Οι τανυστές είναι πολύπλοκοι πίνακες που έχουν συγκεκριμένες και διαφορετικές ιδιότητες. Δεν είναι κάθε πολύπλευρη συλλογή ένας τανυστής.

Υπάρχουν δύο τύποι μονοδιάστατων τανυστών: Πρόκειται για διανύσματα και συνδιανύσματα. Τα διανύσματα ή τα συνδιανύσματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως προσβάσιμος πίνακας αριθμών.

Η μόνη διαφορά είναι ότι η σύνδεση αυτών των δύο έρχεται όταν έχετε μια ποικιλία αριθμών που αντιπροσωπεύουν το αντικείμενο σε μια βάση και θέλετε να βρείτε ποιοι αριθμοί περιπλέκουν το ίδιο πράγμα σε κάποια διαφορετική βάση.

Τα σύμβολα και οι κανόνες μετασχηματισμού είναι ελαφρώς διαφορετικά για τα διανύσματα και τα συνδιανύσματα. Τα διανύσματα και τα συνδιανύσματα είναι συνήθως "στήλες αριθμών" ή "γραμμές αριθμών", αντίστοιχα.

Διανυσματική και τανυστική διαφορά

Εν ολίγοις, ένα διάνυσμα θα είναι πάντα ένας μονοδιάστατος τανυστής- αν έχετε έναν μονοδιάστατο τανυστή, αυτός θα είναι σίγουρα είτε διάνυσμα είτε συν-διάνυσμα. Οι δισδιάστατοι τανυστές είναι γνωστοί ως πίνακες.

Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί τύποι δισδιάστατων τανυστών, αλλά δεν υπάρχουν συγκεκριμένα ονόματα. Στην περίπτωση των διανυσμάτων, οι κανόνες μετασχηματισμού είναι ελαφρώς διαφορετικοί όταν μετακινείστε από τη μία βάση στην άλλη, αλλά δεν υπάρχουν συγκεκριμένα ονόματα για αυτούς τους τανυστές: είναι απλώς πίνακες.

Αργά ή γρήγορα, μπορούν να ονομάσουν κάθε δισδιάστατο πίνακα "πίνακα", ακόμη και αν δεν είναι τανυστής. Και πάλι, για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τη διαφορά μεταξύ πίνακα και τανυστή, ανατρέξτε στην προηγούμενη συζήτηση.

Τι πρέπει να γνωρίζετε για τους τανυστές

Οι τανυστές είναι σύνθετοι πίνακες που έχουν συγκεκριμένες και διαφορετικές ιδιότητες.

Οι τανυστές είναι μαθηματικά αντικείμενα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την περιγραφή ουσιαστικών ιδιοτήτων, όπως και τα κλιμάκια και τα διανύσματα. Οι τανυστές είναι απλώς ένα συμπέρασμα των κλιμακίων και των διανυσμάτων- ένα κλιμάκιο είναι ένας τανυστής 0 βαθμίδας και ένα διάνυσμα είναι ένας τανυστής 1ης βαθμίδας.

Ο βαθμός ενός τανυστή προσδιορίζεται από τον αριθμό των κατευθύνσεων (και συνεπώς τη διαστατικότητα του πίνακα) που απαιτούνται για τον ορισμό του. Για παράδειγμα, ιδιότητες που απαιτούν μία προσέγγιση ( ή πρώτη βαθμίδα) μπορούν εύκολα να περιγραφούν από ένα διάνυσμα στήλης 3×1.

Επιπλέον, ιδιότητες που απαιτούν δύο τάξεις (τανυστές δεύτερης τάξης) μπορούν να οριστούν από εννέα αριθμούς, καθώς σε έναν πίνακα 3×3 γενικά, 3n συντελεστές μπορούν να περιγράψουν τον τανυστή n-οστής τάξης.

Η απαίτηση για τανυστές δευτέρου βαθμού προκύπτει όταν χρειάζεται να σκεφτούμε περισσότερες από μία κατευθύνσεις για να περιγράψουμε 1 από αυτές τις φυσικές πτυχές.

Ένα τέλειο παράδειγμα αυτού είναι αν χρειαστεί να πούμε την ηλεκτρική αγωγιμότητα οποιουδήποτε ισότροπου κρυστάλλου. Γνωρίζουμε ότι σε γενικές γραμμές, οι ισότροποι αγωγοί που απαιτείται να υπακούουν στο νόμο του Ohm και που είναι: j=σE. Αυτό σημαίνει ότι η πυκνότητα ρεύματος j είναι παράλληλη προς το αφιερωμένο ηλεκτρικό πεδίο, E και ότι κάθε μέρος του j είναι γραμμικά ανάλογο με κάθε στοιχείο του E. (π.χ., j1 = σE1).

Συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου

Ωστόσο, η πυκνότητα ρεύματος που επάγεται σε ένα ανισότροπο υλικό δεν θα είναι απαραίτητα παράλληλη με το εμπλεκόμενο ηλεκτρικό πεδίο λόγω των διαφορετικών κατευθύνσεων ροής ρεύματος του κρυστάλλου (ένα εξαιρετικό παράδειγμα αυτού είναι ο γραφίτης). Αυτό υποδηλώνει ότι, γενικά, κάθε συνιστώσα του υπάρχοντος διανύσματος πυκνότητας μπορεί να βασίζεται σε όλα τα μέρη του παρόντος ηλεκτρικού πεδίου.

Οπότε, σε γενικές γραμμές, η ηλεκτρική αγωγιμότητα είναι ένας τανυστής 2ης τάξης και μπορεί να καθοριστεί από εννέα ανεξάρτητους συντελεστές, η οποία μπορεί να απεικονιστεί σε έναν πίνακα 3×3.

Αυτό σημαίνει ότι η πυκνότητα ρεύματος j είναι παράλληλη προς το ειδικό ηλεκτρικό πεδίο, E, και ότι κάθε μέρος του j είναι γραμμικά ανάλογο του πεδίου.

Μερικά παραδείγματα τανυστών δεύτερης τάξης

Μερικά άλλα παραδείγματα τανυστών δεύτερης τάξης περιλαμβάνουν:

• Ηλεκτρική επιδεκτικότητα
• Θερμική αγωγιμότητα
• Στρες

Συνήθως συσχετίζουν ένα διάνυσμα με ένα άλλο διάνυσμα ή έναν άλλο τανυστή διπλής τάξης με ένα κλιμάκιο. Οι τανυστές υψηλότερης τάξης καθοδηγούνται για να περιγράψουν πλήρως ιδιότητες που λένε δύο τανυστές δεύτερης τάξης (π.χ. Stiffness (4η τάξη): τάση και παραμόρφωση) ή έναν τανυστή δεύτερης τάξης και ένα διάνυσμα (π.χ. Piezoelectricity (3η τάξη): ανησυχία και πόλωση).

Για να δείτε αυτά και άλλα παραδείγματα και να διερευνήσετε πώς η αλλαγή των συνιστωσών των τανυστών επηρεάζει αυτές τις ιδιότητες, ακολουθήστε το παρακάτω πρόγραμμα flash.

Εισαγωγή στους τανυστές

Τι είναι ένα διάνυσμα;

Ένα διάνυσμα είναι ένας μονοδιάστατος πίνακας αριθμών, ένας πίνακας όπου το m ή το n ισούται με 1. Παρόμοια με έναν πίνακα, είναι δυνατό να εκτελέσετε διάφορες μαθηματικές πράξεις σε ένα διάνυσμα και είναι εύκολο να πολλαπλασιάσετε πίνακες με διανύσματα και αντίστροφα.

Ωστόσο, ένας τανυστής μπορεί να θεωρηθεί ως ένας γενικευμένος πίνακας τον οποίο μπορεί να περιγράψει ο βαθμός του.

Το επίπεδο ενός τανυστή είναι ένας ακέραιος αριθμός 0 ή μεγαλύτερος. Ένα κλιμάκιο μπορεί να αναπαραστήσει έναν τανυστή με βαθμό 0, ένας τανυστής με βαθμό ένα μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα διάνυσμα και ένας πίνακας μπορεί να αναπαραστήσει έναν τανυστή με βαθμό δύο. Υπάρχουν επίσης τανυστές με βαθμό τρία και υψηλότερα, οι τελευταίοι είναι πιο δύσκολο να απεικονιστούν.

Εκτός από την τάξη, οι τανυστές έχουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά που σχετίζονται με τον τρόπο με τον οποίο αλληλεπιδρούν με άλλες μαθηματικές οντότητες. Εάν κάποια από τις οντότητες σε μια αλληλεπίδραση μετασχηματίζει την άλλη οντότητα ή οντότητες, τότε ο τανυστής πρέπει να υπακούει σε έναν παρόμοιο κανόνα μετασχηματισμού.

Διαφορά μεταξύ διανυσμάτων και τανυστών

Το διάνυσμα είναι ένας μονοδιάστατος πίνακας αριθμών, συχνά γνωστός ως πίνακας, όπου m ή n = ένα.

