Deriváty mají mnoho využití i mimo matematiku a každodenní život, například v přírodních vědách, inženýrství, fyzice a dalších oborech.

V předchozích kurzech jste museli zvládnout výpočet derivace různých funkcí, včetně trigonometrické, implicitní, logaritmické atd.

d2y/dx2 a (dydx)^2 jsou dvě derivační rovnice. Abychom jim však porozuměli, musíme nejprve pochopit, co přesně je druhá derivace.

Derivace funkce se v matematice označuje jako druhá derivace, někdy také jako derivace druhého řádu.

Druhá derivace, zhruba řečeno, měří, jak se mění samotná rychlost změny veličiny. Například druhá derivace polohy objektu vzhledem k času je okamžité zrychlení objektu nebo rychlost, s jakou se mění rychlost objektu vzhledem k času.

V tomto článku vám řeknu, jaký je rozdíl mezi d2y/dx2=(dydx)^2 a co přesně derivace znamená.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivace dy/dx (Tyto dvojky mohou vypadat jako indexový zápis, ale není tomu tak). (dydx)2 je naopak kvadrát první derivace.

Příklad:

Vezměte Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

První derivace: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Druhá derivace: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Kvadrát první derivace: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Co je druhá derivace?

Když diferencujete derivaci, získáte druhou derivaci. Pamatujte si, že dy/dx je derivace y vzhledem k x. Druhá derivace, vyslovovaná jako "dee dvě y na d x na druhou", se představuje jako d2y/dx2.

Povahu stacionárních bodů lze snáze zjistit pomocí druhé derivace (zda se jedná o maximální body, minimální body nebo body inflexe).

Když dy/dx = 0, křivka dosáhne stacionárního bodu. Typ stacionárního bodu (maximum, minimum nebo inflexní bod) lze určit pomocí druhé derivace, jakmile se určí poloha stacionárního bodu.

Jak identifikovat body maxima a minima?

d2y/d2x je druhá derivace.

Co je derivát?

Derivace funkce reálné proměnné v matematice kvantifikuje citlivost hodnoty funkce (výstupní hodnoty) na změny jejího argumentu (vstupní hodnoty). Základním nástrojem kalkulu je derivace.

Například rychlost předmětu je derivace jeho polohy vzhledem k času. Vyjadřuje, jak rychle se poloha předmětu mění v závislosti na čase.

Pokud k němu dojde, je sklon tečny ke grafu funkce při dané vstupní hodnotě derivací funkce jedné proměnné. Funkce, která je nejblíže této vstupní hodnotě, je nejlépe lineárně aproximována tečnou.

Z tohoto důvodu se derivace často označuje jako "okamžitá rychlost změny", což je poměr okamžité změny závislé proměnné k okamžité změně nezávislé proměnné.

Pro zahrnutí funkcí více reálných proměnných lze derivace zobecnit. Toto zobecnění reinterpretuje derivaci jako lineární transformaci, jejíž graf je po vhodné translaci nejlepší lineární aproximací grafu původní funkce.

Pokud jde o základ, který poskytuje výběr nezávislých a závislých proměnných, je Jakobsonova matice maticí, která představuje tuto lineární transformaci.

Lze jej vypočítat pomocí parciálních derivací nezávislých proměnných. Vektor gradientu nahrazuje jakobsonovu matici pro funkci s reálnou hodnotou s několika proměnnými.

Diferenciace je činnost, při níž se nachází derivace. Antidiferenciace je označení pro opačný postup. Antidiferenciace a integrace souvisí se základní větou kalkulu. Dvě základní operace kalkulu jedné proměnné jsou diferenciace a integrace.

Podívejte se na toto video, abyste se dozvěděli o odvozeninách a funkci reálné proměnné

Různé zápisy

Leibnizův zápis

V roce 1675 zavedl Gottfried Wilhelm Leibniz písmena dx, dy a dy/dx. I dnes se často používá, když se vztah mezi závislou a nezávislou proměnnou v rovnici y = f(x) považuje za funkční.

Proměnnou pro diferenciaci (ve jmenovateli) lze určit pomocí Leibnizova zápisu, který je důležitý pro parciální diferenciaci.

Lagrangeův zápis

Jeden z nejpopulárnějších moderních diferenčních zápisů, někdy označovaný jako prvočíselný zápis, používá prvočíselnou značku a je připisován Josephu-Louisi Lagrangeovi. Označuje derivaci funkce f jako f1.

Tento druhý zápis je zobecněn tak, že pro n-tou derivaci f se používá zápis f(n), který je vhodnější, pokud se o derivaci hovoří jako o funkci, nikoli jako o funkci samé, protože Leibnizův zápis může být v této situaci komplikovaný.

Newtonův zápis

V Newtonově diferenčním zápisu, často označovaném jako "tečková notace", se nad názvem funkce umisťuje tečka, která označuje časovou derivaci.

Pomocí tohoto zápisu se reprezentují pouze derivace vzhledem k času nebo délce oblouku. Obvykle se používá u diferenciálních rovnic v diferenciální geometrii a fyzice. Bodový zápis je však nepoužitelný u více nezávislých proměnných a u derivací vysokého řádu (řád 4 a více).

Eulerův zápis

První derivaci Df získáme pomocí diferenciálního operátoru D v Eulerově notaci jeho aplikací na funkci f. Dnd znamená n-tou derivaci.

Pokud je y = f(x) závislá proměnná, nezávislá proměnná x se často upřesňuje přidáním indexu x do D.

Ačkoli pokud je proměnná x srozumitelná, například když je jedinou nezávislou proměnnou obsaženou v rovnici, tento index se často vynechává.

Pro vyjádření a řešení lineárních diferenciálních rovnic je užitečná Eulerova notace.

Použití derivátů v matematice

Deriváty se v matematice používají často. Lze je použít k určení maxima nebo minima funkce, sklonu křivky nebo dokonce inflexního bodu.

Níže uvádíme několik případů, kdy budeme derivát používat. A v následujících kapitolách se každému z nich věnujeme velmi podrobně. S použitím derivátů se nejčastěji setkáváme v:

• Výpočet rychlosti změny veličiny
• Získání dobrého odhadu hodnoty
• Nalezení rovnice pro tečnu a normálu křivky
• Určení inflexního bodu, maxima a minima
• Posouzení rostoucí a klesající funkce

Derivace se používá k výpočtu inflexního bodu, maxima a minima.

Použití derivátů v reálném životě

Deriváty lze v reálném životě použít v mnoha situacích. Zde je seznam několika situací, ve kterých lze derivace použít:

• Výpočet zisku a ztráty podniku.
• Za účelem měření změn teploty.
• Výpočet rychlosti jízdy, např. míle za hodinu, kilometry za hodinu atd.
• Pomocí derivací se odvozuje řada fyzikálních rovnic.
• Zjištění rozsahu magnituda zemětřesení je oblíbeným úkolem seismologického výzkumu.

Závěr

• d2y/dx2 je druhá derivace.
• (dy/dx) ^2 je první derivace na druhou.
• Derivát se v reálném životě používá v různých oblastech k několika účelům.
• Derivace se v matematice používá k výpočtu maximálních a minimálních bodů.
• Lze jej použít v podnikání k výpočtu financí podniku a k výpočtu zisku a ztráty.