Les dérivés ont de nombreuses utilisations en dehors des mathématiques et de la vie quotidienne, notamment dans des domaines tels que les sciences, l'ingénierie, la physique, etc.

Vous devez avoir maîtrisé la capacité de calculer la dérivée de diverses fonctions dans des cours antérieurs, y compris les fonctions trigonométriques, implicites, logarithmes, etc.

d2y/dx2 et (dydx)^2 sont deux équations dérivées. Mais pour les comprendre, il faut d'abord savoir ce qu'est exactement la dérivée seconde.

En calcul, la dérivée d'une fonction est connue sous le nom de dérivée seconde, parfois appelée dérivée de second ordre.

Par exemple, la dérivée seconde de la position d'un objet par rapport au temps est l'accélération instantanée de l'objet ou la vitesse à laquelle la vitesse de l'objet change par rapport au temps.

Dans cet article, je vais vous expliquer quelle est la différence entre d2y/dx2=(dydx)^2 et ce que signifie exactement la dérivée.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Dérivée de dy/dx (Ces 2 peuvent ressembler à une notation d'index, mais ce n'est pas le cas). (dydx)2, d'autre part, est le carré de la dérivée première.

Exemple :

Prendre Y=3 ? ??? 3+6 ? ??? 2y=3×3+6×2

Dérivée première : dy/dx=9 ? ??? 2+12 ? ??? dydx=9×2+12x

Dérivée seconde : d2yd????2=18 ? ??? +12d2ydx2=18x+12

Le carré de la dérivée première : (dydx)2=(9 ? ??? 2+12 ? ??? )2=(81 ? ??? 4+216 ? ??? 3+144

Qu'est-ce que la dérivée seconde ?

Lorsque l'on différencie la dérivée, on obtient la dérivée seconde. Rappelez-vous que dy/dx est la dérivée de y par rapport à x. La dérivée seconde, qui se prononce "dee deux y par d x au carré", est représentée par d2y/dx2.

La nature des points stationnaires peut être plus facilement déterminée à l'aide de la dérivée seconde (s'il s'agit de points maximums, de points minimums ou de points d'inflexion).

Lorsque dy/dx = 0, une courbe atteint un point stationnaire. Le type de point stationnaire (maximum, minimum ou point d'inflexion) peut être déterminé à l'aide de la dérivée seconde une fois que l'emplacement du point stationnaire a été établi.

Comment identifier les points de maxima et de minima ?

d2y/d2x est la dérivée seconde.

Qu'est-ce qu'un produit dérivé ?

La dérivée d'une fonction d'une variable réelle en mathématiques quantifie la sensibilité de la valeur de la fonction (valeur de sortie) aux changements de son argument (valeur d'entrée). La dérivée est l'outil principal du calcul.

La vitesse d'un objet, par exemple, est la dérivée de sa position par rapport au temps. Elle quantifie la vitesse à laquelle la position de l'objet varie au fil du temps.

La pente de la ligne tangente au graphique de la fonction à une valeur d'entrée donnée est la dérivée d'une fonction à une seule variable. La fonction la plus proche de cette valeur d'entrée est la mieux approximée linéairement par la ligne tangente.

Pour cette raison, la dérivée est souvent appelée "taux de variation instantané", c'est-à-dire le rapport entre la variation instantanée de la variable dépendante et celle de la variable indépendante.

Pour inclure les fonctions de plusieurs variables réelles, les dérivées peuvent être généralisées. Cette généralisation réinterprète la dérivée comme une transformation linéaire dont le graphe, après une translation appropriée, est la meilleure approximation linéaire du graphe de la fonction d'origine.

En ce qui concerne la base fournie par la sélection des variables indépendantes et dépendantes, la matrice jacobienne est la matrice qui représente cette transformation linéaire.

Le vecteur gradient remplace la matrice jacobienne pour une fonction réelle à plusieurs variables.

La différenciation est l'action de localiser une dérivée. L'antidifférenciation est le terme qui désigne le processus inverse. L'antidifférenciation et l'intégration sont liées dans le théorème fondamental du calcul. Les deux opérations fondamentales du calcul à une variable sont la différenciation et l'intégration.

