Tensorit ovat monimutkaisia matriiseja, joilla on erityisiä ja erilaisia ominaisuuksia. Kaikki monimuotoiset kokoelmat eivät ole tensoreita.

Yksiulotteisia tensoreita on kahdenlaisia: vektorit ja yhteisvektorit. Sekä vektorit että yhteisvektorit voidaan esittää numeroiden käytettävissä olevana joukkona.

Ainoa ero on se, että näiden kahden yhdistäminen tapahtuu silloin, kun sinulla on erilaisia numeroita, jotka edustavat kohdetta yhdellä perusteella, ja haluat selvittää, mitkä numerot monimutkaistavat samaa asiaa jollakin muulla perusteella.

Muunnosmerkit ja -säännöt ovat hieman erilaiset vektoreiden ja yhteisvektoreiden osalta. Vektorit ja yhteisvektorit ovat yleensä "numerosarakkeita" tai "numerorivejä".

Vektorin ja tensorin ero

Lyhyesti sanottuna vektori on aina yksiulotteinen tensori; jos sinulla on yksiulotteinen tensori, se on varmasti joko vektori tai yhteisvektori. Kaksiulotteisia tensoreita kutsutaan matriiseiksi.

Kaksiulotteisia tensoreita on neljää eri tyyppiä, mutta niille ei ole olemassa erityisiä nimiä. Vektoreiden tapauksessa muunnossäännöt ovat hieman erilaiset, kun siirrytään yhdestä perustasta toiseen, mutta näille tensoreille ei ole olemassa erityisiä nimiä: ne ovat vain matriiseja.

Ennemmin tai myöhemmin mitä tahansa kaksiulotteista matriisia voidaan kutsua "matriisiksi", vaikka se ei olisikaan tensori. Lisätietoja matriisin ja tensorin välisestä erosta on taas aiemmassa keskustelussa.

Mitä pitää tietää tensoreista

Tensorit ovat monimutkaisia matriiseja, joilla on erityisiä ja erilaisia ominaisuuksia.

Tensorit ovat matemaattisia objekteja, joita voidaan käyttää olennaisten ominaisuuksien kuvaamiseen, kuten skalaareja ja vektoreita. Tensorit ovat yksinkertaisesti skalaarien ja vektoreiden yhdistelmä; skalaari on 0-arvoinen tensori ja vektori on 1-arvoinen tensori.

Tensorin arvoaste määräytyy sen määrittelemiseksi tarvittavien suuntien määrän (ja siten matriisin ulottuvuuden) mukaan. Esimerkiksi ominaisuudet, jotka vaativat yhden lähestymistavan ( tai ensimmäisen arvoasteen), voidaan helposti kuvata 3×1 sarakevektorilla.

Lisäksi ominaisuudet, jotka vaativat kaksi järjestystä (toisen asteen tensorit), voidaan määritellä yhdeksällä luvulla, sillä 3×3-matriisissa yleisesti 3n kerrointa voi kuvata n:nnen asteen tensoria.

Toisen asteen tensoreita tarvitaan, kun meidän on ajateltava useampaa kuin yhtä suuntaa kuvaamaan yhtä näistä fysikaalisista näkökohdista.

Täydellinen esimerkki tästä on, jos meidän täytyy kertoa jonkin isotrooppisen kiteen sähkönjohtavuus. Tiedämme, että yleisesti ottaen isotrooppiset johtimet, jotka vaativat noudattamaan Ohmin lakia, ovat j=σE. Tämä tarkoittaa, että virrantiheys j on samansuuntainen omistetun sähkökentän E kanssa ja että jokainen j:n osa on lineaarisesti verrannollinen jokaiseen E:n elementtiin (esim. j1 = σE1).

Sähkökentän komponentit

Anisotrooppiseen materiaaliin indusoitu virrantiheys ei kuitenkaan välttämättä ole yhdensuuntainen mukana olevan sähkökentän kanssa, koska kiteessä on erilaisia virran kulkusuuntia (erinomainen esimerkki tästä on grafiitti). Tämä viittaa siihen, että yleensä jokainen olemassa olevan tiheysvektorin komponentti voi tukeutua kaikkiin nykyisen sähkökentän osiin.

Yleisesti ottaen, sähkönjohtavuus on 2. asteen tensori, ja se voidaan määrittää yhdeksällä riippumattomalla kertoimella, jota voidaan havainnollistaa 3×3-matriisilla.

Tämä tarkoittaa, että virrantiheys j on samansuuntainen kuin oma sähkökenttä E ja että jokainen j:n osa on lineaarisesti verrannollinen kenttään.

Esimerkkejä toisen asteen tensoreista

Joitakin muita esimerkkejä toisen asteen tensoreista ovat:

• Sähköinen herkkyys
• Lämmönjohtavuus
• Stressi

Ne yleensä suhteuttavat vektorin toiseen vektoriin tai toisen dual-rank tensorin skalaariin. Korkeamman rankin tensorit ohjeistetaan kuvaamaan täydellisesti ominaisuuksia, jotka kertovat kahdesta toisen rankin tensorista (esim. jäykkyys (4. rank): jännitys ja venymä) tai toisen rankin tensorista ja vektorista (esim. pietsosähköisyys (3. rank): ahdistus ja polarisaatio).

