टेन्सर हे जटिल अॅरे आहेत ज्यात विशिष्ट आणि भिन्न गुणधर्म आहेत. प्रत्येक बहुआयामी संग्रह टेन्सर नसतो.

एक-आयामी टेन्सर्सचे दोन प्रकार आहेत: यामध्ये वेक्टर आणि सह-वेक्टर समाविष्ट आहेत. एकतर सदिश किंवा सह-वेक्टर संख्यांच्या प्रवेशजोगी अॅरे म्हणून दर्शविले जाऊ शकतात.

फरक एवढाच आहे की त्या दोघांना जोडणे तेव्हा येते जेव्हा तुमच्याकडे एकाच आधारावर वस्तूचे प्रतिनिधित्व करणारे विविध अंक असतात आणि कोणत्या संख्येमुळे तीच गोष्ट वेगळ्या आधारावर गुंतागुंतीची आहे हे शोधायचे असते.

परिवर्तन चिन्हे आणि नियम वेक्टर आणि सह-वेक्टरसाठी थोडे वेगळे आहेत. सदिश आणि सह-वेक्टर हे सहसा अनुक्रमे “संख्यांचे स्तंभ” किंवा “संख्यांच्या रेषा” असतात.

वेक्टर आणि टेन्सर फरक

थोडक्यात, सदिश नेहमी एक-आयामी टेन्सर व्हा; जर तुमच्याकडे एक-आयामी टेन्सर असेल, तर तो निश्चितपणे व्हेक्टर किंवा सह-वेक्टर असेल. द्विमितीय टेन्सर मॅट्रिक्स म्हणून ओळखले जातात.

दोन-आयामी टेन्सर्सचे चार भिन्न प्रकार आहेत, परंतु कोणतीही विशिष्ट नावे अस्तित्वात नाहीत. वेक्टरच्या बाबतीत, जेव्हा तुम्ही एका आधारावरून दुसऱ्या आधारावर जाता तेव्हा परिवर्तनाचे नियम थोडे वेगळे असतात, परंतु या टेन्सर्ससाठी कोणतीही विशिष्ट नावे नाहीत: ती फक्त मॅट्रिक्स आहेत.

लवकर किंवा नंतर, त्यांना कोणतेही म्हटले जाऊ शकते. द्विमितीय अॅरे एक "मॅट्रिक्स," जरी तो टेन्सर नसला तरीही. पुन्हा, अॅरे आणि टेन्सरमधील फरकाबद्दल अधिक तपशीलांसाठी, पहाआधीच्या चर्चेसाठी.

टेन्सर्सबद्दल काय जाणून घ्यायचे

टेन्सर हे जटिल अॅरे आहेत ज्यांचे विशिष्ट आणि भिन्न गुणधर्म आहेत.

टेन्सर हे गणितीय वस्तू आहेत ज्यांचा उपयोग व्हेक्टरसह स्केलर प्रमाणेच लक्षणीय गुणधर्मांचे वर्णन करण्यासाठी केला जाऊ शकतो. टेन्सर हे फक्त स्केलर आणि वेक्टरचे अनुमान आहेत; स्केलर हा 0 रँक टेन्सर आहे आणि व्हेक्टर हा 1ला रँक टेन्सर आहे.

टेन्सरची रँक परिभाषित करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या दिशांच्या संख्येने (आणि म्हणून अॅरेची आयामीता) ओळखली जाते ते उदाहरणार्थ, ज्या गुणधर्मांना एक दृष्टीकोन आवश्यक आहे (किंवा प्रथम श्रेणी) 3×1 स्तंभ वेक्टरद्वारे सहजपणे वर्णन केले जाऊ शकते.

याशिवाय, ज्या गुणधर्मांना दोन ऑर्डर (सेकंड रँक टेन्सर्स) आवश्यक आहेत ते द्वारे परिभाषित केले जाऊ शकतात नऊ संख्या, 3×3 मॅट्रिक्सच्या सर्वसाधारण प्रमाणे, 3n गुणांक nव्या रँक टेन्सरचे वर्णन करू शकतात.

द्वितीय-रँक टेन्सरची आवश्यकता तेव्हा येते जेव्हा आपल्याला वर्णन करण्यासाठी एकापेक्षा जास्त दिशांचा विचार करावा लागतो या भौतिक पैलूंपैकी 1.

आम्हाला कोणत्याही समस्थानिक क्रिस्टलची विद्युत चालकता सांगायची असल्यास याचे एक उत्तम उदाहरण आहे. आम्हाला माहित आहे की सामान्य शब्दात, समस्थानिक कंडक्टर ज्यांना ओहमच्या नियमांचे पालन करणे आवश्यक आहे आणि ते आहे; j=σE. याचा अर्थ असा की वर्तमान घनता j समर्पित विद्युत क्षेत्राशी समांतर आहे, E आणि j चा प्रत्येक भाग E च्या प्रति घटकाच्या रेखीय प्रमाणात आहे (उदा., j1 = σE1).

