Išvestinės išvestinės sąvokos plačiai naudojamos ne tik matematikoje ir kasdieniame gyvenime, bet ir tokiuose dalykuose kaip mokslas, inžinerija, fizika ir kt.

Ankstesniuose kursuose turėjote išmokti apskaičiuoti įvairių funkcijų išvestines, įskaitant trigonometrinę, netiesioginę, logaritminę ir kt.

d2y/dx2 ir (dydx)^2 yra dvi išvestinės lygtys. Tačiau norint jas suprasti, pirmiausia reikia suprasti, kas tiksliai yra antroji išvestinė.

Funkcijos išvestinė skaičiavimuose vadinama antrąja išvestine, kartais vadinama antrosios eilės išvestine.

Antroji išvestinė, grubiai tariant, parodo, kaip keičiasi paties dydžio kitimo greitis. Pavyzdžiui, objekto padėties antroji išvestinė laiko atžvilgiu yra objekto momentinis pagreitis arba objekto greičio kitimo greitis laiko atžvilgiu.

Šiame straipsnyje papasakosiu, kuo skiriasi d2y/dx2=(dydx)^2 ir ką tiksliai reiškia išvestinė.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Išvestinė dy/dx (Šie 2 gali atrodyti kaip indeksų užrašai, bet taip nėra). (dydx)2, kita vertus, yra pirmosios išvestinės kvadratas.

Pavyzdys:

Paimkite Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Pirmoji išvestinė: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Antroji išvestinė: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Pirmosios išvestinės kvadratas: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Kas yra antroji išvestinė?

Diferencijuodami išvestinę, gausite antrąją išvestinę. Prisiminkite, kad dy/dx yra y išvestinė x atžvilgiu. Antroji išvestinė, tariama "dee du y iš d x kvadratu", vaizduojama kaip d2y/dx2.

Stacionarių taškų pobūdį galima lengviau nustatyti naudojant antrąją išvestinę (ar tai didžiausi, mažiausi, ar lūžio taškai).

Kai dy/dx = 0, kreivė pasiekia stacionarų tašką. Nustačius stacionaraus taško vietą, galima nustatyti stacionaraus taško tipą (maksimumą, minimumą ar lūžio tašką) naudojant antrąją išvestinę.

Kaip nustatyti maksimumo ir minimumo taškus?

d2y/d2x yra antroji išvestinė.

Kas yra išvestinė priemonė?

Realiojo kintamojo funkcijos išvestinė matematikoje kiekybiškai nusako funkcijos reikšmės (išėjimo reikšmės) jautrumą jos argumento (įėjimo reikšmės) pokyčiams. Pagrindinė skaičiavimo priemonė yra išvestinė.

Pavyzdžiui, daikto greitis yra jo padėties išvestinė laiko atžvilgiu. Jis parodo, kaip greitai kinta daikto padėtis bėgant laikui.

Kai tai įvyksta, funkcijos grafiko liestinės tiesės nuolydis esant tam tikrai įvesties vertei yra vieno kintamojo funkcijos išvestinė. Funkciją, artimiausią tai įvesties vertei, geriausiai tiesiškai aproksimuoja liestinė tiesė.

Dėl šios priežasties išvestinė dažnai vadinama "momentiniu pokyčio greičiu", kuris yra priklausomo kintamojo ir nepriklausomo kintamojo momentinio pokyčio santykis.

Norint įtraukti kelių realiųjų kintamųjų funkcijas, išvestines galima apibendrinti. Šiuo apibendrinimu išvestinė interpretuojama kaip tiesinė transformacija, kurios grafikas po atitinkamo vertimo yra geriausias tiesinis pirminės funkcijos grafiko aproksimacija.

Atsižvelgiant į nepriklausomų ir priklausomų kintamųjų pasirinkimo pagrindą, Džeikobo matrica yra matrica, kuri atspindi šią tiesinę transformaciją.

Jį galima apskaičiuoti naudojant nepriklausomų kintamųjų dalines išvestines. Gradiento vektorius pakeičia Džeikobo matricą realiosios reikšmės funkcijai su keliais kintamaisiais.

Diferencijavimas yra išvestinės vietos nustatymo veiksmas. Antidiferencijavimas yra priešingo proceso terminas. Antidiferencijavimas ir integravimas yra susiję skaičiavimo pagrindine teorema. Du pagrindiniai vieno kintamojo skaičiavimo veiksmai yra diferencijavimas ir integravimas.