Voit katsoa näitä ja muita esimerkkejä ja tutkia, miten tensoreiden komponenttien muuttaminen vaikuttaa näihin ominaisuuksiin, käymällä läpi alla olevan flash-ohjelman.

Johdatus tensoreihin

Mikä on vektori?

Vektori on yksiulotteinen numeroiden joukko, matriisi, jossa m tai n on yhtä kuin 1. Matriisin tavoin vektorilla voidaan suorittaa erilaisia matemaattisia operaatioita, ja matriisit on helppo kertoa vektoreilla ja päinvastoin.

Tensori voidaan kuitenkin ajatella yleistettynä matriisina, jota sen arvo voi kuvata.

Tensorin taso on kokonaisluku 0 tai suurempi. Skaalaari voi edustaa tensoria, jonka arvo on 0, vektori voi edustaa tensoria, jonka arvo on yksi, ja matriisi voi edustaa tensoria, jonka arvo on kaksi. On olemassa myös tensoreita, joiden arvo on kolme tai suurempi, mutta jälkimmäisiä on vaikeampi visualisoida.

Rankin lisäksi tensoreilla on erityisominaisuuksia, jotka liittyvät siihen, miten ne ovat vuorovaikutuksessa toisten matemaattisten olioiden kanssa. Jos jokin vuorovaikutuksessa olevista olioista muuntaa toisen olion tai oliot, tensorin on noudatettava samanlaista muunnossääntöä.

Vektoreiden ja tensoreiden välinen ero

Vektori on yksiulotteinen numeroiden joukko, joka tunnetaan usein nimellä matriisi, jossa m tai n = yksi.

Kaikki vektorit ovat yleensä tensoreita. Mutta kaikki tensorit eivät voi olla vektoreita. Tämä tarkoittaa sitä, että tensorit ovat laajemmin levinnyt objekti kuin vektori (tarkkaan ottaen, vaikka matemaatikot kokoavat tensorit vektoreiden avulla). Tensorit kuvataan teknisesti kahden eri objektin avulla:

• Vektorit
• Yksilömuodot ("kaksoisvektorit")

Vektorit ovat yksinomaan sellaisia objekteja, joiden kohdalla tiedetään, mitä minkä tahansa kahden vektorin laskeminen (vektorin yhteenlasku) osoittaa sen muuttamiseen mittakaavassa ( tunnetaan myös nimellä skalaarikertolasku).

One-muodoilla on niin ikään kaikki samat käsitteet; sen lisäksi se voi operoida vektoreilla ja palauttaa skalaareja. Esimerkkejä on järjestyksessä: Prototyyppisimpiä esimerkkejä ovat euklidiset vektorit -avaruuden pisteet.

Esimerkkeinä voidaan mainita seuraavat yksipuoliset lomakkeet magneettipotentiaalin "vektori" (se ei ole "oikea" vektori) tai gradienttioperaattori. .

Kun tähän lisätään muita sopivia oletuksia, merkittävin ominaisuus on se, että yksimuodot ja vektorit muuntuvat jollakin tavalla koordinaattien muuttuessa. Nämä ovat ominaisuuksia, joista fyysikot ovat useimmiten huolissaan neuvotellessaan esimerkiksi yleisen suhteellisuusteorian kaltaisista asioista.

Tensorit ovat matemaattisina objekteina "multilineaarisia" operaattoreita, eli ne ottavat vastaan vektorijoukkoja (ja yksimuotoisia) ja palauttavat toisen tensorin (toisin kuin lineaariset operaattorit, jotka ottavat vastaan vektoreita ja palauttavat vektorit). Näillä on vaihtelevia käyttötarkoituksia.

Oletetaan, että haluat ymmärtää tensoreiden yleisen teorian. Siinä tapauksessa sinun pitäisi ymmärtää abstraktia algebraa ja uskomattomasti lineaarialgebraa), ja jos aiot ymmärtää tensorilaskentaa, sinun pitäisi ymmärtää myös differentioituvien moninaisuuksien teoriaa.

Lopulliset ajatukset

Tässä artikkelissa olet oppinut, että:

• Tensorit ovat moniulotteisia matriiseja, joilla on erilaisia ominaisuuksia.
• Kaikki monitahoiset kokoelmat eivät ole tensoreita.
• Vektori on aina yksiulotteinen tensori, ja yksiulotteinen tensori on aina joko vektori tai rinnakkaisvektori. Matriisi on nimitys kaksiulotteisille tensoreille.
• Vektori on yksiulotteinen numeroiden joukko, joka tunnetaan usein myös nimellä matriisi, jossa m tai n = 1. Vektorilla, kuten matriisillakin, voidaan suorittaa erilaisia matemaattisia operaatioita, ja matriisien kertominen vektoreilla ja päinvastoin on helppoa.
• Toisaalta tensori voidaan käsittää yleistettynä matriisina, jota kuvaa sen arvo.

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Velho vs. velho (Kumpi on vahvempi?)

Erilaiset pihvityypit (T-Bone, Ribeye, Tomahawk ja Filet Mignon).

Cessna 150:n ja Cessna 152:n erot (vertailu)