I tensori sono matrici complesse che hanno proprietà specifiche e diverse. Non tutti gli insiemi sfaccettati sono tensori.

Esistono due tipi di tensori monodimensionali: i vettori e i co-vettori. Sia i vettori che i co-vettori possono essere rappresentati come una matrice accessibile di numeri.

L'unica differenza è che il collegamento di questi due elementi avviene quando si ha una varietà di cifre che rappresentano l'oggetto su una base e si vuole scoprire quali numeri complicano la stessa cosa su un terreno diverso.

I segni e le regole di trasformazione sono leggermente diversi per i vettori e i co-vettori. I vettori e i co-vettori sono di solito rispettivamente "colonne di numeri" o "righe di numeri".

Differenza tra vettori e tensori

In breve, un vettore sarà sempre un tensore monodimensionale; se si dispone di un tensore monodimensionale, sarà sicuramente un vettore o un co-vettore. I tensori bidimensionali sono noti come matrici.

Esistono quattro tipi diversi di tensori bidimensionali, ma non esistono nomi specifici. Nel caso dei vettori, le regole di trasformazione sono leggermente diverse quando si passa da una base all'altra, ma non esistono nomi specifici per questi tensori: sono solo matrici.

Prima o poi si potrà chiamare "matrice" qualsiasi matrice bidimensionale, anche se non è un tensore. Anche in questo caso, per maggiori dettagli sulla differenza tra matrice e tensore, si rimanda alla discussione precedente.

Cosa sapere sui tensori

I tensori sono matrici complesse che hanno proprietà specifiche e diverse.

I tensori sono oggetti matematici che possono essere utilizzati per descrivere proprietà sostanziali, al pari degli scalari e dei vettori. I tensori sono semplicemente un'inferenza di scalari e vettori; uno scalare è un tensore di rango 0 e un vettore è un tensore di rango 1.

Il rango di un tensore è identificato dal numero di direzioni (e quindi dalla dimensionalità della matrice) necessarie per definirlo. Ad esempio, le proprietà che richiedono un solo approccio (o primo rango) possono essere facilmente descritte da un vettore a colonne 3×1.

Inoltre, le proprietà che richiedono due ordini (tensori di secondo rango) possono essere definite da nove numeri, in quanto in una matrice 3×3 generale, 3n coefficienti possono descrivere il tensore di nesimo rango.

Il requisito dei tensori di secondo rango si presenta quando dobbiamo pensare a più di una direzione per descrivere uno di questi aspetti fisici.

Un esempio perfetto è se dobbiamo determinare la conducibilità elettrica di un cristallo isotropo. Sappiamo che, in termini generali, i conduttori isotropi devono obbedire alla legge di Ohm e cioè: j=σE. Ciò significa che la densità di corrente j è parallela al campo elettrico dedicato, E, e che ogni parte di j è linearmente proporzionale a ogni elemento di E. (ad esempio, j1 = σE1).

Componenti del campo elettrico

Tuttavia, la densità di corrente indotta in un materiale anisotropo non sarà necessariamente parallela al campo elettrico coinvolto, a causa delle diverse direzioni del flusso di corrente del cristallo (un esempio eccellente è quello della grafite). Ciò suggerisce che, in generale, ogni componente del vettore densità esistente può fare affidamento su tutte le parti del campo elettrico presente.

Quindi, in generale, La conducibilità elettrica è un tensore di 2° rango e può essere fissata da nove coefficienti indipendenti, che può essere illustrata in una matrice 3×3.

Ciò significa che la densità di corrente j è parallela al campo elettrico dedicato E e che ogni parte di j è linearmente proporzionale al campo.

Alcuni esempi di tensori di secondo rango

Altri esempi di tensori di secondo rango sono:

• Suscettibilità elettrica
• Conducibilità termica
• Lo stress

In genere mettono in relazione un vettore con un altro vettore o un altro tensore di rango doppio con uno scalare. I tensori di rango più elevato sono istruiti per descrivere completamente proprietà che raccontano due tensori di secondo rango (ad esempio, la rigidità (4° rango): sforzo e deformazione) o un tensore di secondo rango e un vettore (ad esempio, la piezoelettricità (3° rango): ansia e polarizzazione).