Žiūrėkite šį vaizdo įrašą, kad sužinotumėte apie išvestines ir realaus kintamojo funkciją

Įvairūs užrašai

Leibnico užrašas

1675 m. Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (Gottfried Wilhelm Leibniz) įvedė raides dx, dy ir dy/dx. Dar ir šiandien jos dažnai vartojamos, kai priklausomų ir nepriklausomų kintamųjų ryšys lygtyje y = f(x) laikomas funkciniu.

Diferencijavimo kintamąjį (vardiklyje) galima nurodyti naudojant Leibnizo užrašą, kuris svarbus daliniam diferencijavimui.

Lagranžo užrašas

Viename populiariausių šiuolaikinių diferencijavimo užrašų, kartais vadinamame pirminiu užrašu, naudojamas pirminis ženklas, o jo autorystė priskiriama Džozefui Lui Lagranžui. Juo funkcijos f išvestinė žymima kaip f1.

Pastarasis užrašas apibendrintai reiškia n-ąją f išvestinę f, kuri yra patogesnė, kai išvestinę reikia aptarti kaip funkciją, o ne kaip savąją funkciją, nes Leibnico užrašas tokiu atveju gali būti sudėtingas.

Niutono užrašas

Niutono diferencijavimo užraše, dažnai vadinamame "taško užrašu", virš funkcijos pavadinimo dedamas taškas, reiškiantis laiko išvestinę.

Šiuo užrašu vaizduojamos tik išvestinės laiko arba lanko ilgio atžvilgiu. Paprastai jis taikomas diferencialinėms lygtims diferencialinėje geometrijoje ir fizikoje. Tačiau taškinis užrašas netaikytinas keliems nepriklausomiems kintamiesiems ir didelės eilės išvestinėms (4 ar daugiau eilės).

Eulerio užrašas

Pirmoji išvestinė Df gaunama naudojant diferencialinį operatorių D Eulerio užrašu, taikant jį funkcijai f. Dnd reiškia n-ąją išvestinę.

Jei y = f(x) yra priklausomas kintamasis, nepriklausomas kintamasis x dažnai paaiškinamas prie D pridedant indeksą x.

Nors, kai kintamasis x suprantamas, pavyzdžiui, kai jis yra vienintelis lygtyje esantis nepriklausomas kintamasis, šis indeksas dažnai paliekamas.

Tiesinėms diferencialinėms lygtims išreikšti ir spręsti padeda Eulerio užrašas.

Išvestinių finansinių priemonių taikymas matematikoje

Išvestinės dažnai naudojamos matematikoje. Jomis galima nustatyti funkcijos maksimumą ar minimumą, kreivės nuolydį ar net lūžio tašką.

Toliau pateikiami keli atvejai, kai naudosime išvestinę. O tolesniuose skyriuose apie kiekvieną iš jų kalbama labai išsamiai. Dažniausiai išvestinių finansinių priemonių taikymas pasitaiko:

• Kiekio kitimo greičio apskaičiavimas
• Geras vertės įvertinimas
• Kreivės liestinės ir normalės lygties radimas
• Inflekcijos taško, maksimumo ir minimumo nustatymas
• Didėjimo ir mažėjimo funkcijų įvertinimas

Išvestinė naudojama inflekcijos taškui, didžiausiam ir mažiausiam taškui apskaičiuoti

Išvestinių finansinių priemonių taikymas realiame gyvenime

Išvestines galima naudoti daugelyje realaus gyvenimo situacijų. Pateikiame kelių situacijų, kuriose galima naudoti išvestines, sąrašą:

• Apskaičiuoti verslo pelną ir nuostolius.
• Norint išmatuoti temperatūros pokyčius.
• Apskaičiuoti kelionės greitį, pavyzdžiui, mylios per valandą, kilometrai per valandą ir t. t.
• Daugybė fizikos lygčių išvedamos naudojant išvestines.
• Žemės drebėjimų stiprumo diapazono nustatymas yra mėgstama seismologinių tyrimų užduotis.

Išvada

• d2y/dx2 yra antroji išvestinė.
• (dy/dx) ^2 yra pirmoji išvestinė, pakelta kvadratu.
• Išvestinė naudojama įvairiose srityse įvairiais tikslais realiame gyvenime.
• Išvestinė matematikoje naudojama didžiausiems ir mažiausiems taškams apskaičiuoti.
• Jis gali būti naudojamas versle, siekiant apskaičiuoti verslo finansus ir apskaičiuoti pelną bei nuostolius.