इलेक्ट्रिक फील्डचे घटक

तथापि, वर्तमान घनता यामध्ये प्रेरित होते क्रिस्टलच्या प्रवाहाच्या वेगवेगळ्या दिशानिर्देशांमुळे एनिसोट्रॉपिक सामग्री गुंतलेल्या विद्युत क्षेत्राला समांतर असणे आवश्यक नाही (याचे उत्कृष्ट उदाहरण ग्रेफाइटमध्ये आहे). हे सूचित करते की, सर्वसाधारणपणे, विद्यमान घनता वेक्टरचा प्रत्येक घटक सध्याच्या विद्युत क्षेत्राच्या सर्व भागांवर अवलंबून राहू शकतो.

म्हणून, सर्वसाधारणपणे, विद्युत चालकता हा 2रा रँक टेन्सर आहे आणि तो नऊ स्वतंत्र गुणांकांद्वारे निश्चित केला जाऊ शकतो, जे ​​3×3 मॅट्रिक्समध्ये स्पष्ट केले जाऊ शकते.

याचा अर्थ असा की वर्तमान घनता j समर्पित विद्युत क्षेत्राशी समांतर आहे, E आणि j चा प्रत्येक भाग प्रति फील्डच्या रेखीय प्रमाणात आहे.

द्वितीय श्रेणीच्या टेन्सर्सची काही उदाहरणे

काही इतर उदाहरणे द्वितीय श्रेणीतील टेन्सर्सचा समावेश आहे:

• विद्युत संवेदनशीलता
• थर्मल चालकता
• ताण

ते सामान्यतः वेक्टरला दुसऱ्या वेक्टरशी किंवा दुस-या दुहेरी रँक टेन्सरला स्केलरशी जोडतात. अधिक उच्च दर्जाच्या टेन्सर्सना दोन द्वितीय श्रेणीचे टेन्सर (उदा. कडकपणा (चौथा रँक): ताण आणि ताण) किंवा द्वितीय श्रेणीचे टेन्सर आणि एक वेक्टर (उदा., पायझोइलेक्ट्रिकिटी (तृतीय) सांगणार्‍या गुणधर्मांचे पूर्णपणे वर्णन करण्याचे निर्देश दिले आहेत.रँक): चिंता आणि ध्रुवीकरण).

ही आणि अधिक उदाहरणे पाहण्यासाठी आणि टेन्सर्सचे घटक बदलल्याने या गुणधर्मांवर कसा परिणाम होतो हे तपासण्यासाठी, खालील फ्लॅश प्रोग्राम पहा.

टेन्सर्सचा परिचय

वेक्टर म्हणजे काय?

वेक्टर हा संख्यांचा 1-मितीय अॅरे आहे, एक मॅट्रिक्स जिथे m किंवा n 1 च्या बरोबरीचे आहे. मॅट्रिक्स प्रमाणेच, वेक्टरवर विविध गणिती क्रिया करणे शक्य आहे आणि ते करणे सोपे आहे. व्हेक्टरसह मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा आणि त्याउलट.

तथापि, टेन्सरचा विचार सामान्यीकृत मॅट्रिक्स म्हणून केला जाऊ शकतो ज्याचे वर्णन त्याची रँक करू शकते.

टेन्सरची पातळी ही 0 किंवा त्याहून अधिक पूर्णांक संख्या असते. स्केलर रँक 0 सह टेन्सरचे प्रतिनिधित्व करू शकते, रँक वन असलेले टेन्सर वेक्टरद्वारे दर्शवले जाऊ शकते आणि मॅट्रिक्स रँक दोनच्या टेन्सरचे प्रतिनिधित्व करू शकते. रँक तीन आणि त्याहून वरचे टेन्सर देखील आहेत, नंतरचे दृष्य पाहणे अधिक कठीण आहे.

रँक व्यतिरिक्त, टेन्सरमध्ये ते एकमेकांशी कसे संवाद साधतात याशी संबंधित विशिष्ट वैशिष्ट्ये आहेत. जर परस्परसंवादातील कोणत्याही घटकाने इतर घटक किंवा घटकांचे रूपांतर केले, तर टेन्सरने समान परिवर्तन नियम पाळले पाहिजेत.

वेक्टर आणि टेन्सरमधील फरक

वेक्टर एक- संख्यांचा मितीय अॅरे, अनेकदा मॅट्रिक्स म्हणून ओळखला जातो, जेथे m किंवा n = one.

