டென்சர்கள் என்பது குறிப்பிட்ட மற்றும் வேறுபட்ட பண்புகளைக் கொண்ட சிக்கலான வரிசைகள். ஒவ்வொரு பன்முகத் தொகுப்பும் ஒரு டென்சர் அல்ல.

இரண்டு வகையான ஒரு பரிமாண டென்சர்கள் உள்ளன: இவை திசையன்கள் மற்றும் இணை-வெக்டர்கள் ஆகியவை அடங்கும். திசையன்கள் அல்லது இணை திசையன்கள் எண்களின் அணுகக்கூடிய வரிசையாகக் குறிப்பிடப்படலாம்.

ஒரே ஒரு வித்தியாசம் என்னவெனில், அந்த இரண்டையும் இணைப்பது, ஒரே அடிப்படையில் பொருளைக் குறிக்கும் பல்வேறு இலக்கங்களைக் கொண்டிருக்கும் போது, ​​வேறு எந்த எண்கள் அதையே சிக்கலாக்குகின்றன என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும்.

திசையன்கள் மற்றும் இணை-திசையன்களுக்கு உருமாற்ற அறிகுறிகள் மற்றும் விதிகள் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும். திசையன்கள் மற்றும் இணை திசையன்கள் பொதுவாக முறையே "எண்களின் நெடுவரிசைகள்" அல்லது "எண்களின் கோடுகள்" ஆகும்.

வெக்டார் மற்றும் டென்சர் வேறுபாடு

சுருக்கமாக, ஒரு திசையன் எப்போதும் இருக்கும் ஒரு பரிமாண டென்சராக இருங்கள்; உங்களிடம் ஒரு பரிமாண டென்சர் இருந்தால், அது நிச்சயமாக ஒரு திசையன் அல்லது இணை-வெக்டராக இருக்கும். இரு பரிமாண டென்சர்கள் மெட்ரிக்குகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இரு பரிமாண டென்சர்களில் நான்கு வெவ்வேறு வகைகள் உள்ளன, ஆனால் குறிப்பிட்ட பெயர்கள் எதுவும் இல்லை. திசையன்களைப் பொறுத்தவரை, நீங்கள் ஒரு அடிப்படையிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு நகரும் போது உருமாற்ற விதிகள் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும், ஆனால் இந்த டென்சர்களுக்கு குறிப்பிட்ட பெயர்கள் எதுவும் இல்லை: அவை மெட்ரிக்குகள் மட்டுமே.

விரைவில் அல்லது பின்னர், அவை ஏதேனும் அழைக்கப்படலாம். இரு பரிமாண வரிசை ஒரு "மேட்ரிக்ஸ்", அது ஒரு டென்சராக இல்லாவிட்டாலும் கூட. மீண்டும், வரிசை மற்றும் டென்சருக்கு இடையிலான வேறுபாடு பற்றிய கூடுதல் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும்முந்தைய விவாதத்திற்கு.

டென்சர்களைப் பற்றி என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்

டென்சர்கள் என்பது குறிப்பிட்ட மற்றும் வேறுபட்ட பண்புகளைக் கொண்ட சிக்கலான வரிசைகள்.

டென்சர்கள் என்பது கணிசமான பண்புகளை விவரிக்கப் பயன்படும் கணிதப் பொருள்கள், திசையன்களுடன் சேர்த்து ஸ்கேலர்களைப் போலவே. டென்சர்கள் வெறுமனே ஸ்கேலர்கள் மற்றும் திசையன்களின் அனுமானம்; ஒரு ஸ்கேலர் என்பது 0 ரேங்க் டென்சர், மற்றும் வெக்டார் என்பது 1வது ரேங்க் டென்சர்.

ஒரு டென்சரின் ரேங்க், வரையறுக்க தேவையான திசைகளின் எண்ணிக்கையால் (அதன் மூலம் வரிசையின் பரிமாணத்தால்) அடையாளம் காணப்படுகிறது. அது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு அணுகுமுறை (அல்லது முதல் தரவரிசை) தேவைப்படும் பண்புகளை 3×1 நெடுவரிசை திசையன் மூலம் எளிதாக விவரிக்க முடியும்.

