Tensors is komplekse skikkings wat spesifieke en verskillende eienskappe het. Nie elke veelvlakkige versameling is 'n tensor nie.

Daar is twee tipes eendimensionele tensore: Dit sluit vektore en ko-vektore in. Óf vektore óf ko-vektore kan voorgestel word as 'n toeganklike reeks getalle.

Die enigste verskil is dat die koppeling van daardie twee kom wanneer jy 'n verskeidenheid syfers het wat die voorwerp op een basis voorstel en wil uitvind watter getalle dieselfde ding op 'n ander grondslag bemoeilik.

Transformasietekens en -reëls verskil effens vir vektore en ko-vektore. Vektore en ko-vektore is gewoonlik onderskeidelik "kolomme van getalle" of "lyne van getalle."

Vektor- en tensorverskil

Kortliks, 'n vektor sal altyd 'n eendimensionele tensor wees; as jy 'n eendimensionele tensor het, sal dit sekerlik 'n vektor of ko-vektor wees. Tweedimensionele tensors staan ​​bekend as matrikse.

Daar is vier verskillende tipes tweedimensionele tensore, maar geen spesifieke name bestaan ​​nie. In die geval van vektore verskil transformasiereëls effens wanneer jy van een basis na 'n ander beweeg, maar daar is geen spesifieke name vir hierdie tensors nie: dit is slegs matrikse.

Vroeër of later kan hulle enige genoem word tweedimensionele skikking 'n "matriks", selfs al is dit nie 'n tensor nie. Weereens, vir meer besonderhede oor die verskil tussen skikking en tensor, verwysna die vroeëre bespreking.

Wat om te weet van tensors

Tensors is komplekse skikkings wat spesifieke en verskillende eienskappe het.

Tensors is wiskundige voorwerpe wat gebruik kan word om wesenlike eienskappe te beskryf, dieselfde as skalare saam met vektore. Tensors is bloot 'n afleiding van skalare en vektore; 'n skalaar is 'n 0 rang tensor, en 'n vektor is 'n 1ste rang tensor.

Die rang van 'n tensor word geïdentifiseer deur die aantal rigtings (en dus die dimensionaliteit van die skikking) wat nodig is om te definieer Dit. Eienskappe wat byvoorbeeld een benadering (of eerste rang) vereis, kan maklik beskryf word deur 'n 3×1 kolomvektor.

Verder kan eienskappe wat twee ordes vereis (tweede rang tensors) gedefinieer word deur nege getalle, soos in 'n 3×3-matriks algemeen, 3n-koëffisiënte kan die n-de-rang-tensor beskryf.

Die vereiste vir tweederang-tensors kom wanneer ons oor meer as een rigting moet dink om te beskryf 1 van hierdie fisiese aspekte.

'n Perfekte voorbeeld hiervan is as ons die elektriese geleidingsvermoë van enige isotropiese kristal moet vertel. Ons weet dat in algemene terme, isotropiese geleiers wat vereis om Ohm se wet te gehoorsaam en dit is; j=σE. Dit beteken dat die stroomdigtheid j parallel is aan die toegewyde elektriese veld, E en dat elke deel van j lineêr eweredig is aan per element van E. (bv. j1 = σE1).

Komponente van elektriese veld

Die stroomdigtheid wat egter geïnduseer word in 'n anisotropiese materiaal sal nie noodwendig parallel aan die betrokke elektriese veld wees nie as gevolg van die kristal se verskillende rigtings van stroomvloei ('n uitstekende voorbeeld hiervan is in grafiet). Dit dui daarop dat, oor die algemeen, elke komponent van die bestaande digtheidsvektor kan staatmaak op al die dele van die huidige elektriese veld.

Dus, in die algemeen, is elektriese geleiding 'n 2de rang tensor en kan vasgestel word deur nege onafhanklike koëffisiënte, wat in 'n 3×3 matriks geïllustreer kan word.

Dit beteken dat die stroomdigtheid j parallel is aan die toegewyde elektriese veld, E en dat elke deel van j lineêr eweredig is aan per veld. van tweederangse tensors bestaan ​​uit:

• Elektriese vatbaarheid
• Termiese geleidingsvermoë
• Stres

Hulle bring gewoonlik 'n vektor in verband met 'n ander vektor of 'n ander dubbelrang tensor met 'n skalaar. Tensors van meer hoë rang word opdrag gegee om eienskappe volledig te beskryf wat twee tweederangse tensors vertel (bv. Styfheid (4de rang): spanning en vervorming) of 'n tweederang tensor en 'n vektor (bv. Piëso-elektrisiteit (3de rang)rang): angs en polarisasie).

