വെക്റ്റർ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സഹ വെക്റ്റർ. ദ്വിമാന ടെൻസറുകൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന പേരാണ് മാട്രിക്സ്.
• വെക്റ്റർ എന്നത് സംഖ്യകളുടെ ഏകമാന ശ്രേണിയാണ്, ഇത് പലപ്പോഴും മാട്രിക്സ് എന്നറിയപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ m അല്ലെങ്കിൽ n = 1. ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു മാട്രിക്സ്, പലതരം ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം, കൂടാതെ വെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മെട്രിക്സുകളെ ഗുണിക്കുന്നത് ലളിതമാണ്, തിരിച്ചും.
• മറുവശത്ത്, ഒരു ടെൻസർ ഇതുപോലെ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും അതിന്റെ റാങ്ക് പ്രകാരം വിവരിച്ച ഒരു സാമാന്യവത്കൃത മാട്രിക്സ്.

അനുബന്ധ ലേഖനങ്ങൾ

വിസാർഡ് വേഴ്സസ് വാർലോക്ക് (ആരാണ് ശക്തൻ?)

വ്യത്യസ്‌ത തരം സ്റ്റീക്കുകൾ (T -ബോൺ, റിബെയെ, ടോമാഹോക്ക്, ഫൈലറ്റ് മിഗ്നോൺ)

സെസ്ന 150-നും സെസ്ന 152-നും ഇടയിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ (താരതമ്യം)