डेरिवेटिव का केवल गणित और दैनिक जीवन के अलावा विज्ञान, इंजीनियरिंग, भौतिकी और अन्य विषयों सहित कई उपयोग हैं।

आपको पहले के पाठ्यक्रमों में विभिन्न कार्यों के व्युत्पन्न की गणना करने की क्षमता में महारत हासिल होनी चाहिए, जिसमें त्रिकोणमितीय, निहित, लघुगणक, आदि शामिल हैं।

d2y/dx2 और (dydx)^2 दो व्युत्पन्न हैं समीकरण। लेकिन उन्हें समझने के लिए, सबसे पहले, आपको यह समझने की जरूरत है कि वास्तव में दूसरी व्युत्पत्ति क्या है।

कैलकुलस में किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है, जिसे कभी-कभी दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है।

दूसरा व्युत्पन्न, मोटे तौर पर बोल रहा है, मापता है कि मात्रा की परिवर्तन की दर स्वयं कैसे बदल रही है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में किसी वस्तु की स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न वस्तु का तात्कालिक त्वरण या वह दर है जिस पर वस्तु का वेग समय के संबंध में बदल रहा है।

इस लेख में, मैं आपको बताऊंगा कि क्या d2y/dx2=(dydx)^2 के बीच अंतर है और वास्तव में व्युत्पन्न का क्या अर्थ है।

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx का व्युत्पन्न (ये 2 एस इंडेक्स नोटेशन की तरह लग सकता है, लेकिन वे नहीं हैं)। (dydx)2, दूसरी ओर, पहले अवकलज का वर्ग है।

उदाहरण:

Y=3 ???? 3 लें +6 ???? 2y=3×3+6×2

पहला अवकलज: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

दूसरा व्युत्पन्न:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

पहले अवकलज का वर्ग: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144<1

दूसरा व्युत्पन्न क्या है?

जब आप व्युत्पन्न को अलग करते हैं, तो आपको दूसरा व्युत्पन्न मिलता है। याद रखें कि dy/dx x के संबंध में y का व्युत्पन्न है। दूसरा व्युत्पन्न, उच्चारित "dee Two y by d x वर्ग," को d2y/dx2 के रूप में दर्शाया जाता है।

स्थिर बिंदुओं की प्रकृति को दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके अधिक आसानी से पता लगाया जा सकता है (चाहे वे अधिकतम अंक हों, न्यूनतम अंक हों, या विभक्ति के बिंदु)।

जब dy/dx = 0, एक वक्र एक स्थिर बिंदु तक पहुँचता है। स्थिर बिंदु का प्रकार (अधिकतम, न्यूनतम, या विभक्ति का बिंदु) एक बार दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। स्थिर बिंदु का स्थान स्थापित किया गया है।

मैक्सिमा और मिनिमा पॉइंट्स की पहचान कैसे करें?

d2y/d2x दूसरा डेरिवेटिव है।

डेरिवेटिव क्या है?

गणित में एक वास्तविक चर के फलन का व्युत्पन्न इसकी मात्रा निर्धारित करता हैइसके तर्क (इनपुट मान) में परिवर्तन के लिए फ़ंक्शन के मान (आउटपुट मान) की संवेदनशीलता। कलन का मुख्य उपकरण व्युत्पन्न है।

किसी वस्तु का वेग, उदाहरण के लिए, समय के संबंध में उसकी स्थिति का व्युत्पन्न है। यह मात्रा निर्धारित करता है कि समय बीतने के साथ वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदलती है।

जब ऐसा होता है, तो किसी दिए गए इनपुट मान पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा रेखा का ढलान एकल चर के फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है। उस इनपुट मान के निकटतम कार्य को स्पर्शरेखा रेखा द्वारा रैखिक रूप से अनुमानित किया जाता है।

इस वजह से, डेरिवेटिव को अक्सर "परिवर्तन की तात्कालिक दर" के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि निर्भर चर में तात्कालिक परिवर्तन का स्वतंत्र चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात है।

कई वास्तविक चरों के कार्यों को शामिल करने के लिए, डेरिवेटिव को सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह सामान्यीकरण डेरिवेटिव को एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या करता है जिसका ग्राफ, एक उपयुक्त अनुवाद के बाद, मूल फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है।

स्वतंत्र और आश्रित चर के चयन द्वारा प्रदान की गई नींव के संबंध में, जैकबियन मैट्रिक्स वह मैट्रिक्स है जो इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है।

स्वतंत्र चर के आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है। ग्रेडिएंट वेक्टर कई के साथ एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए जैकोबियन मैट्रिक्स को बदल देता हैचर।

अंतर एक व्युत्पन्न का पता लगाने की क्रिया है। विरोधी विभेदीकरण विपरीत प्रक्रिया के लिए शब्द है। प्रतिविभेदन और एकीकरण कलन मौलिक प्रमेय में संबंधित हैं। एकल-चर कैलकुलस की दो मूलभूत संक्रियाएँ विभेदन और एकीकरण हैं।

