Tenzori su složeni nizovi koji imaju specifična i različita svojstva. Nije svaka višestruka kolekcija tenzor.

Postoje dvije vrste jednodimenzionalnih tenzora: Oni uključuju vektore i ko-vektore. Vektori ili ko-vektori mogu biti predstavljeni kao dostupni niz brojeva.

Jedina razlika je u tome što povezivanje ova dva dolazi kada imate različite cifre koje predstavljaju objekt na jednoj osnovi i želite saznati koji brojevi komplikuju istu stvar na nekom drugom tlu.

Znaci i pravila transformacije su malo različiti za vektore i ko-vektore. Vektori i kovektori su obično “stupci brojeva” ili “redovi brojeva”, respektivno.

Vektorska i tenzorska razlika

Ukratko, vektor će uvijek biti jednodimenzionalni tenzor; ako imate jednodimenzionalni tenzor, on će sigurno biti ili vektor ili kovektor. Dvodimenzionalni tenzori su poznati kao matrice.

Postoje četiri različite vrste dvodimenzionalnih tenzora, ali ne postoje posebni nazivi. U slučaju vektora, pravila transformacije su malo drugačija kada prelazite s jedne baze na drugu, ali ne postoje posebni nazivi za ove tenzore: oni su samo matrice.

Prije ili kasnije, mogu se nazvati bilo kojim dvodimenzionalni niz je "matrica", čak i ako nije tenzor. Opet, za više detalja o razlici između niza i tenzora pogledajtena raniju diskusiju.

Što treba znati o tenzorima

Tenzori su složeni nizovi koji imaju specifična i različita svojstva.

Tenzori su matematički objekti koji se mogu koristiti za opisivanje značajnih svojstava, isto kao i skalari zajedno sa vektorima. Tenzori su jednostavno zaključak skalara i vektora; skalar je tenzor 0 ranga, a vektor je tenzor 1. ranga.

Rang tenzora je identificiran brojem pravaca (a time i dimenzionalnošću niza) potrebnih za definiranje to. Na primjer, svojstva koja zahtijevaju jedan pristup (ili prvi rang) mogu se lako opisati vektorom stupca 3×1.

Dalje, svojstva koja zahtijevaju dva reda (tenzori drugog ranga) mogu se definirati pomoću devet brojeva, kao u opštoj matrici 3×3, 3n koeficijenti mogu opisati tenzor n-tog ranga.

Zahtjev za tenzorima drugog ranga dolazi kada trebamo razmišljati o više od jednog smjera za opisivanje 1 od ovih fizičkih aspekata.

Savršen primjer za to je ako trebamo reći električnu provodljivost bilo kojeg izotropnog kristala. Znamo da u opštem smislu, izotropni provodnici koji zahtevaju da se povinuju Ohmovom zakonu, a to je; j=σE. To znači da je gustina struje j paralelna sa namjenskim električnim poljem, E i da je svaki dio j linearno proporcionalan po elementu E. (npr. j1 = σE1).

Komponente električnog polja

Međutim, gustina struje inducirana u anizotropni materijal neće nužno biti paralelan sa uključenim električnim poljem zbog različitih smjerova strujanja kristala (odličan primjer za to je u grafitu). Ovo sugerira da se, općenito, svaka komponenta postojećeg vektora gustoće može osloniti na sve dijelove sadašnjeg električnog polja.

Dakle, općenito, električna provodljivost je tenzor 2. ranga i može se fiksirati sa devet nezavisnih koeficijenata, što se može ilustrirati u matrici 3×3.

To znači da je gustina struje j paralelna sa namjenskim električnim poljem, E i da je svaki dio j linearno proporcionalan po polju.

Neki primjeri tenzora drugog ranga

Neki drugi primjeri tenzora drugog ranga čine:

• Električna osjetljivost
• Toplotna provodljivost
• Naprezanje

Oni općenito povezuju vektor s drugim vektorom ili drugi tenzor dualnog ranga sa skalarom. Tenzori višeg ranga su upućeni da u potpunosti opišu svojstva koja govore dva tenzora drugog ranga (npr. krutost (4. rang): napon i deformacija) ili tenzor drugog ranga i vektor (npr. piezoelektričnost (3. rang).rang): anksioznost i polarizacija).

