Տենսորները բարդ զանգվածներ են, որոնք ունեն հատուկ և տարբեր հատկություններ: Ամեն բազմակողմանի հավաքածու չէ, որ տենզոր է:

Կա երկու տեսակի միաչափ թենզորներ. Դրանք ներառում են վեկտորները և համավեկտորները: Վեկտորները կամ համավեկտորները կարող են ներկայացվել որպես թվերի հասանելի զանգված:

Միակ տարբերությունն այն է, որ այդ երկուսը կապելը տեղի է ունենում այն ​​ժամանակ, երբ դուք ունեք մի շարք թվանշաններ, որոնք ներկայացնում են օբյեկտը մեկ հիմքի վրա և ցանկանում եք պարզել, թե ինչ թվեր են բարդացնում նույն բանը տարբեր հիմքերի վրա:

Փոխակերպման նշանները և կանոնները փոքր-ինչ տարբեր են վեկտորների և համավեկտորների համար: Վեկտորները և համավեկտորները սովորաբար համապատասխանաբար «թվերի սյունակներ» կամ «թվերի տողեր» են:

Վեկտորի և թենզորի տարբերությունը

Մի խոսքով, վեկտորը միշտ կլինի լինել միաչափ տենզոր; եթե դուք ունեք միաչափ տենզոր, այն անպայման կլինի կամ վեկտոր կամ համավեկտոր: Երկչափ տենզորները հայտնի են որպես մատրիցներ։

Կա չորս տարբեր տեսակի երկչափ տենսորներ, բայց կոնկրետ անուններ չկան: Վեկտորների դեպքում փոխակերպման կանոնները մի փոքր տարբեր են, երբ մի հիմքից մյուսը տեղափոխվում ես, բայց այս տենզորների համար հատուկ անուններ չկան. դրանք միայն մատրիցաներ են:

Վաղ թե ուշ դրանք կարելի է անվանել ցանկացած: երկչափ զանգված՝ «մատրիցան», նույնիսկ եթե այն տենզոր չէ: Կրկին, զանգվածի և թենզորի տարբերության մասին ավելի շատ մանրամասների համար տեսՆախկին քննարկմանը:

Ինչ պետք է իմանալ տենզորների մասին

Տենսորները բարդ զանգվածներ են, որոնք ունեն հատուկ և տարբեր հատկություններ:

Տենսորները մաթեմատիկական օբյեկտներ են, որոնք կարող են օգտագործվել էական հատկություններ նկարագրելու համար, ինչպես նաև սկալերը վեկտորների հետ միասին: Տենսորները պարզապես սկալյարների և վեկտորների եզրակացություն են. սկալյարը 0 աստիճանի տենզոր է, իսկ վեկտորը՝ 1-ին կարգի թենզոր:

Տենսորի աստիճանը որոշվում է ուղղությունների քանակով (հետևաբար՝ զանգվածի չափսերով), որոնք անհրաժեշտ են սահմանելու համար։ այն. Օրինակ, հատկությունները, որոնք պահանջում են մեկ մոտեցում (կամ առաջին աստիճան) կարելի է հեշտությամբ նկարագրել 3×1 սյունակի վեկտորով: ինը թվեր, ինչպես 3×3 մատրիցայի ընդհանուր դեպքում, 3n գործակիցները կարող են նկարագրել n-րդ կարգի տենզորը:

Երկրորդ կարգի թենզորների պահանջը գալիս է այն ժամանակ, երբ մենք պետք է մտածենք մեկից ավելի ուղղությունների մասին նկարագրելու համար: Այս ֆիզիկական ասպեկտներից 1-ը.

