વ્યુત્પન્નનો માત્ર ગણિત અને રોજિંદા જીવનની બહાર ઘણા ઉપયોગો છે, જેમાં વિજ્ઞાન, એન્જિનિયરિંગ, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને અન્ય વિષયોનો સમાવેશ થાય છે.

તમે ત્રિકોણમિતિ, ગર્ભિત, લઘુગણક, વગેરે સહિત અગાઉના અભ્યાસક્રમોમાં વિવિધ કાર્યોના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાની ક્ષમતામાં નિપુણતા પ્રાપ્ત કરી હશે.

d2y/dx2 અને (dydx)^2 બે વ્યુત્પન્ન છે સમીકરણો પરંતુ તેમને સમજવા માટે, પ્રથમ, તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે બીજું વ્યુત્પન્ન બરાબર શું છે.

કેલ્ક્યુલસમાં ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ સેકન્ડ ડેરિવેટિવ તરીકે ઓળખાય છે, કેટલીકવાર સેકન્ડ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ તરીકે પણ ઓળખાય છે.

બીજું વ્યુત્પન્ન, આશરે કહીએ તો, માપન કરે છે કે જથ્થાનો દર કેવી રીતે બદલાઈ રહ્યો છે. દાખલા તરીકે, સમયના સંદર્ભમાં ઑબ્જેક્ટની સ્થિતિનું બીજું વ્યુત્પન્ન એ ઑબ્જેક્ટનું ત્વરિત પ્રવેગ છે અથવા સમયના સંદર્ભમાં ઑબ્જેક્ટનો વેગ બદલાઈ રહ્યો છે તે દર છે.

આ લેખમાં, હું તમને કહીશ કે શું d2y/dx2=(dydx)^2 અને બરાબર વ્યુત્પન્નનો અર્થ શું છે તે વચ્ચેનો તફાવત છે.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dxનું વ્યુત્પન્ન (આ 2s ઇન્ડેક્સ નોટેશન જેવા દેખાઈ શકે છે, પરંતુ તે નથી). (dydx)2, બીજી તરફ, પ્રથમ વ્યુત્પન્નનો વર્ગ છે.

ઉદાહરણ:

Y=3 લો???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

પ્રથમ વ્યુત્પન્ન: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

બીજો વ્યુત્પન્ન:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

પ્રથમ વ્યુત્પન્નનો વર્ગ: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144<1

બીજું વ્યુત્પન્ન શું છે?

જ્યારે તમે વ્યુત્પન્નને અલગ કરો છો, ત્યારે તમને બીજું વ્યુત્પન્ન મળે છે. યાદ રાખો કે dy/dx એ xના સંદર્ભમાં y નું વ્યુત્પન્ન છે. બીજું વ્યુત્પન્ન, ઉચ્ચાર “dee ટુ y બાય d x સ્ક્વેર્ડ,” ને d2y/dx2 તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

સ્થિર બિંદુઓની પ્રકૃતિ બીજા વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને વધુ સરળતાથી જાણી શકાય છે (ભલે તે મહત્તમ પોઈન્ટ હોય, ન્યૂનતમ પોઈન્ટ હોય, અથવા વળાંકના બિંદુઓ. સ્થિર બિંદુનું સ્થાન સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે.

મેક્સિમા અને મિનિમા પોઈન્ટ કેવી રીતે ઓળખી શકાય?

d2y/d2x એ બીજું ડેરિવેટિવ છે.

ડેરિવેટિવ શું છે?

ગણિતમાં વાસ્તવિક ચલના કાર્યનું વ્યુત્પન્ન પરિમાણફંક્શનના મૂલ્ય (આઉટપુટ મૂલ્ય) ની તેની દલીલ (ઇનપુટ મૂલ્ય) માં ફેરફારો પ્રત્યે સંવેદનશીલતા. કેલ્ક્યુલસનું મુખ્ય સાધન વ્યુત્પન્ન છે.

એક વસ્તુનો વેગ, દાખલા તરીકે, સમયના સંદર્ભમાં તેની સ્થિતિનું વ્યુત્પન્ન છે. તે સમય પસાર થવા સાથે ઑબ્જેક્ટની સ્થિતિ કેટલી ઝડપથી બદલાય છે તેનું પ્રમાણ નક્કી કરે છે.

