Tenzory sú zložité polia, ktoré majú špecifické a odlišné vlastnosti. Nie každá mnohotvárna kolekcia je tenzor.

Existujú dva typy jednorozmerných tenzorov: Patria k nim vektory a ko-vektory. Buď vektory, alebo ko-vektory možno reprezentovať ako prístupné pole čísel.

Jediný rozdiel je v tom, že spojenie týchto dvoch možností nastáva vtedy, keď máte rôzne číslice reprezentujúce objekt na jednom základe a chcete zistiť, ktoré čísla komplikujú tú istú vec na nejakom inom základe.

Transformačné znaky a pravidlá sú pre vektory a ko- vektory mierne odlišné. Vektory a ko- vektory sú zvyčajne "stĺpce čísel", resp.

Rozdiel vektorov a tenzorov

Stručne povedané, vektor bude vždy jednorozmerným tenzorom; ak máte jednorozmerný tenzor, určite bude buď vektorom, alebo ko-vektorom. Dvojrozmerné tenzory sú známe ako matice.

Existujú štyri rôzne typy dvojrozmerných tenzorov, ale neexistujú pre ne žiadne špecifické názvy. V prípade vektorov sa pravidlá transformácie mierne líšia pri prechode z jednej bázy do druhej, ale pre tieto tenzory neexistujú žiadne špecifické názvy: sú to len matice.

Skôr či neskôr sa dá nazvať "maticou" akékoľvek dvojrozmerné pole, aj keď nie je tenzorom. Opäť platí, že podrobnejšie informácie o rozdiele medzi pojmami pole a tenzor nájdete v predchádzajúcej diskusii.

Čo treba vedieť o tenzoroch

Tenzory sú zložité polia, ktoré majú špecifické a odlišné vlastnosti.

Tenzory sú matematické objekty, ktoré možno využiť na opis podstatných vlastností, rovnako ako skaláre spolu s vektormi. Tenzory sú jednoducho odvodením skalárov a vektorov; skalár je tenzor 0. rádu a vektor je tenzor 1. rádu.

Hodnosť tenzora sa identifikuje počtom smerov (a teda dimenzionálnosťou poľa) potrebných na jeho definovanie. Napríklad vlastnosti, ktoré vyžadujú jeden prístup ( alebo prvú hodnosť), možno ľahko opísať stĺpcovým vektorom 3 × 1.

Okrem toho vlastnosti, ktoré vyžadujú dva rády (tenzory druhého rádu), môžu byť definované deviatimi číslami, pretože v matici 3×3 všeobecne môže 3n koeficientov opisovať tenzor n-tého rádu.

Požiadavka na tenzory druhého rangu prichádza vtedy, keď potrebujeme uvažovať o viac ako jednom smere na opis 1 z týchto fyzikálnych aspektov.

Ideálnym príkladom je, ak potrebujeme povedať elektrickú vodivosť akéhokoľvek izotropného kryštálu. Vieme, že vo všeobecnosti platí, že izotropné vodiče, ktoré vyžadujú, aby sa riadili Ohmovým zákonom, a to; j =σE. To znamená, že prúdová hustota j je rovnobežná s venovaným elektrickým poľom E a že každá časť j je lineárne úmerná každému prvku E. (napr. j1 = σE1).

Zložky elektrického poľa

Avšak prúdová hustota indukovaná v anizotropnom materiáli nebude nevyhnutne rovnobežná so zapojeným elektrickým poľom v dôsledku rôznych smerov toku prúdu v kryštáli (vynikajúcim príkladom je grafit). To naznačuje, že vo všeobecnosti sa každá zložka existujúceho vektora hustoty môže opierať o všetky časti prítomného elektrického poľa.

Takže všeobecne, elektrická vodivosť je tenzor 2. rangu a možno ju stanoviť pomocou deviatich nezávislých koeficientov, ktoré možno znázorniť v matici 3×3.

To znamená, že prúdová hustota j je rovnobežná s vyhradeným elektrickým poľom E a že každá časť j je lineárne úmerná poolu.

Niektoré príklady tenzorov druhého rangu

Medzi ďalšie príklady tenzorov druhého rangu patria:

• Elektrická citlivosť
• Tepelná vodivosť
• Stres

Vo všeobecnosti sa vzťahujú na vektor k inému vektoru alebo na iný tenzor dvojitého rangu k skaláru. Tenzory vyššieho rangu sú poučené na úplný opis vlastností, ktoré vypovedajú o dvoch tenzoroch druhého rangu (napr. tuhosť (4. rang): napätie a deformácia) alebo o tenzore druhého rangu a vektore (napr. piezoelektrickosť (3. rang): úzkosť a polarizácia).

