Tensorlar spesifik və fərqli xüsusiyyətlərə malik mürəkkəb massivlərdir. Hər çoxşaxəli kolleksiya tenzor deyil.

Birölçülü tensorların iki növü var: Bunlara vektorlar və ko-vektorlar daxildir. İstər vektorlar, istərsə də ko-vektorlar əlçatan ədədlər massivi kimi təqdim oluna bilər.

Yeganə fərq ondadır ki, bu ikisini əlaqələndirmək obyekti bir əsasda təmsil edən müxtəlif rəqəmlərə malik olduğunuz zaman baş verir və hansı rəqəmlərin fərqli zəmində eyni şeyi çətinləşdirdiyini öyrənmək istəyirsiniz.

Transformasiya işarələri və qaydaları vektorlar və ko-vektorlar üçün bir qədər fərqlidir. Vektorlar və ko-vektorlar adətən müvafiq olaraq “ədədlərin sütunları” və ya “ədədlərin sətirləri” olur.

Vektor və tensor fərqi

Bir sözlə, vektor həmişə bir ölçülü tensor olmaq; Əgər bir ölçülü tensorunuz varsa, o, şübhəsiz ki, ya vektor, ya da ko-vektor olacaq. İki ölçülü tensorlar matrislər kimi tanınır.

İki ölçülü tensorların dörd müxtəlif növü var, lakin xüsusi adlar yoxdur. Vektorların vəziyyətində, bir əsasdan digərinə keçdiyiniz zaman transformasiya qaydaları bir qədər fərqli olur, lakin bu tensorlar üçün xüsusi adlar yoxdur: onlar yalnız matrislərdir.

Gec və ya tez onları istənilən adlandırmaq olar. ikiölçülü massiv tenzor olmasa belə, “matris”dir. Yenə də massiv və tensor arasındakı fərq haqqında daha ətraflı məlumat üçün baxınəvvəlki müzakirəyə.

Tensorlar Haqqında Bilməli Olanlar

Tensorlar spesifik və fərqli xassələri olan mürəkkəb massivlərdir.

Tensorlar vektorlarla birlikdə skalyarlar kimi əhəmiyyətli xassələri təsvir etmək üçün istifadə edilə bilən riyazi obyektlərdir. Tensorlar sadəcə olaraq skalyarların və vektorların nəticəsidir; skaler 0 dərəcəli tensor, vektor isə 1-ci dərəcəli tensordur.

Tenzorun rütbəsi müəyyən etmək üçün lazım olan istiqamətlərin sayı (və beləliklə massivin ölçülməsi) ilə müəyyən edilir. o. Məsələn, bir yanaşma (və ya birinci dərəcəli) tələb edən xassələri 3×1 sütun vektoru ilə asanlıqla təsvir etmək olar.

Bundan başqa, iki sıra tələb edən xüsusiyyətlər (ikinci dərəcəli tensorlar) ilə müəyyən edilə bilər. doqquz ədəd, 3×3 ümumi matrisdə olduğu kimi, 3n əmsalları n-ci dərəcəli tensoru təsvir edə bilər.

İkinci dərəcəli tensorlara olan tələb, təsvir etmək üçün birdən çox istiqamət haqqında düşünməli olduğumuz zaman yaranır. Bu fiziki cəhətlərdən 1-i.

Bunun mükəmməl nümunəsi, hər hansı bir izotrop kristalın elektrik keçiriciliyini söyləmək lazımdırsa. Bilirik ki, ümumi mənada Ohm qanununa tabe olmağı tələb edən izotrop keçiricilər; j=σE. Bu o deməkdir ki, j cərəyanının sıxlığı ayrılmış elektrik sahəsinə, E ilə paraleldir və j-nin hər bir hissəsi E. elementinin hər bir elementinə xətti mütənasibdir (məsələn, j1 = σE1).

Elektrik sahəsinin komponentləri

Lakin induksiya olunan cərəyan sıxlığı anizotrop material kristalın cərəyan axınının müxtəlif istiqamətlərinə görə cəlb olunan elektrik sahəsinə mütləq paralel olmayacaq (bunun əla nümunəsi qrafitdədir). Bu, ümumiyyətlə, mövcud sıxlıq vektorunun hər bir komponentinin mövcud elektrik sahəsinin bütün hissələrinə etibar edə biləcəyini göstərir.

Beləliklə, ümumi olaraq elektrik keçiriciliyi 2-ci dərəcəli tensordur və doqquz müstəqil əmsalla sabitlənə bilər bu 3×3 matrisdə təsvir edilə bilər.

Bu o deməkdir ki, j cərəyanının sıxlığı ayrılmış elektrik sahəsinə, E ilə paraleldir və j-nin hər bir hissəsi hər sahəyə xətti mütənasibdir.

İkinci dərəcəli tensorların bəzi nümunələri

Bəzi digər nümunələr ikinci dərəcəli tensorlara aşağıdakılar daxildir:

• Elektrik həssaslığı
• İstilik keçiriciliyi
• Stress

Onlar ümumiyyətlə vektoru başqa vektorla və ya başqa iki dərəcəli tensorla skalyarla əlaqələndirirlər. Daha yüksək dərəcəli tensorlara iki ikinci dərəcəli tensoru (məsələn, Sərtlik (4-cü dərəcə): gərginlik və gərginlik) və ya ikinci dərəcəli tensor və vektoru (məsələn, Piezoelektrik (3-cü)) deyən xassələri tam təsvir etmək tapşırılır.rütbə): narahatlıq və qütbləşmə).