Regardez cette vidéo pour en savoir plus sur les dérivés et la fonction d'une variable réelle.

Différentes notations

La notation de Leibniz

En 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz a introduit les lettres dx, dy et dy/dx. Aujourd'hui encore, elle est fréquemment utilisée lorsque la relation entre les variables dépendantes et indépendantes dans l'équation y = f(x) est considérée comme fonctionnelle.

La variable de différenciation (au dénominateur) peut être spécifiée en utilisant la notation de Leibniz, ce qui est important pour la différenciation partielle.

Notation de Lagrange

L'une des notations de différenciation modernes les plus populaires, parfois connue sous le nom de notation des nombres premiers, utilise le signe des nombres premiers et est attribuée à Joseph-Louis Lagrange. Elle désigne la dérivée d'une fonction f par f1.

Cette dernière notation se généralise pour donner la notation f(n) pour la dérivée nième de f, ce qui est plus pratique lorsque l'on discute de la dérivée en tant que fonction plutôt qu'en tant que fonction d'elle-même, car la notation de Leibniz peut s'avérer compliquée dans cette situation.

Notation de Newton

Un point est placé sur le nom de la fonction dans la notation de la différenciation de Newton, souvent connue sous le nom de "notation par points", pour indiquer une dérivée temporelle.

Seules les dérivées par rapport au temps ou à la longueur d'arc sont représentées à l'aide de cette notation. Habituellement, elle est appliquée aux équations différentielles en géométrie différentielle et en physique. Cependant, la notation par points est inapplicable à plusieurs variables indépendantes et aux dérivées d'ordre élevé (ordre 4 ou plus).

Notation d'Euler

La dérivée première Df est obtenue à l'aide de l'opérateur différentiel D dans la notation d'Euler en l'appliquant à une fonction f. Dnd représente la dérivée nième.

Si y = f(x) est une variable dépendante, la variable indépendante x est souvent précisée en ajoutant l'indice x à la lettre D.

Toutefois, lorsque la variable x est comprise, par exemple lorsqu'il s'agit de la seule variable indépendante contenue dans l'équation, cet indice est souvent omis.

La notation d'Euler est utile pour exprimer et résoudre les équations différentielles linéaires.

Application des dérivés en mathématiques

Les dérivées sont fréquemment utilisées en mathématiques, notamment pour déterminer le maximum ou le minimum d'une fonction, la pente d'une courbe ou encore le point d'inflexion.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples d'utilisation de la dérivée. Les sections suivantes détaillent chacune d'entre elles. L'application de la dérivée est la plus fréquente dans les domaines suivants :

• Calcul du taux de variation d'une quantité
• Obtenir une bonne estimation de la valeur
• Trouver l'équation de la tangente et de la normale d'une courbe
• Identifier le point d'inflexion, les maxima et les minima
• Évaluer les fonctions croissantes et décroissantes

Une dérivée est utilisée pour calculer le point d'inflexion, le maximum et le minimum.

Application des produits dérivés dans la vie réelle

Les dérivés peuvent être utilisés dans de nombreuses situations de la vie réelle. Voici une liste de quelques situations dans lesquelles vous pouvez utiliser la dérivation :

• Calculer les profits et les pertes de l'entreprise.
• Afin de mesurer les variations de température.
• Pour calculer la vitesse de déplacement, comme les miles par heure, les kilomètres par heure, etc.
• De nombreuses équations physiques sont dérivées à l'aide de dérivés.
• La recherche de la magnitude des tremblements de terre est l'une des tâches favorites de la recherche en sismologie.

Conclusion

• d2y/dx2 est la deuxième dérivation.
• (dy/dx) ^2 est la dérivée première au carré.
• Un dérivé est utilisé dans différents domaines et à différentes fins dans la vie réelle.
• Une dérivée est utilisée en mathématiques pour calculer les points maximum et minimum.
• Il peut être utilisé dans les entreprises pour calculer les finances de l'entreprise et pour calculer les profits et les pertes.