જ્યારે તે થાય છે, આપેલ ઇનપુટ મૂલ્ય પર ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શરેખાનો ઢોળાવ એ એક ચલના ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન છે. તે ઇનપુટ મૂલ્યની સૌથી નજીકનું કાર્ય સ્પર્શરેખા દ્વારા રેખીય રીતે શ્રેષ્ઠ અંદાજવામાં આવે છે.

આના કારણે, વ્યુત્પન્નને વારંવાર "ફેરફારનો તાત્કાલિક દર" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે સ્વતંત્ર ચલમાં તેના પર આધારિત ચલમાં તાત્કાલિક ફેરફારનો ગુણોત્તર છે.

કેટલાક વાસ્તવિક ચલોના કાર્યોને સમાવવા માટે, ડેરિવેટિવ્ઝને સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે. આ સામાન્યીકરણ વ્યુત્પન્નને રેખીય પરિવર્તન તરીકે પુનઃઅર્થઘટન કરે છે જેનો ગ્રાફ, યોગ્ય અનુવાદ પછી, મૂળ કાર્યના ગ્રાફ માટે શ્રેષ્ઠ રેખીય અંદાજ છે.

સ્વતંત્ર અને આશ્રિત ચલોની પસંદગી દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવેલ પાયાના સંદર્ભમાં, જેકોબિયન મેટ્રિક્સ એ મેટ્રિક્સ છે જે આ રેખીય પરિવર્તનને રજૂ કરે છે.

તેની ગણતરી સ્વતંત્ર ચલોના આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. ગ્રેડિયન્ટ વેક્ટર વાસ્તવિક-મૂલ્યવાન કાર્ય માટે જેકોબિયન મેટ્રિક્સને કેટલાક સાથે બદલે છેચલ.

ભેદ એ વ્યુત્પન્ન સ્થાન શોધવાની ક્રિયા છે. વિભિન્નતા એ વિરોધી પ્રક્રિયા માટેનો શબ્દ છે. કેલ્ક્યુલસના મૂળભૂત પ્રમેયમાં વિભિન્નતા અને એકીકરણ સંબંધિત છે. સિંગલ-વેરિયેબલ કેલ્ક્યુલસની બે મૂળભૂત કામગીરી છે ડિફરન્સિએશન અને ઇન્ટિગ્રેશન.

રિયલ એ વેરીએબલના ડેરિવેટિવ્સ અને ફંક્શન વિશે જાણવા માટે આ વિડિયો જુઓ

ડિફરન્ટ નોટેશન્સ

લીબનીઝ નોટેશન

1675માં, ગોટફ્રાઈડ વિલ્હેમ લીબનીઝે dx, dy, અને dy/dx અક્ષરો રજૂ કર્યા. આજે પણ, જ્યારે સમીકરણ y = f(x) માં આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ચલો વચ્ચેના સંબંધને કાર્યાત્મક માનવામાં આવે છે ત્યારે તે વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાય છે.

વિભેદ માટે ચલ (છેદમાં) લીબનિઝના સંકેતનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે, જે આંશિક ભેદભાવ માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

લેગ્રેન્જનું નોટેશન

સૌથી વધુ લોકપ્રિય આધુનિક ડિફરન્સિએશન નોટેશનમાંથી એક, જેને ક્યારેક પ્રાઇમ નોટેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે પ્રાઇમ માર્કનો ઉપયોગ કરે છે અને જોસેફ-લુઇસ લેગ્રેન્જને શ્રેય આપવામાં આવે છે. તે ફંક્શન f ના વ્યુત્પન્નને f1 તરીકે દર્શાવે છે.

બાદનું સૂચન f ના nમા વ્યુત્પન્ન માટે સંકેત f(n) પ્રદાન કરવા માટે સામાન્ય બનાવે છે, જે કાર્ય તરીકે વ્યુત્પન્નની ચર્ચા કરતી વખતે વધુ અનુકૂળ છે. તેના પોતાના કાર્યને બદલે કારણ કે આ પરિસ્થિતિમાં લીબનીઝ નોટેશન જટિલ હોઈ શકે છે.

ન્યુટનનું નોટેશન

એક બિંદુ છેન્યૂટનના ડિફરન્સિએશન નોટેશનમાં ફંક્શનના નામ પર મૂકવામાં આવે છે, જે ઘણી વખત સમય વ્યુત્પન્નને દર્શાવવા માટે "ડોટ નોટેશન" તરીકે ઓળખાય છે.