Da biste vidjeli ove i više primjera i istražili kako promjena komponenti tenzora utiče na ova svojstva, prođite kroz flash program ispod.

Uvod u tenzore

Šta je vektor?

Vektor je 1-dimenzionalni niz brojeva, matrica u kojoj je m ili n jednako 1. Slično matrici, moguće je izvoditi različite matematičke operacije nad vektorom i lako je množite matrice s vektorima i obrnuto.

Međutim, tenzor se može smatrati generaliziranom matricom koju njegov rang može opisati.

Nivo tenzora je cijeli broj od 0 ili više. Skalar može predstavljati tenzor ranga 0, tenzor ranga jedan može biti predstavljen vektorom, a matrica može predstavljati tenzor ranga dva. Postoje i tenzori trećeg ranga i višeg, pri čemu je ove posljednje teže vizualizirati.

Pored ranga, tenzori imaju specifične karakteristike vezane za način na koji međusobno djeluju na matematičke entitete. Ako bilo koji od entiteta u interakciji transformiše drugi entitet ili entitete, tada tenzor mora poštovati slično pravilo transformacije.

Razlika između vektora i tenzora

Vektor je jedan- dimenzionalni niz brojeva, često poznat kao matrica, gdje je m ili n = jedan.

Svi vektori su obično tenzori. Ali svi tenzori ne mogu biti vektori. Ovoznači da su tenzori rasprostranjeniji objekt od vektora (strogo govoreći, iako matematičari sastavljaju tenzore kroz vektore). Tenzori su tehnički opisani kroz dva različita objekta:

• Vektori
• Jedan oblici (“dvostruki” vektori)

Vektori su isključivo objekti za koje znate šta brojanje bilo koje od njih (zbiranje vektora) ukazuje na promjenu razmjera (također poznato kao skalarno množenje).

Jedni oblici, isto tako, imaju sve iste pojmove; osim toga, može raditi na vektorima i onda vraćati skalare. Primjeri su redom: Najprototipičniji primjeri uključuju euklidske vektore – tačke prostora.

Primjeri uključuju jednooblike bi bile vektor magnetnog potencijala (to nije "pravi" vektor) ili operator gradijenta .

Kada dodate druge odgovarajuće Uz pretpostavke, najznačajnije svojstvo je da se jednooblici i vektori na neki način konvertuju pod promenom koordinata. Ovo su svojstva zbog kojih su fizičari najčešće zabrinuti kada se konsultuju o stvarima poput opšte teorije relativnosti.

Tenzori, po elongaciji, kao matematički objekti su “multilinearni” operatori; to će reći, oni uzimaju skupove vektora (i jednooblike) i vraćaju drugi tenzor (za razliku od linearnih operatora, koji uzimaju vektore i povratne vektore). Oni imaju različite namjene.

Pretpostavimoželite da razumete opštu teoriju tenzora. U tom slučaju, trebali biste shvatiti apstraktnu algebru i nevjerovatno linearnu algebru), a ako želite razumjeti tenzorski račun, trebali biste razumjeti i teoriju diferencijabilnih mnogostrukosti.

Završne misli

U ovom članku ste naučili da:

• Tenzori su višedimenzionalni nizovi s različitim svojstvima.
• Nije svaka višestruka kolekcija tenzor.
• Vektor je uvijek jednodimenzionalni tenzor, a jednodimenzionalni tenzor je uvijek bilo vektor ili kovektor. Matrica je naziv koji se daje dvodimenzionalnim tenzorima.
• Vektor je jednodimenzionalni niz brojeva, često poznat kao matrica, gdje je m ili n = 1. Vektor, kao što je matrica, može se koristiti za izvršavanje raznih matematičkih operacija, i jednostavno je množiti matrice sa vektorima i obrnuto.
• S druge strane, tenzor se može zamisliti kao generalizirana matrica opisana svojim rangom.

Povezani članci

Čarobnjak protiv Warlocka (tko je jači?)

Različite vrste odreska (T -Bone, Ribeye, Tomahawk i Filet Mignon)

Razlike između Cessne 150 i Cessne 152 (Poređenje)