Тензорите са сложни масиви, които имат специфични и различни свойства. Не всяка многоаспектна колекция е тензор.

Съществуват два вида едномерни тензори: Те включват вектори и ко- вектори. Както векторите, така и ко- векторите могат да бъдат представени като достъпен масив от числа.

Единствената разлика е, че свързването на тези две неща става, когато разполагате с различни цифри, представящи обекта на една основа, и искате да разберете кои цифри усложняват същото нещо на някаква друга основа.

Знаците и правилата за преобразуване са малко по-различни за векторите и ко- векторите. Векторите и ко- векторите обикновено са съответно "колони от числа" или "редове от числа".

Разлика между вектори и тензори

Накратко, векторът винаги ще бъде едноизмерен тензор; ако имате едноизмерен тензор, той със сигурност ще бъде или вектор, или ко- вектор. Двуизмерните тензори са известни като матрици.

Съществуват четири различни вида двумерни тензори, но не съществуват конкретни имена. При векторите правилата за преобразуване са малко по-различни, когато се преминава от една основа към друга, но за тези тензори няма конкретни имена: те са само матрици.

Рано или късно те могат да нарекат всеки двумерен масив "матрица", дори и да не е тензор. Отново, за повече подробности относно разликата между масив и тензор, вижте предишната дискусия.

Какво трябва да знаете за тензорите

Тензорите са сложни масиви, които имат специфични и различни свойства.

Тензорите са математически обекти, които могат да се използват за описване на съществени свойства, също като скаларите и векторите. Тензорите са просто извод от скалари и вектори; скаларът е тензор от 0 ранг, а векторът е тензор от 1 ранг.

Рангът на тензора се определя от броя на направленията (и следователно от размерността на масива), необходими за дефинирането му. Например свойства, които изискват един подход ( или първи ранг), могат лесно да бъдат описани с вектор от 3×1 колони.

Освен това свойствата, които изискват два реда (тензори от втори ранг), могат да се определят с девет числа, тъй като в обща матрица 3×3 3n коефициента могат да опишат тензора от n-ти ранг.

Изискването за тензори от втори ранг се появява, когато трябва да мислим за повече от една посока, за да опишем 1 от тези физически аспекти.

Перфектен пример за това е, ако трябва да определим електрическата проводимост на някой изотропен кристал. Знаем, че в общи линии изотропните проводници, които изискват да се подчиняват на закона на Ом, са: j=σE. Това означава, че плътността на тока j е успоредна на отдаденото електрическо поле, E, и че всяка част от j е линейно пропорционална на всеки елемент от E. (напр. j1 = σE1).

Компоненти на електрическото поле

Индуцираната в анизотропен материал плътност на тока обаче няма да е непременно успоредна на участващото електрическо поле поради различните посоки на протичане на тока в кристала (отличен пример за това е графитът). Това предполага, че по принцип всеки компонент на съществуващия вектор на плътността може да разчита на всички части на настоящото електрическо поле.

И така, в общи линии, Електропроводимостта е тензор от втори ранг и може да се определи чрез девет независими коефициента, което може да се илюстрира с матрица 3×3.

Това означава, че плътността на тока j е успоредна на специалното електрическо поле E и че всяка част на j е линейно пропорционална на полето.

Някои примери за тензори от втори ранг

Някои други примери за тензори от втори ранг включват:

• Електрическа възприемчивост
• Топлопроводимост
• Стрес

Обикновено те свързват вектор с друг вектор или друг тензор от двоен ранг със скалар. Тензорите от по-висок ранг са инструктирани да описват напълно свойства, които разказват за два тензора от втори ранг (напр. твърдост (4-ти ранг): напрежение и деформация) или тензор от втори ранг и вектор (напр. пиезоелектричество (3-ти ранг): безпокойство и поляризация).

За да видите тези и други примери и да проверите как промяната на компонентите на тензорите влияе на тези свойства, преминете през флаш програмата по-долу.

Въведение в тензорите

Какво е вектор?

Вектор е едноизмерен масив от числа, матрица, в която m или n е равно на 1. Подобно на матрица, с вектор могат да се извършват различни математически операции и е лесно да се умножават матрици с вектори и обратно.

Въпреки това тензорът може да се разглежда като обобщена матрица, която може да се опише с неговия ранг.

Рангът на тензора е цяло число от 0 или повече. Скалар може да представлява тензор с ранг 0, тензор с ранг 1 може да бъде представен от вектор, а матрица може да представлява тензор с ранг 2. Съществуват и тензори с ранг 3 и повече, като последните са по-трудни за визуализиране.

В допълнение към ранга тензорите имат специфични характеристики, свързани с начина, по който те взаимодействат с други математически същности. Ако някоя от същностите във взаимодействието трансформира другата същност или същности, то тензорът трябва да се подчинява на подобно правило за трансформация.

Разлика между вектори и тензори

Вектор е едноизмерен масив от числа, често известен като матрица, където m или n = единица.

Всички вектори обикновено са тензори. Но всички тензори не могат да бъдат вектори. Това означава, че тензорите са по-разпространен обект от вектора (строго погледнато, макар че математиците сглобяват тензори чрез вектори). Технически тензорите се описват чрез два различни обекта:

• Вектори
• Едноформени ("двойни" вектори)

Векторите са изключително обекти, за които знаете какво означава преброяването на всеки два от тях (векторно събиране), за да го промените в мащаб ( известно също като скаларно умножение).

Една форма, по същия начин, има всички същите понятия; освен това тя може да оперира с вектори и след това да връща скалари. За примери са в реда на нещата: Най-прототипните примери включват евклидовите вектори -точки на пространството.

Примери за еднообразни форми са "вектора" на магнитния потенциал (той не е "истински" вектор) или оператора на градиента .

Когато се добавят и други подходящи предположения, най-същественото свойство е, че едноформите и векторите се преобразуват по някакъв начин при промяна на координатите. Това са свойствата, за които физиците най-често се притесняват, когато се консултират за неща като общата теория на относителността.

Тензорите като математически обекти са "мултилинейни" оператори; това означава, че те приемат множества от вектори (и еднообразни форми) и връщат друг тензор (за разлика от линейните оператори, които приемат вектори и връщат вектори). Те имат различни приложения.

Да предположим, че искате да разберете общата теория на тензорите. В този случай трябва да сте наясно с абстрактната алгебра и невероятно с линейната алгебра), а ако искате да разберете тензорното смятане, трябва да разберете и теорията на диференцируемите многообразия.

Заключителни мисли

В тази статия научихте, че:

• Тензорите са многомерни масиви с различни свойства.
• Не всяка многоаспектна колекция е тензор.
• Векторът винаги е едномерен тензор, а едномерният тензор винаги е или вектор, или ко-вектор. Матрицата е името, дадено на двумерните тензори.
• Векторът е едноизмерен масив от числа, често известен като матрица, където m или n = 1. Векторът, както и матрицата, може да се използва за извършване на различни математически операции и е лесно да се умножават матрици с вектори и обратно.
• От друга страна, тензорът може да се възприеме като обобщена матрица, описана чрез своя ранг.

Свързани статии

Магьосник срещу магьосник (Кой е по-силен?)

Различни видове пържоли (T-Bone, Ribeye, Tomahawk и Filet Mignon)

Разлики между Cessna 150 и Cessna 152 (сравнение)