Izpeljanke se velikokrat uporabljajo tudi zunaj matematike in vsakdanjega življenja, na primer v naravoslovju, tehniki, fiziki in drugih predmetih.

V prejšnjih predmetih ste morali obvladati sposobnost izračuna derivata različnih funkcij, vključno s trigonometrično, implicitno, logaritemsko itd.

d2y/dx2 in (dydx)^2 sta dve enačbi za izpeljavo. Da bi ju razumeli, morate najprej razumeti, kaj točno je druga izpeljanka.

Odvod funkcije v računu je znan kot drugi derivat, včasih imenovan tudi derivat drugega reda.

Druga izpeljanka v grobem meri, kako se spreminja hitrost spremembe neke količine. Druga izpeljanka položaja predmeta glede na čas je na primer trenutni pospešek predmeta ali hitrost, s katero se spreminja hitrost predmeta glede na čas.

V tem članku vam bom povedal, kakšna je razlika med d2y/dx2=(dydx)^2 in kaj točno pomeni derivativ.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Odvodnica dy/dx (Te dvojke so morda videti kot indeksni zapis, vendar to niso). (dydx)2 pa je kvadrat prve odvodnice.

Primer:

Vzemite Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Prva izpeljanka: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Druga izpeljanka: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Kvadrat prve izpeljanke: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Kaj je druga izpeljanka?

Ko diferencirate derivat, dobite drugi derivat. Ne pozabite, da je dy/dx derivat y glede na x. Drugi derivat, ki se izgovarja kot "dee dva y z d x na kvadrat", je predstavljen kot d2y/dx2.

Naravo stacionarnih točk je lažje ugotoviti z uporabo druge izpeljanke (ali gre za maksimalne, minimalne ali prelomne točke).

Ko je dy/dx = 0, krivulja doseže stacionarno točko. Vrsto stacionarne točke (maksimum, minimum ali točka preloma) lahko določimo z drugo izpeljanko, ko ugotovimo lokacijo stacionarne točke.

Kako prepoznati točke maksimuma in minimuma?

d2y/d2x je drugi derivativ.

Kaj je izvedeni finančni instrument?

Odvod funkcije realne spremenljivke v matematiki določa občutljivost vrednosti funkcije (izhodne vrednosti) na spremembe njenega argumenta (vhodne vrednosti). Odvod je temeljno orodje kalkulacije.

Hitrost predmeta je na primer izpeljanka njegovega položaja glede na čas. Določa, kako hitro se položaj predmeta spreminja s časom.

Ko se pojavi, je naklon tangentne črte na graf funkcije pri dani vhodni vrednosti derivat funkcije ene spremenljivke. Funkcija, ki je najbližje tej vhodni vrednosti, je najbolje linearno približana s tangentno črto.

Zaradi tega se izpeljanka pogosto imenuje "trenutna stopnja spremembe", ki je razmerje med trenutno spremembo odvisne spremenljivke in spremembo neodvisne spremenljivke.

Za vključitev funkcij več realnih spremenljivk lahko derivate posplošimo. Ta posplošitev reinterpretira derivat kot linearno transformacijo, katere graf je po ustrezni translaciji najboljši linearni približek grafa prvotne funkcije.

Glede na podlago, ki jo zagotavlja izbira neodvisnih in odvisnih spremenljivk, je Jakobsonova matrika matrika, ki predstavlja to linearno transformacijo.

Izračunamo ga lahko z delnimi izpeljankami neodvisnih spremenljivk. Vektor gradienta nadomešča Jakobsonovo matriko za realno ovrednoteno funkcijo z več spremenljivkami.

Diferenciacija je dejanje, pri katerem najdemo derivat. antidiferenciacija je izraz za nasprotni postopek. antidiferenciacija in integracija sta povezani v temeljnem teoremu računa. Dve temeljni operaciji računa z eno spremenljivko sta diferenciacija in integracija.