Om hierdie en meer voorbeelde te sien en te ondersoek hoe die verandering van die komponente van die tensore hierdie eienskappe beïnvloed, gaan deur die flitsprogram hieronder.

Inleiding tot tensore

Wat is 'n vektor?

'n Vektor is 'n 1-dimensionele reeks getalle, 'n matriks waar m of n gelyk is aan 1. Soortgelyk aan 'n matriks, is dit moontlik om verskeie wiskundige bewerkings op 'n vektor uit te voer, en dit is maklik om vermenigvuldig matrikse met vektore en omgekeerd.

'n Tensor kan egter beskou word as 'n algemene matriks wat sy rangorde kan beskryf.

Die vlak van 'n tensor is 'n heelgetal van 0 of hoër. 'n Skalaar kan 'n tensor met rang 0 voorstel, 'n tensor met rang een kan deur 'n vektor voorgestel word, en 'n matriks kan 'n tensor van rang twee verteenwoordig. Daar is ook tensors van rang drie en hoër, laasgenoemde is moeiliker om te visualiseer.

Benewens die rang, het tensore spesifieke kenmerke wat verband hou met hoe hulle met mekaar in wiskundige entiteite omgaan. As enige van die entiteite in 'n interaksie die ander entiteit of entiteite transformeer, moet die tensor 'n soortgelyke transformasiereël gehoorsaam.

Verskil tussen vektore en tensors

Vektor is 'n een- dimensionele skikking van getalle, dikwels bekend as 'n matriks, waar m of n = een.

Alle vektore is gewoonlik tensors. Maar alle tensors kan nie vektore wees nie. Hierdiebeteken tensors is 'n meer wydverspreide voorwerp as 'n vektor (streng gesproke, alhoewel wiskundiges tensors deur vektore saamstel). Tensors word tegnies beskryf deur twee verskillende objekte:

• Vektore
• Eenvorms (“dubbele” vektore)

Vektore is uitsluitlik voorwerpe waarvoor jy weet wat die tel van enige twee van hulle (vektoroptelling) aandui om dit te verander (ook bekend as skalêre vermenigvuldiging).

Een vorme het eweneens almal dieselfde begrippe; afgesien daarvan kan dit op vektore werk en dan skalare terugstuur. Voorbeelde is in orde: Die mees prototipiese voorbeelde sluit in Euklidiese vektore – punte van ruimte.

Voorbeelde sluit in eenvorms sal die magnetiese potensiaal-“vektor” wees (dit is nie 'n “ware” vektor nie) of die gradiëntoperateur .

Wanneer jy ander toepaslike byvoeg aannames, is die belangrikste eienskap dat eenvorme en vektore op een of ander manier onder 'n verandering van koördinate omskakel. Dit is die eienskappe waaroor fisici die meeste bekommerd is wanneer hulle oor dinge soos die algemene relatiwiteitsteorie konsulteer.

Tensore, deur verlenging, aangesien wiskundige voorwerpe "multilineêre" operateurs is; dit wil sê, hulle neem stelle vektore (en eenvorme) in en gee nog 'n tensor terug (teenoor lineêre operateurs, wat vektore inneem en vektore terugstuur). Dit het verskillende gebruike.

Gesteljy wil die algemene teorie van tensore verstaan. In daardie geval moet jy abstrakte algebra en ongelooflik lineêre algebra besef), en as jy tensorrekening gaan verstaan, moet jy ook die teorie van differensieerbare manifolds verstaan.

Finale Gedagtes

In hierdie artikel het jy geleer dat:

• Tensors multidimensionele skikkings met duidelike eienskappe is.
• Nie elke veelvlakkige versameling is 'n tensor nie.
• 'n Vektor is altyd 'n eendimensionele tensor, en 'n eendimensionele tensor is altyd óf 'n vektor óf 'n ko-vektor. Matriks is die naam wat aan tweedimensionele tensors gegee word.
• Vektor is 'n eendimensionele reeks getalle, dikwels bekend as 'n matriks, waar m of n = 1. 'n Vektor, soos 'n matriks, kan gebruik word om 'n verskeidenheid wiskundige bewerkings uit te voer, en dit is maklik om matrikse met vektore te vermenigvuldig en omgekeerd.
• Aan die ander kant kan 'n tensor beskou word as 'n algemene matriks beskryf deur sy rangorde.

Verwante artikels

Wizard vs. Warlock (Wie is sterker?)

Verskillende tipes steaks (T) -Bone, Ribeye, Tomahawk en Filet Mignon)

Verskille tussen die Cessna 150 en Cessna 152 (Vergelyking)