A tenzorok olyan összetett tömbök, amelyek sajátos és különböző tulajdonságokkal rendelkeznek. Nem minden sokrétű gyűjtemény tenzor.

Az egydimenziós tenzoroknak két típusa van: ezek a vektorok és a társvektorok. Mind a vektorok, mind a társvektorok számok hozzáférhető tömbjeként ábrázolhatók.

Az egyetlen különbség az, hogy e kettő összekapcsolása akkor jön létre, amikor a tárgyat egy alapon reprezentáló számok sokasága áll rendelkezésünkre, és meg akarjuk találni, hogy milyen számok bonyolítják ugyanazt a dolgot valamilyen más alapon.

A vektorok és a társvektorok transzformációs jelei és szabályai kissé eltérnek egymástól. A vektorok és a társvektorok általában "számoszlopok", illetve "számsorok".

Vektor és tenzor különbség

Röviden, egy vektor mindig egydimenziós tenzor lesz; ha van egy egydimenziós tenzorunk, akkor az biztosan vagy vektor, vagy társvektor. A kétdimenziós tenzorokat mátrixoknak nevezzük.

A kétdimenziós tenzoroknak négy különböző típusa létezik, de nincsenek konkrét nevek. A vektorok esetében a transzformációs szabályok kissé eltérőek, amikor egyik bázisról a másikra lépünk, de ezeknek a tenzoroknak nincsenek konkrét nevei: ezek csak mátrixok.

Előbb-utóbb bármilyen kétdimenziós tömböt "mátrixnak" nevezhetnek, még akkor is, ha az nem tenzor. A tömb és a tenzor közötti különbségről megint csak a korábbi értekezésben olvashatunk részletesebben.

Mit kell tudni a tenzorokról

A tenzorok olyan összetett tömbök, amelyek sajátos és különböző tulajdonságokkal rendelkeznek.

A tenzorok olyan matematikai objektumok, amelyek a skalárokkal és a vektorokkal együtt lényeges tulajdonságok leírására használhatók. A tenzorok egyszerűen a skalárok és a vektorok következtetése; a skalár egy 0 rangú tenzor, a vektor pedig egy 1. rangú tenzor.

Egy tenzor rangját a meghatározásához szükséges irányok számával (és így a tömb dimenzionalitásával) azonosítjuk. Például az egy megközelítést ( vagy első rangot) igénylő tulajdonságok könnyen leírhatók egy 3×1 oszlopvektorral.

Továbbá a két rendet igénylő tulajdonságok (másodrendű tenzorok) kilenc számmal is definiálhatók, mivel egy 3×3-as mátrixban általában 3n együtthatóval írható le az n-edik rendű tenzor.

A másodrendű tenzorokra akkor van szükség, amikor egynél több irányban kell gondolkodnunk, hogy leírjunk 1 ilyen fizikai aspektust.

Tökéletes példa erre, ha meg kell mondanunk egy izotróp kristály elektromos vezetőképességét. Tudjuk, hogy általánosságban az izotróp vezetők az Ohm-törvénynek kell, hogy engedelmeskedjenek, és ez; j=σE. Ez azt jelenti, hogy a j áramsűrűség párhuzamos az odaadó elektromos térrel, E-vel, és hogy j minden része lineárisan arányos E minden egyes elemével (pl. j1 = σE1).

Az elektromos mező összetevői

Az anizotróp anyagban indukált áramsűrűség azonban nem feltétlenül lesz párhuzamos a bevont elektromos mezővel a kristály eltérő áramáramlási irányai miatt (erre kiváló példa a grafit). Ez arra utal, hogy általában a meglévő sűrűségvektor minden egyes összetevője támaszkodhat a jelenlévő elektromos mező minden részére.

Tehát általánosságban, az elektromos vezetőképesség egy 2. rangú tenzor, és kilenc független együtthatóval rögzíthető, amely egy 3×3-as mátrixban ábrázolható.

Ez azt jelenti, hogy a j áramsűrűség párhuzamos a dedikált elektromos mezővel, E-vel, és hogy j minden része lineárisan arányos a mezővel.

Néhány példa a másodrendű tenzorokra

Néhány további példa a másodrendű tenzorokra:

• Elektromos érzékenység
• Hővezető képesség
• Stressz

Általában egy vektort egy másik vektorhoz vagy egy másik kétrangú tenzort egy skalárhoz viszonyítanak. A magasabb rangú tenzorok olyan tulajdonságok teljes leírására kapnak utasítást, amelyek két másodrangú tenzort (pl. Merevség (4. rang): feszültség és alakváltozás) vagy egy másodrangú tenzort és egy vektort (pl. Piezoelektromosság (3. rang): szorongás és polarizáció) mondanak el.