Oglejte si ta videoposnetek in spoznajte izpeljanke in funkcijo realne spremenljivke

Različni zapisi

Leibnizov zapis

Leta 1675 je Gottfried Wilhelm Leibniz uvedel črke dx, dy in dy/dx. Še danes se pogosto uporablja, kadar se odnos med odvisno in neodvisno spremenljivko v enačbi y = f(x) obravnava kot funkcionalen.

Spremenljivko za diferenciranje (v imenovalcu) lahko določimo z Leibnizovim zapisom, ki je pomemben za delno diferenciranje.

Lagrangeev zapis

Eden najbolj priljubljenih sodobnih zapisov diferenciacije, včasih imenovan tudi zapis s praštevilskim znakom, uporablja praštevilski znak in je zasluga Josepha-Louisa Lagrangea. Z njim se derivat funkcije f označuje kot f1.

Slednji zapis se posplošuje in omogoča zapis f(n) za n-ti derivat f, ki je bolj priročen, kadar obravnavamo derivat kot funkcijo in ne kot funkcijo samega sebe, saj je Leibnizov zapis v tem primeru lahko zapleten.

Newtonov zapis

V Newtonovem diferencialnem zapisu, ki je pogosto znan kot "točkovni zapis", je nad imenom funkcije postavljena pika, ki označuje časovni derivat.

S tem zapisom predstavimo samo izpeljanke glede na čas ali dolžino loka. Običajno se uporablja za diferencialne enačbe v diferencialni geometriji in fiziki. Vendar je točkovni zapis neuporaben za več neodvisnih spremenljivk in izpeljanke visokega reda (reda 4 ali več).

Eulerjev zapis

Prvi derivativ Df dobimo z uporabo diferencialnega operatorja D v Eulerjevem zapisu tako, da ga uporabimo za funkcijo f. Dnd pomeni n-ti derivativ.

Če je y = f(x) odvisna spremenljivka, neodvisno spremenljivko x pogosto pojasnimo tako, da v D dodamo indeks x.

Čeprav je spremenljivka x razumljiva, na primer kadar je edina neodvisna spremenljivka v enačbi, se ta indeks pogosto izpusti.

Za izražanje in reševanje linearnih diferencialnih enačb je v pomoč Eulerjev zapis.

Uporaba izpeljank v matematiki

Z njimi lahko določimo maksimum ali minimum funkcije, naklon krivulje ali celo točko preloma.

V nadaljevanju navajamo nekaj primerov, v katerih bomo uporabili izvedenke. V naslednjih poglavjih pa bomo vsakega od njih podrobno opisali. Z uporabo izvedenk se najpogosteje srečujemo v:

• Izračun hitrosti spreminjanja količine
• Pridobitev dobre ocene vrednosti
• Iskanje enačbe za tangento in normalo krivulje
• Določanje točke preloma, maksimuma in minimuma
• Ocenjevanje naraščajočih in padajočih funkcij

Izvedenka se uporablja za izračun inflekcijske točke, maksimalne in minimalne točke.

Uporaba izvedenih finančnih instrumentov v resničnem življenju

Izpeljanke lahko uporabimo v številnih situacijah v resničnem življenju. Tukaj je seznam nekaj situacij, v katerih lahko uporabimo izpeljanko:

• Izračunavanje dobička in izgube v podjetju.
• Za merjenje temperaturnih sprememb.
• Izračun hitrosti potovanja, na primer milje na uro, kilometri na uro itd.
• Številne fizikalne enačbe so izpeljane s pomočjo derivatov.
• Iskanje območja magnitude potresa je priljubljena naloga v seizmoloških raziskavah.

Zaključek

• d2y/dx2 je druga izpeljava.
• (dy/dx) ^2 je prvi derivativ na kvadrat.
• Izpeljanka se v resničnem življenju uporablja na različnih področjih za različne namene.
• Izpeljava se v matematiki uporablja za izračun maksimalnih in minimalnih točk.
• Uporablja se lahko v podjetjih za izračun finančnih sredstev podjetja ter za izračun dobička in izgube.