Tenzori su složeni nizovi koji imaju specifična i različita svojstva. Nije svaka višestruka zbirka tenzor.

Postoje dvije vrste jednodimenzionalnih tenzora: oni uključuju vektore i ko-vektore. Bilo vektori ili ko-vektori mogu se predstaviti kao pristupačan niz brojeva.

Jedina je razlika u tome što do povezivanja to dvoje dolazi kada imate različite znamenke koje predstavljaju objekt na jednoj osnovi i želite saznati koji brojevi kompliciraju istu stvar na nekom drugom temelju.

Transformacijski znakovi i pravila malo se razlikuju za vektore i ko-vektore. Vektori i ko-vektori obično su "stupci brojeva" ili "redovi brojeva", respektivno.

Razlika vektora i tenzora

Ukratko, vektor će uvijek biti jednodimenzionalni tenzor; ako imate jednodimenzionalni tenzor, on će sigurno biti ili vektor ili ko-vektor. Dvodimenzionalni tenzori poznati su kao matrice.

Postoje četiri različite vrste dvodimenzionalnih tenzora, ali ne postoje posebni nazivi. U slučaju vektora, pravila transformacije malo su drugačija kada prelazite s jedne baze na drugu, ali nema posebnih naziva za te tenzore: oni su samo matrice.

Prije ili kasnije, mogu se nazvati bilo kojim dvodimenzionalni niz "matrica", čak i ako nije tenzor. Opet, za više detalja o razlici između niza i tenzora, pogledajtena raniju raspravu.

Što treba znati o tenzorima

Tenzori su složeni nizovi koji imaju specifična i različita svojstva.

Tenzori su matematički objekti koji se mogu koristiti za opisivanje značajnih svojstava, isto kao i skalari zajedno s vektorima. Tenzori su jednostavno zaključivanje skalara i vektora; skalar je tenzor 0 ranga, a vektor je tenzor 1. ranga.

Rang tenzora identificiran je brojem smjerova (a time i dimenzionalnošću niza) potrebnih za definiranje to. Na primjer, svojstva koja zahtijevaju jedan pristup (ili prvi rang) mogu se lako opisati vektorom stupca 3×1.

Nadalje, svojstva koja zahtijevaju dva reda (tenzori drugog ranga) mogu se definirati pomoću devet brojeva, kao u općoj matrici 3×3, 3n koeficijenata može opisati tenzor n-tog ranga.

Zahtjev za tenzorima drugog ranga dolazi kada trebamo razmišljati o više od jednog smjera za opisivanje 1 od ovih fizičkih aspekata.

Savršen primjer ovoga je ako trebamo odrediti električnu vodljivost bilo kojeg izotropnog kristala. Znamo da su općenito izotropni vodiči koji zahtijevaju pridržavanje Ohmovog zakona; j=σE. To znači da je gustoća struje j paralelna dodijeljenom električnom polju E i da je svaki dio j linearno proporcionalan po elementu E. (npr. j1 = σE1).

Komponente električnog polja

Međutim, gustoća struje inducirana u anizotropni materijal neće nužno biti paralelan uključenom električnom polju zbog različitih smjerova protoka struje u kristalu (izvrstan primjer za to je grafit). Ovo sugerira da se, općenito, svaka komponenta postojećeg vektora gustoće može osloniti na sve dijelove sadašnjeg električnog polja.

Dakle, općenito, električna vodljivost je tenzor 2. ranga i može se odrediti pomoću devet neovisnih koeficijenata, koji se mogu ilustrirati u matrici 3×3.

To znači da je gustoća struje j paralelna namjenskom električnom polju E i da je svaki dio j linearno proporcionalan po polju.

Neki primjeri tenzora drugog reda

Neki drugi primjeri tenzora drugog reda obuhvaćaju:

• Električnu osjetljivost
• Toplinsku vodljivost
• Naprezanje

Oni općenito povezuju vektor s drugim vektorom ili drugi tenzor dvostrukog ranga sa skalarom. Tenzorima višeg ranga nalaže se da u potpunosti opisuju svojstva koja govore o dva tenzora drugog ranga (npr. krutost (4. rang): naprezanje i deformacija) ili tenzor drugog ranga i vektor (npr. piezoelektricitet (3.rang): tjeskoba i polarizacija).