Ak si chcete pozrieť tieto a ďalšie príklady a preskúmať, ako zmena zložiek tenzorov ovplyvňuje tieto vlastnosti, prejdite na nižšie uvedený flashový program.

Úvod do tenzorov

Čo je vektor?

Vektor je jednorozmerné pole čísel, matica, kde m alebo n je rovné 1. Podobne ako s maticou, aj s vektorom je možné vykonávať rôzne matematické operácie a je jednoduché násobiť matice vektormi a naopak.

Tenzor si však môžeme predstaviť ako zovšeobecnenú maticu, ktorá môže popisovať svoju hodnosť.

Stupeň tenzora je celé číslo 0 alebo vyššie. Skalár môže reprezentovať tenzor so stupňom 0, tenzor so stupňom 1 môže byť reprezentovaný vektorom a matica môže reprezentovať tenzor so stupňom 2. Existujú aj tenzory so stupňom 3 a vyšším, pričom posledné menované sa ťažšie vizualizujú.

Okrem hodnosti majú tenzory špecifické vlastnosti súvisiace s tým, ako interagujú s ostatnými matematickými entitami. Ak niektorá z entít v interakcii transformuje inú entitu alebo entity, potom sa tenzor musí podriadiť podobnému transformačnému pravidlu.

Rozdiel medzi vektormi a tenzormi

Vektor je jednorozmerné pole čísel, často známe ako matica, kde m alebo n = jedna.

Všetky vektory sú zvyčajne tenzory. Ale všetky tenzory nemôžu byť vektory. To znamená, že tenzory sú rozšírenejším objektom ako vektor (prísne vzaté, hoci matematici zostavujú tenzory prostredníctvom vektorov). Tenzory sa technicky opisujú prostredníctvom dvoch rôznych objektov:

• Vektory
• Jednoformy ("duálne" vektory)

Vektory sú výlučne objekty, pri ktorých viete, čo znamená sčítanie dvoch ľubovoľných vektorov (vektorové sčítanie) a čo zmena mierky (známa aj ako skalárne násobenie).

Jeden formulár má rovnako všetky rovnaké pojmy; okrem toho môže operovať s vektormi a potom vrátiť skaláre. Pre príklady sú v poriadku: Medzi najprototypickejšie príklady patria euklidovské vektory -body priestoru.

Príkladom sú tieto jednoformuláre "vektor" magnetického potenciálu (nie je to "pravý" vektor) alebo operátor gradientu .

Keď pridáte ďalšie vhodné predpoklady, najvýznamnejšou vlastnosťou je, že jednoformy a vektory sa určitým spôsobom konvertujú pri zmene súradníc. Práve tieto vlastnosti fyzikov najčastejšie znepokojujú pri konzultáciách o veciach, ako je všeobecná teória relativity.

Tenzory ako matematické objekty sú "multilineárne" operátory; to znamená, že prijímajú množiny vektorov (a jednoformulárov) a vracajú iný tenzor (na rozdiel od lineárnych operátorov, ktoré prijímajú vektory a vracajú vektory). Tieto majú rôzne využitie.

Predpokladajme, že chcete pochopiť všeobecnú teóriu tenzorov. V takom prípade by ste si mali uvedomiť abstraktnú algebru a neuveriteľne lineárnu algebru), a ak chcete pochopiť tenzorový kalkul, mali by ste pochopiť aj teóriu diferencovateľných množin.

Záverečné myšlienky

V tomto článku ste sa dozvedeli, že:

• Tenzory sú viacrozmerné polia s odlišnými vlastnosťami.
• Nie každá mnohotvárna kolekcia je tenzor.
• Vektor je vždy jednorozmerný tenzor a jednorozmerný tenzor je vždy buď vektor, alebo ko-vektor. Matica je názov pre dvojrozmerné tenzory.
• Vektor je jednorozmerné pole čísel, často známe ako matica, kde m alebo n = 1. Vektor, podobne ako matica, sa dá použiť na vykonávanie rôznych matematických operácií a je jednoduché násobiť matice vektormi a naopak.
• Na druhej strane, tenzor si možno predstaviť ako zovšeobecnenú maticu opísanú jej hodnosťou.

Súvisiace články

Čarodejník vs. čarodejník (Kto je silnejší?)

Rôzne druhy steakov (T-Bone, Ribeye, Tomahawk a Filet Mignon)

Rozdiely medzi Cessnou 150 a Cessnou 152 (porovnanie)