सर्व सदिश हे सहसा टेन्सर असतात. परंतु सर्व टेन्सर वेक्टर असू शकत नाहीत. याम्हणजे टेन्सर्स ही वेक्टरपेक्षा अधिक व्यापक वस्तू आहेत (काटकसरीने सांगायचे तर, गणितज्ञ वेक्टरद्वारे टेन्सर एकत्र करतात). टेन्सरचे तांत्रिकदृष्ट्या दोन वेगवेगळ्या वस्तूंद्वारे वर्णन केले जाते:

• वेक्टर
• एक-फॉर्म ("ड्युअल" व्हेक्टर)

वेक्टर हे केवळ अशा वस्तू आहेत ज्यासाठी तुम्हाला माहित आहे की त्यापैकी कोणत्याही दोनची मोजणी करणे (वेक्टर जोडणे) ते स्केल-बदलणे दर्शवते (याला स्केलर गुणाकार देखील म्हणतात).

तसेच एक फॉर्म, सर्व समान कल्पना आहेत; त्याशिवाय, ते वेक्टरवर कार्य करू शकते आणि नंतर स्केलर परत करू शकते. उदाहरणे क्रमाने आहेत: सर्वात प्रोटोटाइपिकल उदाहरणांमध्ये युक्लिडियन व्हेक्टर – स्पेसचे बिंदू समाविष्ट आहेत.

उदाहरणांमध्ये एक-फॉर्म समाविष्ट असेल चुंबकीय संभाव्य "वेक्टर" (हे "खरे" वेक्टर नाही) किंवा ग्रेडियंट ऑपरेटर .

जेव्हा तुम्ही इतर योग्य जोडता गृहीतके, सर्वात लक्षणीय गुणधर्म म्हणजे एक-फॉर्म आणि व्हेक्टर समन्वयांच्या बदलाखाली काही प्रकारे रूपांतरित होतात. सामान्य सापेक्षतेच्या सिद्धांतासारख्या गोष्टींबद्दल सल्लामसलत करताना भौतिकशास्त्रज्ञ बहुतेकदा चिंतेत असलेले हे गुणधर्म आहेत.

गणितीय वस्तू "बहुरेषीय" ऑपरेटर असल्याने, वाढवण्यानुसार टेन्सर्स; याचा अर्थ असा आहे की, ते वेक्टरचे संच (आणि एक-फॉर्म) घेतात आणि दुसरा टेन्सर परत करतात (रेषीय ऑपरेटरच्या विरूद्ध, जे व्हेक्टर घेतात आणि व्हेक्टर परत करतात). ह्यांचे वेगवेगळे उपयोग आहेत.

समजातुम्हाला टेन्सर्सचा सामान्य सिद्धांत समजून घ्यायचा आहे. अशावेळी, तुम्हाला अमूर्त बीजगणित आणि अविश्वसनीयपणे रेखीय बीजगणित समजले पाहिजे), आणि जर तुम्ही टेन्सर कॅल्क्युलस समजून घेणार असाल, तर तुम्हाला भिन्नता असलेल्या मॅनिफोल्ड्सचा सिद्धांत देखील समजला पाहिजे.

अंतिम विचार

या लेखात, तुम्ही शिकलात की:

• टेन्सर हे वेगळे गुणधर्म असलेले बहुआयामी अॅरे आहेत.
• प्रत्येक बहुआयामी संग्रह हा टेन्सर नसतो.
• वेक्टर नेहमीच एक-आयामी टेन्सर असतो आणि एक-आयामी टेन्सर नेहमीच असतो एकतर वेक्टर किंवा सह-वेक्टर. मॅट्रिक्स हे द्विमितीय टेन्सर्सना दिलेले नाव आहे.
• वेक्टर हा संख्यांचा एक-आयामी अॅरे आहे, ज्याला अनेकदा मॅट्रिक्स म्हणून ओळखले जाते, जेथे m किंवा n = 1. एक सदिश, जसे एक मॅट्रिक्स, विविध गणिती ऑपरेशन्स चालविण्यासाठी वापरला जाऊ शकतो, आणि व्हेक्टरसह मॅट्रिक्स आणि उलट गुणाकार करणे सोपे आहे.
• दुसरीकडे, टेन्सरची कल्पना केली जाऊ शकते त्याच्या श्रेणीनुसार वर्णन केलेले एक सामान्यीकृत मॅट्रिक्स.

संबंधित लेख

विझार्ड वि. वॉरलॉक (कोण मजबूत आहे?)

स्टीक्सचे विविध प्रकार (टी -बोन, रिबे, टॉमाहॉक आणि फिलेट मिग्नॉन)

सेस्ना 150 आणि सेस्ना 152 मधील फरक (तुलना)