மேலும், இரண்டு ஆர்டர்கள் (இரண்டாம் தரவரிசை டென்சர்கள்) தேவைப்படும் பண்புகளை வரையறுக்கலாம் ஒன்பது எண்கள், ஒரு 3×3 அணிப் பொதுவில் உள்ளதைப் போல, 3n குணகங்கள் nth ரேங்க் டென்சரை விவரிக்கலாம்.

இரண்டாம் நிலை டென்சர்களுக்கான தேவை, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட திசைகளைப் பற்றி நாம் விவரிக்க வேண்டியிருக்கும் போது வரும். இந்த உடல் அம்சங்களில் 1.

இதற்கு ஒரு சிறந்த உதாரணம், எந்தவொரு ஐசோட்ரோபிக் படிகத்தின் மின் கடத்துத்திறனையும் நாம் கூற வேண்டும். பொதுவாக, ஓமின் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிய வேண்டிய ஐசோட்ரோபிக் கடத்திகளை நாம் அறிவோம். j=σE. இதன் பொருள் தற்போதைய அடர்த்தி j என்பது அர்ப்பணிக்கப்பட்ட மின்சார புலம் E க்கு இணையாக உள்ளது மற்றும் j இன் ஒவ்வொரு பகுதியும் E. இன் உறுப்புக்கு நேர்கோட்டு விகிதத்தில் உள்ளது. (எ.கா., j1 = σE1).

மின்சாரப் புலத்தின் கூறுகள்

இருப்பினும், தற்போதைய அடர்த்தி தூண்டப்படுகிறது ஒரு அனிசோட்ரோபிக் பொருள், படிகத்தின் தற்போதைய ஓட்டத்தின் வெவ்வேறு திசைகளின் காரணமாக சம்பந்தப்பட்ட மின்சார புலத்திற்கு இணையாக இருக்காது (இதற்கு ஒரு சிறந்த உதாரணம் கிராஃபைட்டில் உள்ளது). பொதுவாக, தற்போதுள்ள அடர்த்தி வெக்டரின் ஒவ்வொரு கூறுகளும் தற்போதைய மின்சார புலத்தின் அனைத்து பகுதிகளிலும் தங்கியிருக்க முடியும் என்று இது அறிவுறுத்துகிறது.

எனவே, பொதுவாக, மின் கடத்துத்திறன் என்பது 2வது ரேங்க் டென்சர் மற்றும் ஒன்பது சார்பற்ற குணகங்களால் சரி செய்யப்படலாம், இதை 3×3 மேட்ரிக்ஸில் விளக்கலாம்.

இதன் பொருள் தற்போதைய அடர்த்தி j என்பது அர்ப்பணிக்கப்பட்ட மின்சார புலம் E க்கு இணையாக உள்ளது மற்றும் j இன் ஒவ்வொரு பகுதியும் ஒரு புலத்திற்கு நேர்கோட்டு விகிதத்தில் உள்ளது.

இரண்டாம் நிலை டென்சர்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள்

வேறு சில எடுத்துக்காட்டுகள் இரண்டாம் நிலை டென்சர்களில் பின்வருவன அடங்கும்:

• மின்சார உணர்திறன்
• வெப்ப கடத்துத்திறன்
• அழுத்தம்

அவை பொதுவாக ஒரு திசையனை மற்றொரு திசையன் அல்லது மற்றொரு இரட்டை ரேங்க் டென்சரை ஸ்கேலருடன் தொடர்புபடுத்துகின்றன. இரண்டு இரண்டாம் நிலை டென்சர்கள் (எ.கா., விறைப்பு (4வது ரேங்க்): ஸ்ட்ரெஸ் மற்றும் ஸ்ட்ரெய்ன்) அல்லது இரண்டாவது ரேங்க் டென்சர் மற்றும் ஒரு வெக்டார் (எ.கா., பைசோ எலக்ட்ரிசிட்டி (3வது)) ஆகியவற்றைக் கூறும் பண்புகளை முழுமையாக விவரிக்க அதிக உயர் தரத்தின் டென்சர்கள் அறிவுறுத்தப்படுகின்றன.rank): பதட்டம் மற்றும் துருவமுனைப்பு).