Սրա կատարյալ օրինակն այն է, եթե մենք պետք է նշենք ցանկացած իզոտրոպ բյուրեղի էլեկտրական հաղորդունակությունը: Մենք գիտենք, որ ընդհանուր առմամբ, իզոտրոպ հաղորդիչներ, որոնք պահանջում են հնազանդվել Օհմի օրենքին, և դա. j=σE. Սա նշանակում է, որ ընթացիկ խտությունը j զուգահեռ է նվիրված էլեկտրական դաշտին, E, և որ j-ի յուրաքանչյուր մաս գծային համեմատական ​​է E.-ի մեկ տարրի նկատմամբ (օրինակ՝ j1 = σE1):

Էլեկտրական դաշտի բաղադրիչները

Սակայն հոսանքի խտությունը առաջացած Անիզոտրոպ նյութը պարտադիր չէ, որ զուգահեռ լինի ներգրավված էլեկտրական դաշտին՝ բյուրեղի հոսանքի տարբեր ուղղությունների պատճառով (դրա հիանալի օրինակ է գրաֆիտում): Սա ենթադրում է, որ, ընդհանուր առմամբ, գոյություն ունեցող խտության վեկտորի յուրաքանչյուր բաղադրիչ կարող է հենվել ներկա էլեկտրական դաշտի բոլոր մասերի վրա:

Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, էլեկտրական հաղորդունակությունը 2-րդ կարգի տենզոր է և կարող է ամրագրվել ինը անկախ գործակիցներով, որոնք կարող են պատկերված լինել 3×3 մատրիցով:

Սա նշանակում է, որ ընթացիկ խտությունը j զուգահեռ է հատուկ էլեկտրական դաշտին, E, և որ j-ի յուրաքանչյուր մասը գծային համեմատական ​​է մեկ դաշտի նկատմամբ:

Երկրորդ աստիճանի լարվածության որոշ օրինակներ

Մի քանի այլ օրինակներ Երկրորդ կարգի թենզորները ներառում են.

Նրանք սովորաբար կապում են վեկտորը մեկ այլ վեկտորի կամ մեկ այլ երկաստիճան տենզոր սկալարի հետ: Ավելի բարձր աստիճանի տենզորներին հանձնարարված է ամբողջությամբ նկարագրել այն հատկությունները, որոնք պատմում են երկու երկրորդ կարգի թենզորների (օրինակ՝ կոշտություն (4-րդ աստիճան)՝ լարվածություն և լարվածություն) կամ երկրորդ կարգի տենզոր և վեկտոր (օրինակ՝ պիեզոէլեկտրականություն (3-րդ):աստիճան). անհանգստություն և բևեռացում):

Այս և ավելի շատ օրինակներ դիտելու և ուսումնասիրելու համար, թե ինչպես են տենզորների բաղադրիչների փոփոխությունն ազդում այս հատկությունների վրա, անցեք ստորև ներկայացված ֆլեշ ծրագրի միջոցով:

Տենսորների ներածություն

Ի՞նչ է վեկտորը:

Վեկտորը թվերի 1չափ զանգված է, մատրիցա, որտեղ m կամ n-ը հավասար է 1-ի: Մատրիցայի նման, հնարավոր է տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ կատարել վեկտորի վրա, և դա հեշտ է: բազմապատկել մատրիցները վեկտորներով և հակառակը:

Սակայն, տենզորը կարելի է դիտարկել որպես ընդհանրացված մատրիցա, որը կարող է նկարագրել նրա աստիճանը:

Տենսորի մակարդակը 0 կամ ավելի մեծ թիվ է: Սկալյարը կարող է ներկայացնել 0 աստիճան ունեցող թենզորը, 1-ին աստիճանով թենզորը կարող է ներկայացվել վեկտորով, իսկ մատրիցը կարող է ներկայացնել երկու աստիճանի թենզոր: Կան նաև երրորդ և ավելի բարձր աստիճանի թենսորներ, վերջիններս ավելի դժվար է պատկերացնել:

Ի հավելումն աստիճանի, թենզորներն ունեն հատուկ բնութագրեր՝ կապված այն բանի հետ, թե ինչպես են նրանք փոխազդում միմյանց մաթեմատիկական սուբյեկտների հետ: Եթե ​​փոխազդեցության սուբյեկտներից որևէ մեկը փոխակերպում է մյուս էությունը կամ սուբյեկտները, ապա տենզորը պետք է ենթարկվի փոխակերպման նմանատիպ կանոնին:

Տարբերությունը վեկտորների և տենզորների միջև

Վեկտորը մեկ է թվերի ծավալային զանգված, որը հաճախ հայտնի է որպես մատրիցա, որտեղ m կամ n = մեկ:

Բոլոր վեկտորները սովորաբար տենսորներ են: Բայց բոլոր տենզորները չեն կարող վեկտոր լինել: Սանշանակում է, որ թենզորները ավելի տարածված օբյեկտ են, քան վեկտորը (խիստ ասած, չնայած մաթեմատիկոսները թենզորները հավաքում են վեկտորների միջոցով): Տենսորները տեխնիկապես նկարագրվում են երկու տարբեր օբյեկտների միջոցով. 20>

Վեկտորները բացառապես օբյեկտներ են, որոնց համար դուք գիտեք, թե ինչ է ցույց տալիս դրանցից որևէ երկուսի հաշվումը (վեկտորային գումարում) դրա սանդղակի փոփոխության համար (հայտնի է նաև որպես սկալյար բազմապատկում):

Մեկ ձևերը նույնպես ունեն բոլոր նույն հասկացությունները. Բացի դրանից, այն կարող է գործել վեկտորների վրա, իսկ հետո վերադարձնել սկալերները: Օրինակները կարգավորված են. Ամենատիպային օրինակները ներառում են էվկլիդյան վեկտորներ՝ տարածության կետեր:

Օրինակները ներառում են միաձև ձևեր, որոնք կլինեն մագնիսական պոտենցիալ «վեկտորը» (դա «ճշմարիտ» վեկտոր չէ) կամ գրադիենտ օպերատորը :

Երբ ավելացնեք այլ համապատասխան Ըստ ենթադրությունների, ամենակարևոր հատկությունն այն է, որ միաձև ձևերը և վեկտորները փոխակերպվում են ինչ-որ կերպ կոորդինատների փոփոխության ներքո: Սրանք այն հատկություններն են, որոնց մասին ֆիզիկոսներն ամենից հաճախ անհանգստանում են, երբ խորհրդակցում են հարաբերականության ընդհանուր տեսության մասին:

Տենսորները, ըստ երկարացման, որպես մաթեմատիկական առարկաներ «բազմագիծ» օպերատորներ են. այսպես ասած, նրանք վերցնում են վեկտորների (և միաձև ձևերի) հավաքածուներ և վերադարձնում մեկ այլ տենզոր (ի տարբերություն գծային օպերատորների, որոնք ընդունում են վեկտորներ և վերադարձնում վեկտորներ): Սրանք տարբեր կիրառություններ ունեն:

Ենթադրենքցանկանում եք հասկանալ թենզորների ընդհանուր տեսությունը: Այդ դեպքում դուք պետք է գիտակցեք վերացական հանրահաշիվը և անհավանական գծային հանրահաշիվը), և եթե դուք պատրաստվում եք հասկանալ տենզորի հաշվարկը, ապա պետք է հասկանաք նաև դիֆերենցիալ բազմազանության տեսությունը:

Վերջնական մտքեր

Այս հոդվածում դուք իմացաք, որ.

• Տենսորները տարբեր հատկություններով բազմաչափ զանգվածներ են:
• Ամեն բազմաշերտ ժողովածու չէ, որ տենզոր է: կա՛մ վեկտոր, կա՛մ համավեկտոր: Մատրիցը երկչափ տենզորների անվանումն է:
• Վեկտորը թվերի միաչափ զանգված է, որը հաճախ հայտնի է որպես մատրիցա, որտեղ m կամ n = 1: Վեկտորը, ինչպես մատրիցա, որը կարող է օգտագործվել տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ կատարելու համար, և հեշտ է բազմապատկել մատրիցները վեկտորներով և հակառակը:
• Մյուս կողմից, տենզորը կարելի է պատկերացնել որպես ընդհանրացված մատրիցա, որը նկարագրված է իր աստիճանով:

Առնչվող հոդվածներ

Վիզարդն ընդդեմ Ուորլոկի (Ո՞վ է ավելի ուժեղ)

Սթեյքերի տարբեր տեսակներ (T - Bone, Ribeye, Tomahawk և Filet Mignon)

Տարբերությունները Cessna 150-ի և Cessna 152-ի միջև (Համեմատություն)