Tensörler, belirli ve farklı özelliklere sahip karmaşık dizilerdir. Her çok yönlü koleksiyon bir tensör değildir.

İki tür tek boyutlu tensör vardır: Bunlar vektörler ve eş vektörlerdir. Vektörler ya da eş vektörler erişilebilir bir sayı dizisi olarak gösterilebilir.

Tek fark, bu ikisini birbirine bağlamak, nesneyi tek bir temelde temsil eden çeşitli rakamlara sahip olduğunuzda ve aynı şeyi farklı bir zeminde hangi sayıların karmaşıklaştırdığını bulmak istediğinizde ortaya çıkar.

Dönüşüm işaretleri ve kuralları vektörler ve ortak vektörler için biraz farklıdır. Vektörler ve ortak vektörler genellikle sırasıyla "sayı sütunları" veya "sayı satırları "dır.

Vektör ve tensör farkı

Kısacası, bir vektör her zaman tek boyutlu bir tensör olacaktır; eğer tek boyutlu bir tensörünüz varsa, mutlaka ya bir vektör ya da eş vektör olacaktır. İki boyutlu tensörler matris olarak bilinir.

İki boyutlu tensörlerin dört farklı türü vardır, ancak belirli bir isimleri yoktur. Vektörler söz konusu olduğunda, bir temelden diğerine geçtiğinizde dönüşüm kuralları biraz farklıdır, ancak bu tensörler için belirli bir isim yoktur: bunlar sadece matrislerdir.

Er ya da geç, tensör olmasa bile herhangi bir iki boyutlu diziyi "matris" olarak adlandırabilirler. Yine, dizi ve tensör arasındaki fark hakkında daha fazla ayrıntı için önceki tartışmaya bakın.

Tensörler Hakkında Bilmeniz Gerekenler

Tensörler, belirli ve farklı özelliklere sahip karmaşık dizilerdir.

Tensörler, vektörlerle birlikte skalerlerle aynı şekilde önemli özellikleri tanımlamak için kullanılabilen matematiksel nesnelerdir. Tensörler basitçe skalerlerin ve vektörlerin bir çıkarımıdır; bir skaler 0 ranklı bir tensördür ve bir vektör 1. ranklı bir tensördür.

Bir tensörün rütbesi, onu tanımlamak için gerekli olan yön sayısı (ve dolayısıyla dizinin boyutluluğu) ile tanımlanır. Örneğin, bir yaklaşım (veya birinci rütbe) gerektiren özellikler 3×1 sütun vektörü ile kolayca tanımlanabilir.

Ayrıca, iki derece gerektiren özellikler (ikinci derece tensörler) dokuz sayı ile tanımlanabilir, 3×3 matris genel olarak 3n katsayısı n. derece tensörü tanımlayabilir.

İkinci dereceden tensörlere olan gereksinim, bu fiziksel yönlerden 1 tanesini tanımlamak için birden fazla yön düşünmemiz gerektiğinde ortaya çıkar.

Bunun mükemmel bir örneği, herhangi bir izotropik kristalin elektrik iletkenliğini söylememiz gerektiğidir. Genel anlamda, izotropik iletkenlerin Ohm yasasına uyması gerektiğini biliyoruz ve bu; j=σE'dir. Bu, j akım yoğunluğunun ayrılmış elektrik alanı E'ye paralel olduğu ve j'nin her bir parçasının E'nin her bir elemanı ile doğrusal olarak orantılı olduğu anlamına gelir (örneğin, j1 = σE1).

Elektrik Alan Bileşenleri

Bununla birlikte, anizotropik bir malzemede indüklenen akım yoğunluğu, kristalin farklı akım akış yönleri nedeniyle ilgili elektrik alanına mutlaka paralel olmayacaktır (bunun mükemmel bir örneği grafittir). Bu, genel olarak, mevcut yoğunluk vektörünün her bir bileşeninin mevcut elektrik alanının tüm parçalarına dayanabileceğini göstermektedir.

Yani, genel olarak, elektriksel iletkenlik 2. dereceden bir tensördür ve dokuz bağımsız katsayı ile sabitlenebilir, Bu da 3×3'lük bir matrisle gösterilebilir.

Bu, j akım yoğunluğunun özel elektrik alanı E'ye paralel olduğu ve j'nin her bir parçasının alan başına doğrusal olarak orantılı olduğu anlamına gelir.

İkinci Derece Tensörlere Bazı Örnekler

İkinci derece tensörlerin diğer bazı örnekleri şunlardır:

• Elektrik duyarlılığı
• Termal iletkenlik
• Stres

Genellikle bir vektörü başka bir vektörle veya başka bir çift rütbeli tensörü bir skaler ile ilişkilendirirler. Daha yüksek rütbeli tensörlere, iki ikinci rütbeli tensörü (örneğin, Sertlik (4. rütbe): stres ve gerinim) veya bir ikinci rütbe tensörü ve bir vektörü (örneğin, Piezoelektriklik (3. rütbe): kaygı ve polarizasyon) anlatan özellikleri tam olarak tanımlamaları talimatı verilir.

