I derivati hanno molti usi al di fuori della matematica e della vita quotidiana, anche in materie come la scienza, l'ingegneria, la fisica e altre.

È necessario aver acquisito la capacità di calcolare la derivata di varie funzioni nei corsi precedenti, tra cui trigonometrica, implicita, logaritmo, ecc.

d2y/dx2 e (dydx)^2 sono due equazioni alle derivate, ma per comprenderle è necessario capire cosa sia esattamente la derivata seconda.

La derivata di una funzione nel calcolo è nota come derivata seconda, talvolta nota come derivata di secondo ordine.

La derivata seconda, a grandi linee, misura il modo in cui cambia il tasso di variazione di una grandezza. Ad esempio, la derivata seconda della posizione di un oggetto rispetto al tempo è l'accelerazione istantanea dell'oggetto o il tasso di variazione della velocità dell'oggetto rispetto al tempo.

In questo articolo vi spiegherò qual è la differenza tra d2y/dx2=(dydx)^2 e cosa significa esattamente derivata.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivata di dy/dx (questi 2 possono sembrare notazioni di indice, ma non lo sono). (dydx)2, invece, è il quadrato della derivata prima.

Esempio:

Prendere Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

La derivata prima: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

La derivata seconda: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Il quadrato della derivata prima: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Che cos'è il secondo derivato?

Quando si differenzia la derivata, si ottiene la derivata seconda. Ricordiamo che dy/dx è la derivata di y rispetto a x. La derivata seconda, pronunciata "dee due y per d x al quadrato", è rappresentata come d2y/dx2.

La natura dei punti stazionari può essere più facilmente accertata utilizzando la derivata seconda (se si tratta di punti di massimo, di minimo o di punti di flesso).

Quando dy/dx = 0, una curva raggiunge un punto stazionario. Il tipo di punto stazionario (massimo, minimo o punto di flesso) può essere determinato utilizzando la derivata seconda una volta stabilita la posizione del punto stazionario.

Come si identificano i punti di massimo e di minimo?

d2y/d2x è la derivata seconda.

Che cos'è un derivato?

La derivata di una funzione di una variabile reale in matematica quantifica la sensibilità del valore della funzione (valore di uscita) alle variazioni del suo argomento (valore di ingresso). Lo strumento principale del calcolo è la derivata.

La velocità di un oggetto, ad esempio, è la derivata della sua posizione rispetto al tempo e quantifica la velocità con cui la posizione dell'oggetto varia al passare del tempo.

Quando si verifica, la pendenza della retta tangente al grafico della funzione a un dato valore di ingresso è la derivata di una funzione di una sola variabile. La funzione più vicina a quel valore di ingresso è meglio approssimata linearmente dalla retta tangente.

Per questo motivo, la derivata viene spesso definita "tasso di variazione istantaneo", ovvero il rapporto tra la variazione istantanea della variabile dipendente e quella della variabile indipendente.

Per includere funzioni di più variabili reali, le derivate possono essere generalizzate. Questa generalizzazione reinterpreta la derivata come una trasformazione lineare il cui grafico, dopo un'opportuna traslazione, è la migliore approssimazione lineare al grafico della funzione originale.

Per quanto riguarda la base fornita dalla selezione delle variabili indipendenti e dipendenti, la matrice Jacobiana è la matrice che rappresenta questa trasformazione lineare.

Il vettore gradiente sostituisce la matrice Jacobiana per una funzione a valore reale con più variabili.

La differenziazione è l'azione di individuare una derivata, mentre l'antidifferenziazione è il termine che indica il processo opposto. L'antidifferenziazione e l'integrazione sono correlate nel teorema fondamentale del calcolo. Le due operazioni fondamentali del calcolo a una variabile sono la differenziazione e l'integrazione.

Guardate questo video per conoscere le derivate e le funzioni di una variabile reale

Notazioni diverse

Notazione di Leibniz

Nel 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz introdusse le lettere dx, dy e dy/dx. Ancora oggi, viene spesso utilizzato quando la relazione tra le variabili dipendenti e indipendenti nell'equazione y = f(x) è considerata funzionale.

La variabile per la differenziazione (nel denominatore) può essere specificata utilizzando la notazione di Leibniz, importante per la differenziazione parziale.

Notazione di Lagrange

Una delle notazioni moderne più diffuse per la differenziazione, talvolta nota come notazione dei primi, utilizza il segno di primo ed è attribuita a Joseph-Louis Lagrange. Essa denota la derivata di una funzione f come f1.

Quest'ultima notazione si generalizza per fornire la notazione f(n) per l'ennesima derivata di f, che è più comoda quando si discute la derivata come funzione piuttosto che come funzione di se stessa, perché la notazione di Leibniz può essere complicata in questa situazione.

Notazione di Newton

Nella notazione di differenziazione di Newton, spesso nota come "notazione a punti", si mette un punto sopra il nome della funzione per indicare la derivata temporale.

Con questa notazione si rappresentano solo le derivate rispetto al tempo o alla lunghezza dell'arco. Di solito viene applicata alle equazioni differenziali della geometria differenziale e della fisica. Tuttavia, la notazione dei punti non è applicabile a più variabili indipendenti e alle derivate di ordine elevato (ordine 4 o più).

Notazione di Eulero

La derivata prima Df si ottiene utilizzando l'operatore differenziale D nella notazione di Eulero, applicandolo a una funzione f. Dnd indica la derivata ennesima.

Se y = f(x) è una variabile dipendente, la variabile indipendente x viene spesso precisata aggiungendo il pedice x alla D.

Tuttavia, quando la variabile x è compresa, ad esempio quando è l'unica variabile indipendente contenuta nell'equazione, questo pedice viene spesso omesso.

Per esprimere e risolvere le equazioni differenziali lineari, è utile la notazione di Eulero.

Applicazione delle derivate in matematica

Le derivate sono spesso utilizzate in matematica e possono essere impiegate per determinare il massimo o il minimo di una funzione, la pendenza di una curva o addirittura il punto di flesso.

Di seguito sono riportati alcuni casi in cui utilizzeremo la derivata e le sezioni seguenti approfondiscono ciascuno di essi. L'applicazione delle derivate si trova più frequentemente in:

• Calcolo del tasso di variazione di una grandezza
• Ottenere una buona stima del valore
• Trovare l'equazione della tangente e della normale di una curva
• Individuazione del punto di flesso, dei massimi e dei minimi
• Valutare le funzioni crescenti e decrescenti.

La derivata viene utilizzata per calcolare il punto di flesso, il punto massimo e il punto minimo.

Applicazione dei derivati nella vita reale

Le derivate possono essere utilizzate in molte situazioni della vita reale. Ecco un elenco di alcune situazioni in cui è possibile utilizzare le derivate:

• Calcolare i profitti e le perdite dell'azienda.
• Per misurare la variazione di temperatura.
• Per calcolare la velocità di percorrenza, ad esempio miglia all'ora, chilometri all'ora, ecc.
• Numerose equazioni fisiche vengono derivate utilizzando le derivate.
• Trovare l'intervallo di magnitudo dei terremoti è uno dei compiti preferiti della ricerca sismologica.

Conclusione

• d2y/dx2 è la seconda derivazione.
• (dy/dx) ^2 è la derivata prima al quadrato.
• Una derivata viene utilizzata in vari campi per diversi scopi nella vita reale.
• La derivata viene utilizzata in matematica per calcolare i punti di massimo e di minimo.
• Può essere utilizzato in ambito commerciale per calcolare le finanze dell'azienda e per calcolare i profitti e le perdite.