Όλα τα διανύσματα είναι συνήθως τανυστές. Αλλά όλα τα τανυστές δεν μπορούν να είναι διανύσματα. Αυτό σημαίνει ότι οι τανυστές είναι ένα πιο διαδεδομένο αντικείμενο από ένα διάνυσμα (αυστηρά μιλώντας, αν και οι μαθηματικοί συναρμολογούν τανυστές μέσω διανυσμάτων). Οι τανυστές περιγράφονται τεχνικά μέσω δύο διαφορετικών αντικειμένων:

• Φορείς
• Μονομορφές ("διπλά" διανύσματα)

Τα διανύσματα είναι αποκλειστικά αντικείμενα για τα οποία γνωρίζετε τι δείχνει η μέτρηση δύο οποιωνδήποτε από αυτά (πρόσθεση διανύσματος) στην κλίμακα-αλλαγή της ( επίσης γνωστός ως κλιμακωτός πολλαπλασιασμός).

Οι μορφές One, ομοίως, έχουν όλες τις ίδιες έννοιες- εκτός από αυτό, μπορεί να λειτουργήσει σε διανύσματα και στη συνέχεια να επιστρέψει κλιμάκια. Για παραδείγματα κατά σειρά: Τα πιο πρωτότυπα παραδείγματα περιλαμβάνουν τα ευκλείδεια διανύσματα -σημεία του χώρου.

Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν μονοφόρμες θα ήταν το "διάνυσμα" του μαγνητικού δυναμικού (δεν είναι "πραγματικό" διάνυσμα) ή τον τελεστή κλίσης .

Όταν προσθέτετε άλλες κατάλληλες παραδοχές, η πιο σημαντική ιδιότητα είναι ότι οι μονομορφές και τα διανύσματα μετατρέπονται με κάποιο τρόπο υπό την αλλαγή των συντεταγμένων. Αυτές είναι οι ιδιότητες για τις οποίες οι φυσικοί ανησυχούν συχνότερα όταν συμβουλεύονται για πράγματα όπως η θεωρία της γενικής σχετικότητας.

Οι τανυστές, κατά προέκταση, ως μαθηματικά αντικείμενα είναι "πολυγραμμικοί" τελεστές- αυτό σημαίνει ότι δέχονται σύνολα διανυσμάτων (και μονομορφών) και επιστρέφουν έναν άλλο τανυστή (σε αντίθεση με τους γραμμικούς τελεστές, οι οποίοι δέχονται διανύσματα και επιστρέφουν διανύσματα). Αυτοί έχουν ποικίλες χρήσεις.

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να κατανοήσετε τη γενική θεωρία των τανυστών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να αντιληφθείτε την αφηρημένη άλγεβρα και απίστευτα τη γραμμική άλγεβρα), και αν πρόκειται να κατανοήσετε τον υπολογισμό των τανυστών, θα πρέπει επίσης να κατανοήσετε τη θεωρία των διαφορίσιμων πολλαπλών.

Τελικές σκέψεις

Σε αυτό το άρθρο, μάθατε ότι:

• Οι τένσορες είναι πολυδιάστατοι πίνακες με ξεχωριστές ιδιότητες.
• Δεν είναι κάθε πολύπλευρη συλλογή ένας τανυστής.
• Ένα διάνυσμα είναι πάντα ένας μονοδιάστατος τανυστής και ένας μονοδιάστατος τανυστής είναι πάντα είτε ένα διάνυσμα είτε ένα συν-διάνυσμα. Μήτρα είναι το όνομα που δίνεται στους δισδιάστατους τανυστές.
• Το διάνυσμα είναι ένας μονοδιάστατος πίνακας αριθμών, συχνά γνωστός ως πίνακας, όπου m ή n = 1. Ένα διάνυσμα, όπως και ένας πίνακας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτέλεση μιας ποικιλίας μαθηματικών πράξεων, και είναι απλό να πολλαπλασιάσετε πίνακες με διανύσματα και αντίστροφα.
• Από την άλλη πλευρά, ένας τανυστής μπορεί να θεωρηθεί ως ένας γενικευμένος πίνακας που περιγράφεται από τον βαθμό του.

Σχετικά άρθρα

Μάγος εναντίον μάγου (Ποιος είναι ισχυρότερος;)

Διαφορετικοί τύποι μπριζόλας (T-Bone, Ribeye, Tomahawk και Filet Mignon)

Διαφορές μεταξύ του Cessna 150 και του Cessna 152 (σύγκριση)