Ha ezeket és még több példát szeretne megtekinteni, és megvizsgálni, hogy a tenzorok összetevőinek megváltoztatása hogyan befolyásolja ezeket a tulajdonságokat, nézze meg az alábbi flash programot.

Bevezetés a tenzorokba

Mi az a vektor?

A vektor számok 1 dimenziós tömbje, egy mátrix, ahol m vagy n egyenlő 1. A mátrixhoz hasonlóan a vektorral is végezhetünk különböző matematikai műveleteket, és könnyen szorozhatunk mátrixokat vektorokkal és fordítva.

Egy tenzor azonban úgy is felfogható, mint egy általánosított mátrix, amelyet a rangja leírhat.

Egy tenzor rangja egy 0 vagy annál nagyobb egész szám. 0 rangú tenzort egy skalár, egy egy rangú tenzort egy vektor, egy kettes rangú tenzort pedig egy mátrix reprezentálhat. Léteznek még hármas és magasabb rangú tenzorok is, ez utóbbiak nehezebben szemléltethetők.

A rangon kívül a tenzoroknak sajátos tulajdonságaik vannak azzal kapcsolatban, hogy hogyan lépnek kölcsönhatásba más matematikai entitásokkal. Ha egy kölcsönhatásban bármelyik entitás átalakítja a másik entitást vagy entitásokat, akkor a tenzornak is hasonló átalakítási szabálynak kell engedelmeskednie.

Különbség a vektorok és a tenzorok között

A vektor számok egydimenziós tömbje, gyakran mátrixnak is nevezik, ahol m vagy n = egy.

Minden vektor általában tenzor. De minden tenzor nem lehet vektor. Ez azt jelenti, hogy a tenzorok elterjedtebb objektumok, mint a vektorok (szigorúan véve, bár a matematikusok a tenzorokat vektorokon keresztül állítják össze). A tenzorokat technikailag két különböző objektummal írják le:

• Vektorok
• Egyalakúak ("kettős" vektorok)

A vektorok kizárólag olyan objektumok, amelyekről tudod, hogy bármelyik kettő megszámlálása (vektor összeadás) mit jelez a skála megváltoztatására ( más néven skaláris szorzás).

Egy formák, hasonlóképpen, minden ugyanazokat a fogalmakat; ettől eltekintve, tud vektorokkal operálni, majd skalárokat visszaadni. Mert a példák sorrendben: A legprototipikusabb példák közé tartoznak az euklideszi vektorok -pontok a térben.

Példák közé tartozik az alábbi egyformájú formanyomtatványok a mágneses potenciál "vektor" (Ez nem egy "valódi" vektor) vagy a gradiens operátor. .

Ha más megfelelő feltételezéseket is hozzáadunk, akkor a legjelentősebb tulajdonság az, hogy az egyalakúak és a vektorok valamilyen módon átalakulnak a koordináták megváltoztatásakor. Ezek azok a tulajdonságok, amelyek miatt a fizikusok leggyakrabban aggódnak, amikor olyan dolgokról konzultálnak, mint az általános relativitáselmélet.

A tenzorok, mint matematikai objektumok, "multilineáris" operátorok; ez azt jelenti, hogy vektorok (és egyalakúak) halmazát veszik fel, és egy másik tenzort adnak vissza (szemben a lineáris operátorokkal, amelyek vektorokat vesznek fel és vektorokat adnak vissza). Ezek felhasználása változó.

Tegyük fel, hogy meg akarod érteni a tenzorok általános elméletét. Ebben az esetben meg kell valósítanod az absztrakt algebrát és hihetetlenül lineáris algebrát), és ha meg akarod érteni a tenzorszámítást, akkor meg kell értened a differenciálható sokaságok elméletét is.

Végső gondolatok

Ebben a cikkben megtudta, hogy:

• A tenzorok többdimenziós tömbök, amelyek különböző tulajdonságokkal rendelkeznek.
• Nem minden sokrétű gyűjtemény egy tenzor.
• A vektor mindig egydimenziós tenzor, és az egydimenziós tenzor mindig vagy vektor vagy társvektor. A mátrix a kétdimenziós tenzorok elnevezése.
• A vektor számok egydimenziós tömbje, gyakran mátrixnak is nevezik, ahol m vagy n = 1. A vektor, akárcsak a mátrix, számos matematikai művelet végrehajtására használható, és egyszerű a mátrixokat vektorokkal szorozni és fordítva.
• Másrészt egy tenzor felfogható úgy is, mint egy általános mátrix, amelyet a rangja ír le.

Kapcsolódó cikkek

Varázsló vs. boszorkánymester (Ki az erősebb?)

Különböző típusú steakek (T-Bone, Ribeye, Tomahawk és Filet Mignon)

A Cessna 150 és a Cessna 152 közötti különbségek (összehasonlítás)