Tensorar eru flóknar fylkingar sem hafa sérstaka og mismunandi eiginleika. Ekki eru sérhver margþætt safn tensor.

Það eru tvær tegundir af einvíddar tensorum: Þar á meðal eru vigur og samvigur. Annaðhvort er hægt að tákna vektora eða samvigra sem aðgengilega fjölda fjölda.

Eini munurinn er sá að að tengja þetta tvennt kemur þegar þú ert með margs konar tölustafi sem tákna hlutinn á einum grunni og vilt komast að því hvaða tölur flækja sama hlutinn á mismunandi grundvelli.

Umbreytingarmerki og -reglur eru örlítið ólíkar fyrir vektora og samvektora. Vigurar og samvigrar eru venjulega „talnadálkar“ eða „talnalínur“ í sömu röð.

Vektor- og tensormunur

Í stuttu máli mun vigur alltaf vera einvídd tensor; ef þú ert með einvíddar tensor, þá verður það örugglega annað hvort vektor eða co-vektor. Tvívíðar tensorar eru þekktir sem fylki.

Það eru fjórar mismunandi gerðir af tvívíðum tensorum, en engin sérstök nöfn eru til. Þegar um vigur er að ræða eru umbreytingarreglur örlítið mismunandi þegar þú færir frá einum grunni til annars, en það eru engin sérstök nöfn fyrir þessa tensora: þeir eru aðeins fylki.

Fyrr eða síðar er hægt að kalla þau hvaða sem er tvívídd fylki „fylki“, jafnvel þótt það sé ekki tensor. Aftur, til að fá frekari upplýsingar um muninn á fylki og tensor, vísa tiltil fyrri umræðu.

Hvað á að vita um tensora

Tensorar eru flóknar fylkingar sem hafa sérstaka og mismunandi eiginleika.

Tensorar eru stærðfræðilegir hlutir sem hægt er að nota til að lýsa verulegum eiginleikum, eins og stigstærðir ásamt vigum. Tensorar eru einfaldlega ályktun af scalars og vektorum; stigstærð er 0 röð tensor, og vigur er 1. röð tensor.

Röð tensor er auðkennd með fjölda stefnu (og þar með víddar fylkisins) sem þarf til að skilgreina það. Til dæmis er auðvelt að lýsa eiginleikum sem krefjast einnar aðferðar (eða fyrstu röð) með 3×1 dálkavigri.

Ennfremur er hægt að skilgreina eiginleika sem krefjast tveggja raða (second rank tensor) með níu tölur, eins og í 3×3 fylki almennu, 3n stuðlar geta lýst nth rank tensor.

Krafan um second-rank tensora kemur þegar við þurfum að hugsa um fleiri en eina stefnu til að lýsa 1 af þessum líkamlegu þáttum.

Fullkomið dæmi um þetta er ef við þurfum að segja til um rafleiðni hvers konar samsætukristals. Við vitum að almennt séð, jafntrópískir leiðarar sem þurfa að hlýða lögum Ohms og það er; j=σE. Þetta þýðir að straumþéttleiki j er samsíða rafsviðinu, E, og að hver hluti j er í línulegu hlutfalli við hvert frumefni E. (t.d. j1 = σE1).

Íhlutir rafsviðs

Hins vegar er straumþéttleiki framkallaður í anisotropic efni verður ekki endilega samhliða rafsviðinu sem um ræðir vegna mismunandi stefnu straumflæðis kristalsins (frábært dæmi um þetta er í grafíti). Þetta bendir til þess að almennt geti hver hluti núverandi þéttleikavigrar reitt sig á alla hluta núverandi rafsviðs.

Þannig að almennt er rafleiðni 2. röð tensor og hægt er að festa hana með níu óháðum stuðlum, sem hægt er að sýna í 3×3 fylki.

Þetta þýðir að straumþéttleiki j er samsíða sérstöku rafsviðinu, E og að sérhver hluti j er línulega í réttu hlutfalli við hvert svið.

Nokkur dæmi um Second Rank Tensora

Nokkur önnur dæmi af annarri röð tensora samanstanda af:

• Rafmagnsnæmi
• Hitaleiðni
• Streita

Þeir tengja venjulega vektor við annan vektor eða annan tvískipan tensor við stigstærð. Tensorar af hærri röð eru beðnir um að lýsa að fullu eiginleikum sem segja til tveggja annars stigs tensora (t.d. stífleika (4. röð): streita og tognun) eða annars stigs tensor og vektor (t.d. Piezoelectricity (3.rank): kvíði og skautun).