Bu və daha çox nümunələrə baxmaq və tensorların komponentlərinin dəyişdirilməsinin bu xüsusiyyətlərə necə təsir etdiyini araşdırmaq üçün aşağıdakı flash proqramı keçin.

Tensorlara giriş

Vektor nədir?

Vektor m və ya n-in 1-ə bərabər olduğu 1 ölçülü ədədlər massividir. Matris kimi, vektor üzərində müxtəlif riyazi əməliyyatları yerinə yetirmək mümkündür və bunu etmək asandır. matrisləri vektorlarla çoxaltmaq və əksinə.

Lakin tensoru onun dərəcəsinin təsvir edə biləcəyi ümumiləşdirilmiş matris kimi düşünmək olar.

Tensorun səviyyəsi 0 və ya daha yüksək tam ədəddir. Skaler dərəcə 0 olan tensoru, birinci dərəcəli tensor vektorla, matris isə ikinci dərəcəli tensoru təmsil edə bilər. Üçüncü və daha yüksək dərəcəli tensorlar da var, sonuncuları vizuallaşdırmaq daha çətindir.

Rütbəyə əlavə olaraq, tensorların bir-biri ilə riyazi varlıqlarla qarşılıqlı əlaqəsi ilə bağlı spesifik xüsusiyyətlər var. Qarşılıqlı təsirdə olan obyektlərdən hər hansı biri digər obyekti və ya obyektləri çevirirsə, tensor oxşar transformasiya qaydasına tabe olmalıdır.

Vektorlar və tensorlar arasındakı fərq

Vektor bir-dir. tez-tez matris kimi tanınan ədədlərin ölçülü massivi, burada m və ya n = bir.

Bütün vektorlar adətən tensorlardır. Lakin bütün tensorlar vektor ola bilməz. Buo deməkdir ki, tensorlar vektordan daha geniş yayılmış obyektdir (riyaziyyatçılar tensorları vektorlar vasitəsilə yığsa da, ciddi şəkildə desək). Tensorlar texniki olaraq iki fərqli obyekt vasitəsilə təsvir edilir:

• Vektorlar
• Bir formada (“ikili” vektorlar)

Vektorlar eksklüziv olaraq obyektlərdir ki, onlar üçün onlardan hər hansı ikisinin hesablanması (vektor əlavəsi) onun miqyasının dəyişdirilməsini (həmçinin skalyar vurma kimi də tanınır) göstərdiyini bilirsiniz.

Bir formada da eyni anlayışlar var; Bundan əlavə, vektorlar üzərində işləyə və sonra skalyarları qaytara bilər. Nümunələr qaydasındadır: Ən prototip nümunələrə Evklid vektorları – fəza nöqtələri daxildir.

Nümunələrə maqnit potensialı "vektoru" ("həqiqi" vektor deyil) və ya qradiyent operatoru olan bir forma daxildir.

Digər uyğun olanları əlavə etdiyiniz zaman fərziyyələrə görə, ən əhəmiyyətli xüsusiyyət, bir forma və vektorların koordinatların dəyişməsi altında müəyyən şəkildə çevrilməsidir. Ümumi nisbilik nəzəriyyəsi kimi şeylər haqqında məsləhətləşərkən fiziklərin ən çox narahat olduqları xüsusiyyətlər bunlardır.

Riyazi obyektlər “çoxxətli” operatorlar olduğu üçün uzadılma yolu ilə tensorlar; deməli, onlar vektor dəstlərini (və bir formada) götürür və başqa bir tensor qaytarır (vektorları qəbul edən və vektorları qaytaran xətti operatorlardan fərqli olaraq). Bunların müxtəlif istifadələri var.

Fərz edəktensorların ümumi nəzəriyyəsini başa düşmək istəyirsən. Bu halda, siz mücərrəd cəbri və inanılmaz xətti cəbri dərk etməlisiniz) və əgər tenzor hesablamasını başa düşəcəksinizsə, diferensiallaşan manifoldlar nəzəriyyəsini də başa düşməlisiniz.

Yekun fikirlər

Bu məqalədə siz öyrəndiniz ki:

• Tensorlar fərqli xüsusiyyətlərə malik çoxölçülü massivlərdir.
• Hər çoxşaxəli kolleksiya tenzor deyil.
• Vektor həmişə birölçülü tensor, birölçülü tensor isə həmişə ya vektor, ya da ko-vektor. Matris ikiölçülü tensorlara verilən addır.
• Vektor çox vaxt matris kimi tanınan birölçülü ədədlər massividir, burada m və ya n = 1. Vektor, məsələn matris, müxtəlif riyazi əməliyyatları yerinə yetirmək üçün istifadə edilə bilər və matrisləri vektorlarla və əksinə çoxaltmaq asandır.
• Digər tərəfdən, tensor kimi təsəvvür edilə bilər. rütbəsinə görə təsvir edilən ümumiləşdirilmiş matris.

Əlaqədar Məqalələr

Sehrbaz və Cəvarid (Kim daha güclüdür?)

Müxtəlif Steaks Növləri (T -Bone, Ribeye, Tomahawk və Filet Mignon)

Cessna 150 və Cessna 152 arasındakı fərqlər (müqayisə)