1675 में गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज ने dx, dy और dy/dx अक्षरों को पेश किया। आज भी, यह अक्सर तब नियोजित होता है जब समीकरण y = f(x) में निर्भर और स्वतंत्र चर के बीच संबंध को कार्यात्मक माना जाता है।

भिन्नता के लिए चर (हर में) कर सकते हैं लिबनिज़ के अंकन का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, जो आंशिक विभेदीकरण के लिए महत्वपूर्ण है। जोसेफ-लुई लाग्रेंज को श्रेय दिया जाता है। यह फ़ंक्शन f के व्युत्पन्न को f1 के रूप में दर्शाता है। स्वयं के कार्य के बजाय क्योंकि इस स्थिति में लीबनिज़ संकेतन जटिल हो सकता है।

न्यूटन का संकेतन

एक बिंदु हैन्यूटन के विभेदीकरण संकेतन में फ़ंक्शन नाम के ऊपर रखा गया है, जिसे अक्सर "डॉट नोटेशन" के रूप में जाना जाता है, जो समय के व्युत्पन्न को दर्शाता है।

समय या चाप की लंबाई के संबंध में केवल डेरिवेटिव को इस संकेतन का उपयोग करके दर्शाया जाता है। आमतौर पर, यह डिफरेंशियल ज्योमेट्री और फिजिक्स में डिफरेंशियल इक्वेशन पर लागू होता है। हालांकि, डॉट नोटेशन कई स्वतंत्र चर और उच्च-क्रम डेरिवेटिव (ऑर्डर 4 या अधिक) के लिए अनुपयुक्त है। डी यूलर के संकेतन में इसे एक फ़ंक्शन f पर लागू करके। Dnd का मतलब nth डेरिवेटिव है।

यदि y = f(x) एक आश्रित चर है, तो स्वतंत्र चर x को अक्सर सबस्क्रिप्ट x को D में जोड़कर स्पष्ट किया जाता है।

हालांकि जब चर x को समझा जाता है , जैसे कि जब यह समीकरण में निहित एकमात्र स्वतंत्र चर है, तो यह सबस्क्रिप्ट अक्सर छूट जाता है।

रैखिक अवकल समीकरणों को व्यक्त करने और हल करने के लिए, यूलर का अंकन मददगार है। उनका उपयोग किसी फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम, वक्र के ढलान, या यहां तक ​​कि विभक्ति बिंदु को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं जहां हम डेरिवेटिव का उपयोग करेंगे। और निम्नलिखित खंड उनमें से प्रत्येक के बारे में विस्तार से बताते हैं। डेरिवेटिव का आवेदनसबसे अधिक पाया जाता है:

• किसी मात्रा के परिवर्तन की दर की गणना करना
• मूल्य का अच्छा अनुमान प्राप्त करना
• वक्र की स्पर्शरेखा और सामान्य के लिए समीकरण ढूँढना
• विभक्ति, मैक्सिमा और मिनिमा के बिंदु की पहचान करना
• बढ़ते और घटते कार्यों का आकलन करना

बिंदु की गणना के लिए एक व्युत्पन्न का उपयोग किया जाता है विभक्ति, अधिकतम और न्यूनतम बिंदु

वास्तविक जीवन में डेरिवेटिव का अनुप्रयोग

वास्तविक जीवन में कई स्थितियों में डेरिवेटिव का उपयोग किया जा सकता है। यहां कुछ स्थितियों की सूची दी गई है जिसमें आप व्युत्पत्ति का उपयोग कर सकते हैं:

• व्यवसाय में लाभ और हानि की गणना करने के लिए।
• तापमान भिन्नता को मापने के लिए।
• यात्रा की दर की गणना करने के लिए, जैसे कि मील प्रति घंटा, किलोमीटर प्रति घंटा, आदि।
• कई भौतिकी समीकरण डेरिवेटिव का उपयोग करके प्राप्त किए गए हैं।
• भूकंप परिमाण सीमा का पता लगाना भूकंप विज्ञान अनुसंधान में एक पसंदीदा कार्य है।

निष्कर्ष

• d2y/dx2 दूसरी व्युत्पत्ति है।
• (dy/dx) ^2 पहला व्युत्पन्न वर्ग है।
• वास्तविक जीवन में कई उद्देश्यों के लिए विभिन्न क्षेत्रों में एक व्युत्पन्न का उपयोग किया जाता है।
• एक व्युत्पन्न का उपयोग किया जाता है गणित अधिकतम और न्यूनतम अंक की गणना करने के लिए।
• व्यापार में इसका उपयोग व्यवसाय के वित्त की गणना करने और लाभ और हानि की गणना करने के लिए किया जा सकता है।