Til að skoða þessi og fleiri dæmi og kanna hvernig breyting á íhlutum tensoranna hefur áhrif á þessa eiginleika skaltu fara í gegnum flash-forritið hér að neðan.

Inngangur að tensorum

Hvað er vektor?

Vigur er einvíddar fylki talna, fylki þar sem m eða n er jafn 1. Líkt og fylki er hægt að framkvæma ýmsar stærðfræðilegar aðgerðir á vektor og auðvelt er að margfalda fylki með vigrum og öfugt.

Hins vegar má líta á tensor sem alhæft fylki sem röð hans getur lýst.

Stig tensor er heiltala 0 eða hærri. Staðstuðull getur táknað tensor með stöðu 0, tensor með stöðu einn getur verið táknaður með vigri og fylki getur táknað tensor af stöðu tvö. Það eru líka tensorar í þriðja sæti og hærri, en erfiðara er að sjá fyrir þeim síðarnefndu.

Til viðbótar við stöðuna hafa tensorar ákveðna eiginleika sem tengjast því hvernig þeir hafa samskipti við hvert annað stærðfræðilega einingar. Ef einhver eininganna í víxlverkun umbreytir hinni einingunni eða einingunum, þá verður tensorinn að hlýða svipaðri umbreytingarreglu.

Mismunur á vektorum og tensorum

Vector er einn- víddarfylki talna, oft þekkt sem fylki, þar sem m eða n = einn.

Allir vektorar eru venjulega tensorar. En allir tensorar geta ekki verið vektorar. Þettaþýðir að tensorar eru útbreiddari hlutur en vigur (strangt til tekið, þó stærðfræðingar setji saman tensora í gegnum vektora). Tensorum er tæknilega lýst með tveimur mismunandi hlutum:

• Vectors
• Ein form („tvískiptur“ vektorar)

Vektorar eru eingöngu hlutir þar sem þú veist hvað það að telja tvo þeirra (vektorsamlagningu) gefur til kynna að það sé kvarðabreytt (einnig þekkt sem stigmarföldun).

Ein form hafa sömuleiðis allar sömu hugmyndir; fyrir utan það getur það starfað á vektorum og síðan skilað stigstærðum. Dæmin eru í röð: Frummyndadæmin eru evklíðsvigrar – punktar í geimnum.

Dæmi eru eins form væri segulmöguleikinn „vektor“ (það er ekki „sannur“ vektor) eða hallaoperator .

Þegar þú bætir við öðru viðeigandi forsendur, mikilvægasti eiginleikinn er sá að einmyndir og vigur umbreytast á einhvern hátt undir breyttum hnitum. Þetta eru þeir eiginleikar sem eðlisfræðingar hafa oftast áhyggjur af þegar þeir hafa samráð um hluti eins og almenna afstæðiskenninguna.

Tensorar, með lengingu, þar sem stærðfræðilegir hlutir eru „fjöllínulegir“ rekstraraðilar; þetta er að segja, þeir taka inn vigurmengi (og einmynda) og skila öðrum tensor (öfugt við línulegir breytur, sem taka inn vigur og skila vigurum). Þessir hafa mismunandi notkun.

Gefum okkurþú vilt skilja almennu kenninguna um tensora. Í því tilviki ættir þú að átta þig á óhlutbundinni algebru og ótrúlega línulegri algebru), og ef þú ætlar að skilja tensor reikning, ættirðu líka að skilja kenninguna um aðgreiningargreinar.

Lokahugsanir

Í þessari grein hefur þú lært að:

• Tensorar eru fjölvíddar fylki með sérstaka eiginleika.
• Ekki hvert margþætt safn er tensor.
• Vektor er alltaf einvídd tensor og einvídd tensor er alltaf annað hvort vigur eða meðvektor. Fylki er nafnið sem gefið er yfir tvívíða tensora.
• Vector er einvídd talnafylki, oft þekkt sem fylki, þar sem m eða n = 1. Vigur, eins og fylki, er hægt að nota til að framkvæma ýmsar stærðfræðilegar aðgerðir og það er einfalt að margfalda fylki með vigrum og öfugt.
• Aftur á móti er hægt að hugsa um tensor sem almennu fylki sem lýst er eftir stöðu þess.

Tengdar greinar

Wizard vs Warlock (Hver er sterkari?)

Mismunandi gerðir af steikum (T) -Bone, Ribeye, Tomahawk og Filet Mignon)

Mismunur á Cessna 150 og Cessna 152 (samanburður)