Per vedere questi e altri esempi e verificare come la variazione delle componenti dei tensori influisca su queste proprietà, consultate il programma flash qui sotto.

Introduzione ai tensori

Che cos'è un vettore?

Un vettore è una matrice di numeri a 1 dimensione, una matrice in cui m o n è uguale a 1. Come una matrice, è possibile eseguire varie operazioni matematiche su un vettore ed è facile moltiplicare matrici con vettori e viceversa.

Tuttavia, un tensore può essere considerato come una matrice generalizzata che il suo rango può descrivere.

Il rango di un tensore è un numero intero pari o superiore a 0. Uno scalare può rappresentare un tensore di rango 0, un tensore di rango uno può essere rappresentato da un vettore e una matrice può rappresentare un tensore di rango due. Esistono anche tensori di rango tre e superiore, questi ultimi più difficili da visualizzare.

Oltre al rango, i tensori hanno caratteristiche specifiche legate al modo in cui interagiscono con le altre entità matematiche. Se una delle entità in un'interazione trasforma l'altra o le altre entità, allora il tensore deve obbedire a una regola di trasformazione simile.

Differenza tra vettori e tensori

Il vettore è una matrice monodimensionale di numeri, spesso nota come matrice, dove m o n = uno.

Tutti i vettori sono di solito tensori, ma tutti i tensori non possono essere vettori. Questo significa che i tensori sono un oggetto più diffuso di un vettore (in senso stretto, anche se i matematici assemblano i tensori attraverso i vettori). I tensori sono tecnicamente descritti attraverso due oggetti diversi:

• Vettori
• Forme singole (vettori "duali")

I vettori sono esclusivamente oggetti per i quali si sa che il conteggio di due qualsiasi di essi (addizione vettoriale) indica il cambio di scala (noto anche come moltiplicazione scalare).

Anche i moduli uno hanno tutte le stesse nozioni; a parte questo, possono operare su vettori e restituire scalari. Gli esempi più tipici sono i vettori euclidei - punti dello spazio.

Esempi di moduli unici sono il "vettore" potenziale magnetico (non è un "vero" vettore) o l'operatore di gradiente .

Se si aggiungono altre ipotesi appropriate, la proprietà più significativa è che le forme e i vettori si convertono in qualche modo sotto un cambiamento di coordinate. Queste sono le proprietà di cui i fisici si preoccupano più spesso quando si consultano su argomenti come la teoria della relatività generale.

I tensori, per allungamento, come oggetti matematici sono operatori "multilineari", cioè accolgono insiemi di vettori (e di monoforme) e restituiscono un altro tensore (al contrario degli operatori lineari, che accolgono vettori e restituiscono vettori). Questi hanno usi diversi.

Supponiamo che vogliate comprendere la teoria generale dei tensori: in questo caso dovreste conoscere l'algebra astratta e incredibilmente l'algebra lineare), e se intendete comprendere il calcolo tensoriale, dovreste anche comprendere la teoria dei manifesti differenziabili.

Pensieri finali

In questo articolo avete appreso che:

• I tensori sono matrici multidimensionali con proprietà distinte.
• Non tutte le collezioni sfaccettate sono tensori.
• Un vettore è sempre un tensore unidimensionale e un tensore unidimensionale è sempre un vettore o un co-vettore. Matrice è il nome dato ai tensori bidimensionali.
• Il vettore è una matrice unidimensionale di numeri, spesso nota come matrice, dove m o n = 1. Un vettore, come una matrice, può essere utilizzato per eseguire una serie di operazioni matematiche ed è semplice moltiplicare matrici con vettori e viceversa.
• D'altra parte, un tensore può essere concepito come una matrice generalizzata descritta dal suo rango.

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