இவற்றையும் மேலும் பல உதாரணங்களையும் பார்க்க மற்றும் டென்சர்களின் கூறுகளை மாற்றுவது இந்த பண்புகளை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதை ஆராய, கீழே உள்ள ஃபிளாஷ் நிரலைப் பார்க்கவும்.

டென்சர்களுக்கான அறிமுகம்

வெக்டார் என்றால் என்ன?

வெக்டார் என்பது எண்களின் 1-பரிமாண வரிசையாகும், இது m அல்லது n 1 சமமாக இருக்கும் ஒரு அணி. மேட்ரிக்ஸைப் போலவே, ஒரு திசையனில் பல்வேறு கணித செயல்பாடுகளைச் செய்வது சாத்தியம், மேலும் இது எளிதானது திசையன்களுடன் மெட்ரிக்குகளைப் பெருக்கவும் மற்றும் நேர்மாறாகவும்.

இருப்பினும், ஒரு டென்சரை அதன் தரவரிசை விவரிக்கக்கூடிய பொதுவான அணியாகக் கருதலாம்.

டென்சரின் நிலை 0 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முழு எண் ஆகும். ஒரு ஸ்கேலர் ரேங்க் 0 உடன் ஒரு டென்சரைக் குறிக்கலாம், ரேங்க் ஒன்று கொண்ட ஒரு டென்சரை ஒரு திசையன் குறிப்பிடலாம், மற்றும் ஒரு அணி ரேங்க் இரண்டின் டென்சரைக் குறிக்கலாம். ரேங்க் மூன்று மற்றும் அதற்கு மேற்பட்ட டென்சர்களும் உள்ளன, பிந்தையவை காட்சிப்படுத்துவது மிகவும் கடினம்.

தரவரிசைக்கு கூடுதலாக, டென்சர்கள் ஒருவருக்கொருவர் கணித நிறுவனங்களுடன் எவ்வாறு தொடர்பு கொள்கின்றன என்பது தொடர்பான குறிப்பிட்ட பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. ஒரு ஊடாடலில் உள்ள எந்த உட்பொருளும் மற்ற உட்பொருளை அல்லது உட்பொருளை மாற்றினால், டென்சர் இதேபோன்ற உருமாற்ற விதிக்குக் கீழ்ப்படிய வேண்டும்.

வெக்டார்கள் மற்றும் டென்சர்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு

வெக்டார் என்பது ஒன்று- எண்களின் பரிமாண வரிசை, பெரும்பாலும் மேட்ரிக்ஸ் என அழைக்கப்படுகிறது, இங்கு m அல்லது n = ஒன்று.

எல்லா திசையன்களும் பொதுவாக டென்சர்கள். ஆனால் அனைத்து டென்சர்களும் திசையன்களாக இருக்க முடியாது. இதுடென்சர்கள் ஒரு திசையனை விட பரவலான பொருளாகும் (கண்டிப்பாகச் சொன்னாலும், கணிதவியலாளர்கள் திசையன்கள் மூலம் டென்சர்களைச் சேகரிக்கிறார்கள்). டென்சர்கள் தொழில்நுட்ப ரீதியாக இரண்டு வெவ்வேறு பொருள்கள் மூலம் விவரிக்கப்படுகின்றன:

• வெக்டர்கள்
• ஒரு வடிவங்கள் (“இரட்டை” திசையன்கள்)

வெக்டார்கள் என்பது பிரத்தியேகமான பொருள்கள், இவற்றில் ஏதேனும் இரண்டை எண்ணுவது (வெக்டார் கூட்டல்) அளவை மாற்றுவதை (ஸ்கேலர் பெருக்கல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) குறிக்கிறது.