આ નોટેશનનો ઉપયોગ કરીને માત્ર સમય અથવા ચાપની લંબાઈના સંદર્ભમાં ડેરિવેટિવ્ઝ દર્શાવવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, તે વિભેદક ભૂમિતિ અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિભેદક સમીકરણો પર લાગુ થાય છે. જો કે, ડોટ નોટેશન ઘણા સ્વતંત્ર ચલો અને ઉચ્ચ-ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ (ઓર્ડર 4 અથવા વધુ) માટે અયોગ્ય છે.

યુલરનું નોટેશન

પ્રથમ ડેરિવેટિવ ડીએફ ડિફરન્સિયલ ઓપરેટરનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે. ડી યુલરની નોટેશનમાં તેને ફંક્શન f પર લાગુ કરીને. Dnd નો અર્થ nth વ્યુત્પન્ન થાય છે.

જો y = f(x) એક આશ્રિત ચલ છે, તો સ્વતંત્ર ચલ xને વારંવાર સબસ્ક્રિપ્ટ x ને Dમાં ઉમેરીને સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે.

જોકે જ્યારે x ચલ સમજાય છે , જેમ કે જ્યારે સમીકરણમાં સમાયેલ આ એકમાત્ર સ્વતંત્ર ચલ છે, ત્યારે આ સબસ્ક્રિપ્ટ વારંવાર છોડી દેવામાં આવે છે.

રેખીય વિભેદક સમીકરણો વ્યક્ત કરવા અને ઉકેલવા માટે, યુલરનું સૂચન મદદરૂપ છે.

ગણિતમાં વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ

ગણિતમાં ડેરિવેટિવ્ઝનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. તેઓનો ઉપયોગ ફંક્શનની મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ, વળાંકનો ઢોળાવ અથવા તો ઈન્ફ્લેક્શન બિંદુ નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે.

નીચે કેટલાક ઉદાહરણો છે જ્યાં આપણે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીશું. અને નીચેના વિભાગો તેમાંના દરેક વિશે ખૂબ વિગતવાર જાય છે. ડેરિવેટિવ્ઝની અરજીમોટેભાગે આમાં જોવા મળે છે:

• જથ્થાના પરિવર્તન દરની ગણતરી
• મૂલ્યનો સારો અંદાજ મેળવવો
• વળાંકની સ્પર્શક અને સામાન્ય માટે સમીકરણ શોધવું
• ઇન્ફ્લેક્શન, મેક્સિમા અને મિનિમાના બિંદુની ઓળખ
• વધતા અને ઘટતા કાર્યોનું મૂલ્યાંકન કરવું

બિંદુની ગણતરી કરવા માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ થાય છે વળાંક, મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુ

વાસ્તવિક જીવનમાં ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ

વ્યુત્પન્નનો વાસ્તવિક જીવનમાં ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં ઉપયોગ કરી શકાય છે. અહીં કેટલીક પરિસ્થિતિઓની સૂચિ છે જેમાં તમે વ્યુત્પત્તિનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

• વ્યવસાયમાં નફો અને નુકસાનની ગણતરી કરવા માટે.
• તાપમાનની વિવિધતાને માપવા માટે.
• પ્રવાસના દરની ગણતરી કરવા માટે, જેમ કે માઇલ પ્રતિ કલાક, કિલોમીટર પ્રતિ કલાક, વગેરે.
• વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને અસંખ્ય ભૌતિકશાસ્ત્રના સમીકરણો મેળવવામાં આવે છે.
• ભૂકંપની તીવ્રતાની શ્રેણી શોધવી એ સિસ્મોલોજી સંશોધનમાં એક પ્રિય કાર્ય છે.

નિષ્કર્ષ

• d2y/dx2 એ બીજું વ્યુત્પન્ન છે.
• (dy/dx) ^2 એ પ્રથમ વ્યુત્પન્ન વર્ગ છે.
• એક વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ વાસ્તવિક જીવનમાં અનેક હેતુઓ માટે વિવિધ ક્ષેત્રોમાં થાય છે.
• એક વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ આમાં થાય છે મહત્તમ અને લઘુત્તમ પોઈન્ટની ગણતરી કરવા માટેનું ગણિત.
• વ્યવસાયમાં તેનો ઉપયોગ ધંધાના નાણાંની ગણતરી કરવા અને નફો અને નુકસાનની ગણતરી કરવા માટે થઈ શકે છે.