Da biste vidjeli ove i više primjera i istražili kako promjena komponenata tenzora utječe na ta svojstva, prođite kroz flash program u nastavku.

Uvod u tenzore

Što je vektor?

Vektor je jednodimenzionalni niz brojeva, matrica gdje je m ili n jednako 1. Slično matrici, moguće je izvoditi razne matematičke operacije na vektoru, a lako je množe matrice s vektorima i obrnuto.

Međutim, tenzor se može smatrati generaliziranom matricom koju njegov rang može opisati.

Razina tenzora je cijeli broj 0 ili veći. Skalar može predstavljati tenzor ranga 0, tenzor ranga jedan može biti predstavljen vektorom, a matrica može predstavljati tenzor ranga dva. Postoje i tenzori trećeg ranga i viši, a potonje je teže vizualizirati.

Osim ranga, tenzori imaju specifične karakteristike koje se odnose na način na koji međusobno djeluju matematički entiteti. Ako bilo koji od entiteta u interakciji transformira drugi entitet ili entitete, tada se tenzor mora pridržavati sličnog pravila transformacije.

Razlika između vektora i tenzora

Vektor je jedno- dimenzionalni niz brojeva, često poznat kao matrica, gdje je m ili n = jedan.

Svi vektori su obično tenzori. Ali svi tenzori ne mogu biti vektori. Ovajznači da su tenzori rašireniji objekt od vektora (strogo govoreći, iako matematičari okupljaju tenzore kroz vektore). Tenzori se tehnički opisuju kroz dva različita objekta:

• Vektori
• Jednooblici (“dualni” vektori)

Vektori su isključivo objekti za koje znate što brojanje bilo koja dva od njih (zbrajanje vektora) ukazuje na promjenu razmjera (također poznato kao skalarno množenje).

Jedni oblici, isto tako, imaju sve iste pojmove; osim toga, može raditi na vektorima i zatim vraćati skalare. Primjeri su redom: Najprototipičniji primjeri uključuju euklidske vektore – točke prostora.

Primjeri uključuju jedan oblik bi bio "vektor" magnetskog potencijala (To nije "pravi" vektor) ili operator gradijenta .

Kada dodate druge odgovarajuće pretpostavke, najznačajnije svojstvo je da se jednostruke forme i vektori pretvaraju na neki način pod promjenom koordinata. To su svojstva zbog kojih su fizičari najčešće zabrinuti kada se savjetuju o stvarima poput teorije opće relativnosti.

Tenzori su, elongacijom, kao matematički objekti “višelinijski” operatori; to znači da oni uzimaju skupove vektora (i jednostruke forme) i vraćaju drugi tenzor (za razliku od linearnih operatora, koji uzimaju i vraćaju vektore). Imaju različite namjene.

Pretpostavimoželite razumjeti opću teoriju tenzora. U tom slučaju, trebali biste shvatiti apstraktnu algebru i nevjerojatno linearnu algebru), a ako želite razumjeti tenzorski račun, također biste trebali razumjeti teoriju diferencijabilnih mnogostrukosti.

Završne misli

U ovom ste članku naučili sljedeće:

• Tenzori su višedimenzionalni nizovi s različitim svojstvima.
• Nije svaka višestruka zbirka tenzor.
• Vektor je uvijek jednodimenzionalni tenzor, a jednodimenzionalni tenzor je uvijek bilo vektor ili ko-vektor. Matrica je naziv za dvodimenzionalne tenzore.
• Vektor je jednodimenzionalni niz brojeva, često poznat kao matrica, gdje je m ili n = 1. Vektor, poput matrica, može se koristiti za izvršavanje raznih matematičkih operacija i jednostavno je množiti matrice s vektorima i obrnuto.
• S druge strane, tenzor se može zamisliti kao generalizirana matrica opisana svojim rangom.

Povezani članci

Čarobnjak protiv vještca (Tko je jači?)

Različite vrste odrezaka (T -Bone, Ribeye, Tomahawk i Filet Mignon)

Razlike između Cessne 150 i Cessne 152 (Usporedba)