ஒரே படிவங்கள், அதேபோன்று எல்லாக் கருத்துக்களையும் கொண்டிருக்கின்றன; தவிர, இது வெக்டார்களில் இயங்கி பின்னர் ஸ்கேலர்களை திரும்பப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டுகள் வரிசையில் உள்ளன: மிகவும் முன்மாதிரியான எடுத்துக்காட்டுகளில் யூக்ளிடியன் திசையன்கள் அடங்கும் - விண்வெளியின் புள்ளிகள்.

எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒரு வடிவங்கள் காந்த ஆற்றல் “திசையன்” (இது “உண்மை” வெக்டார் அல்ல) அல்லது சாய்வு ஆபரேட்டர் .

பிற பொருத்தமானதைச் சேர்க்கும் போது அனுமானங்கள், ஒரு வடிவங்கள் மற்றும் திசையன்கள் ஆய மாற்றத்தின் கீழ் ஏதோவொரு முறையில் மாறுவது மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க பண்பு. பொது சார்பியல் கோட்பாடு போன்ற விஷயங்களைப் பற்றி ஆலோசிக்கும்போது இயற்பியலாளர்கள் பெரும்பாலும் கவலைப்படும் பண்புகள் இவை.

கணிதப் பொருள்கள் "மல்டிலினியர்" ஆபரேட்டர்களாக இருப்பதால், டென்சர்கள், நீட்டிப்பு மூலம்; அதாவது, அவை திசையன்களின் தொகுப்புகளை (மற்றும் ஒரு-வடிவங்கள்) எடுத்து மற்றொரு டென்சரை (நேரியல் ஆபரேட்டர்களுக்கு மாறாக, திசையன்கள் மற்றும் திசையன்களை திரும்பப் பெறுகின்றன). இவை பல்வேறு பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன.

கருத்துகடென்சர்களின் பொதுவான கோட்பாட்டை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். அப்படியானால், நீங்கள் சுருக்க இயற்கணிதம் மற்றும் நம்பமுடியாத நேரியல் இயற்கணிதம் ஆகியவற்றை உணர வேண்டும்), மேலும் நீங்கள் டென்சர் கால்குலஸைப் புரிந்து கொள்ளப் போகிறீர்கள் என்றால், வேறுபடுத்தக்கூடிய பன்மடங்குகளின் கோட்பாட்டையும் நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

இறுதி எண்ணங்கள்

இந்தக் கட்டுரையில், நீங்கள் அறிந்துள்ளீர்கள்:

• டென்சர்கள் என்பது தனித்துவமான பண்புகளைக் கொண்ட பல பரிமாண அணிவரிசைகள்.
• ஒவ்வொரு பன்முகத் தொகுப்பும் ஒரு டென்சர் அல்ல.
• ஒரு திசையன் எப்போதும் ஒரு பரிமாண டென்சர், மேலும் ஒரு பரிமாண டென்சர் எப்போதும் இருக்கும் ஒரு திசையன் அல்லது இணை திசையன். மேட்ரிக்ஸ் என்பது இரு பரிமாண டென்சர்களுக்கு வழங்கப்படும் பெயர்.
• வெக்டார் என்பது எண்களின் ஒரு பரிமாண வரிசையாகும், இது பெரும்பாலும் மேட்ரிக்ஸ் என அழைக்கப்படுகிறது, இங்கு m அல்லது n = 1. ஒரு திசையன், போன்ற ஒரு மேட்ரிக்ஸ், பல்வேறு கணித செயல்பாடுகளைச் செயல்படுத்தப் பயன்படுகிறது, மேலும் திசையன்களுடன் மெட்ரிக்குகளைப் பெருக்குவது எளிது.
• மறுபுறம், ஒரு டென்சரை இவ்வாறு கருதலாம். அதன் தரத்தால் விவரிக்கப்பட்ட ஒரு பொதுவான அணி.

தொடர்புடைய கட்டுரைகள்

விசார்ட் எதிராக வார்லாக் (யார் வலிமையானவர்?)

வெவ்வேறு வகையான ஸ்டீக்ஸ் (டி -Bone, Ribeye, Tomahawk மற்றும் Filet Mignon)

செஸ்னா 150 மற்றும் செஸ்னா 152 இடையே உள்ள வேறுபாடுகள் (ஒப்பீடு)