Bu ve daha fazla örneği görüntülemek ve tensörlerin bileşenlerini değiştirmenin bu özellikleri nasıl etkilediğini araştırmak için aşağıdaki flash programını kullanın.

Tensörlere giriş

Vektör Nedir?

Bir vektör 1 boyutlu bir sayı dizisidir, m veya n'nin 1'e eşit olduğu bir matristir. Bir matrise benzer şekilde, bir vektör üzerinde çeşitli matematiksel işlemler yapmak mümkündür ve matrisleri vektörlerle çarpmak kolaydır ve bunun tersi de geçerlidir.

Bununla birlikte, bir tensör, rütbesinin tanımlayabileceği genelleştirilmiş bir matris olarak düşünülebilir.

Bir tensörün seviyesi 0 veya daha yüksek bir tam sayıdır. Bir skaler, rütbesi 0 olan bir tensörü temsil edebilir, rütbesi bir olan bir tensör bir vektörle temsil edilebilir ve bir matris rütbesi iki olan bir tensörü temsil edebilir. Ayrıca rütbesi üç ve daha yüksek olan tensörler de vardır, sonuncuların görselleştirilmesi daha zordur.

Sıralamaya ek olarak, tensörler diğer matematiksel varlıklarla nasıl etkileşime girdikleriyle ilgili belirli özelliklere sahiptir. Bir etkileşimdeki varlıklardan herhangi biri diğer varlığı veya varlıkları dönüştürürse, tensör benzer bir dönüşüm kuralına uymalıdır.

Vektörler ve Tensörler Arasındaki Fark

Vektör, genellikle matris olarak bilinen ve m veya n = bir olan tek boyutlu bir sayı dizisidir.

Tüm vektörler genellikle tensördür. Ancak tüm tensörler vektör olamaz. Bu da tensörlerin vektörden daha yaygın bir nesne olduğu anlamına gelir (matematikçiler tensörleri vektörler aracılığıyla bir araya getirse de). Tensörler teknik olarak iki farklı nesne üzerinden tanımlanır:

• Vektörler
• Bir-formlar ("dual" vektörler)

Vektörler, yalnızca herhangi iki tanesini saymanın (vektör toplama) ölçek değiştirmeye (skaler çarpma olarak da bilinir) işaret ettiğini bildiğiniz nesnelerdir.

Bir form, aynı şekilde, tüm aynı kavramlara sahiptir; bunun dışında, vektörler üzerinde işlem yapabilir ve daha sonra skaler döndürebilir. Örnekler için sırayla: En prototipik örnekler Öklid vektörlerini içerir - uzayın noktaları.

Tek formlara örnek olarak şunlar verilebilir manyetik potansiyel "vektörü" (Bu "gerçek" bir vektör değildir) veya gradyan operatörü .

Diğer uygun varsayımları da eklediğinizde, en önemli özellik tek formların ve vektörlerin koordinat değişikliği altında bir şekilde dönüşmesidir. Bunlar, fizikçilerin genel görelilik teorisi gibi şeyler hakkında danışırken en çok endişelendikleri özelliklerdir.

Matematiksel nesneler olarak tensörler, uzatma yoluyla "çoklu doğrusal" operatörlerdir; yani, vektör kümelerini (ve tek biçimleri) alırlar ve başka bir tensör döndürürler (vektörleri alan ve vektörleri döndüren doğrusal operatörlerin aksine). Bunların farklı kullanımları vardır.

Tensörlerin genel teorisini anlamak istediğinizi varsayalım. Bu durumda, soyut cebir ve inanılmaz derecede doğrusal cebiri anlamalısınız) ve tensör hesabını anlayacaksanız, diferansiyellenebilir manifoldlar teorisini de anlamalısınız.

Son Düşünceler

Bu makalede, bunu öğrendiniz:

• Tensörler, farklı özelliklere sahip çok boyutlu dizilerdir.
• Her çok yönlü koleksiyon bir tensör değildir.
• Bir vektör her zaman bir boyutlu bir tensördür ve bir boyutlu bir tensör her zaman ya bir vektör ya da bir eş vektördür. Matris, iki boyutlu tensörlere verilen addır.
• Vektör, genellikle matris olarak bilinen ve m veya n = 1 olan tek boyutlu bir sayı dizisidir. Matris gibi bir vektör de çeşitli matematiksel işlemleri gerçekleştirmek için kullanılabilir ve matrisleri vektörlerle çarpmak ve tersini yapmak kolaydır.
• Öte yandan, bir tensör, rankı ile tanımlanan genelleştirilmiş bir matris olarak düşünülebilir.

İlgili Makaleler

Büyücü vs Warlock (Kim daha güçlü?)

Farklı Biftek Türleri (T-Bone, Ribeye, Tomahawk ve Filet Mignon)

Cessna 150 ve Cessna 152 Arasındaki Farklar (Karşılaştırma)