Τα παράγωγα έχουν πολλές χρήσεις εκτός των μαθηματικών και της καθημερινής ζωής, συμπεριλαμβανομένων θεμάτων όπως η επιστήμη, η μηχανική, η φυσική και άλλα.

Θα πρέπει να έχετε κατακτήσει την ικανότητα υπολογισμού της παραγώγου διαφόρων συναρτήσεων σε προηγούμενα μαθήματα, συμπεριλαμβανομένων των τριγωνομετρικών, εμπρόθετων, λογαρίθμων κ.λπ.

Οι εξισώσεις d2y/dx2 και (dydx)^2 είναι δύο εξισώσεις παραγώγων. Αλλά για να τις καταλάβετε, πρέπει πρώτα να καταλάβετε τι ακριβώς είναι η δεύτερη παράγωγος.

Η παράγωγος μιας συνάρτησης στον λογισμό είναι γνωστή ως δεύτερη παράγωγος, μερικές φορές γνωστή ως παράγωγος δεύτερης τάξης.

Η δεύτερη παράγωγος, χονδρικά μιλώντας, μετρά τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους. Για παράδειγμα, η δεύτερη παράγωγος της θέσης ενός αντικειμένου σε σχέση με το χρόνο είναι η στιγμιαία επιτάχυνση του αντικειμένου ή ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η ταχύτητα του αντικειμένου σε σχέση με το χρόνο.

Σε αυτό το άρθρο, θα σας πω ποια είναι η διαφορά μεταξύ d2y/dx2=(dydx)^2 και τι ακριβώς σημαίνει παράγωγος.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Παράγωγος του dy/dx (Αυτά τα 2 μπορεί να μοιάζουν με συμβολισμό δεικτών, αλλά δεν είναι). (dydx)2, από την άλλη πλευρά, είναι το τετράγωνο της πρώτης παραγώγου.

Παράδειγμα:

Πάρτε Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Η πρώτη παράγωγος: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Η δεύτερη παράγωγος: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Το τετράγωνο της πρώτης παραγώγου: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Τι είναι η δεύτερη παράγωγος;

Όταν διαφοροποιείτε την παράγωγο, λαμβάνετε τη δεύτερη παράγωγο. Θυμηθείτε ότι dy/dx είναι η παράγωγος του y ως προς x. Η δεύτερη παράγωγος, που προφέρεται "dee δύο y επί d x στο τετράγωνο", αναπαρίσταται ως d2y/dx2.

Η φύση των σταθερών σημείων μπορεί να εξακριβωθεί ευκολότερα με τη χρήση της δεύτερης παραγώγου (αν πρόκειται για σημεία μέγιστου, ελάχιστου ή καμπής).

Όταν dy/dx = 0, μια καμπύλη φτάνει σε ένα στάσιμο σημείο. Ο τύπος του στάσιμου σημείου (μέγιστο, ελάχιστο ή σημείο καμπής) μπορεί να προσδιοριστεί με τη χρήση της δεύτερης παραγώγου αφού καθοριστεί η θέση του στάσιμου σημείου.

Πώς προσδιορίζετε τα σημεία μέγιστου και ελάχιστου;

d2y/d2x είναι η δεύτερη παράγωγος.

Τι είναι το παράγωγο;

Η παράγωγος μιας συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής στα μαθηματικά ποσοτικοποιεί την ευαισθησία της τιμής της συνάρτησης (τιμή εξόδου) στις μεταβολές του ορίσματός της (τιμή εισόδου). Το βασικό εργαλείο του Λογισμού είναι η παράγωγος.

Η ταχύτητα ενός αντικειμένου, για παράδειγμα, είναι η παράγωγος της θέσης του σε σχέση με το χρόνο. Ποσοτικοποιεί το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η θέση του αντικειμένου καθώς περνάει ο χρόνος.

Όταν συμβαίνει αυτό, η κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε μια δεδομένη τιμή εισόδου είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης μιας μόνο μεταβλητής. Η συνάρτηση που βρίσκεται πλησιέστερα σε αυτή την τιμή εισόδου προσεγγίζεται καλύτερα γραμμικά από την εφαπτομένη.

Εξαιτίας αυτού, η παράγωγος αναφέρεται συχνά ως "στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής", ο οποίος είναι ο λόγος της στιγμιαίας μεταβολής της εξαρτημένης μεταβλητής προς εκείνη της ανεξάρτητης μεταβλητής.

Για να συμπεριληφθούν συναρτήσεις πολλών πραγματικών μεταβλητών, οι παράγωγοι μπορούν να γενικευθούν. Αυτή η γενίκευση επανερμηνεύει την παράγωγο ως γραμμικό μετασχηματισμό του οποίου η γραφική παράσταση, μετά από κατάλληλη μετάφραση, είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση της γραφικής παράστασης της αρχικής συνάρτησης.

Όσον αφορά το θεμέλιο που παρέχεται από την επιλογή των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών, ο Ιακωβιανός πίνακας είναι ο πίνακας που αναπαριστά αυτόν τον γραμμικό μετασχηματισμό.

Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τις μερικές παραγώγους των ανεξάρτητων μεταβλητών. Το διάνυσμα της κλίσης αντικαθιστά τον Ιακωβιανό πίνακα για μια συνάρτηση πραγματικών τιμών με πολλές μεταβλητές.

Διαφοροποίηση είναι η ενέργεια του εντοπισμού μιας παραγώγου. Αντιδιαφοροποίηση είναι ο όρος για την αντίθετη διαδικασία. Η αντιδιαφοροποίηση και η ολοκλήρωση συνδέονται στο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Οι δύο θεμελιώδεις πράξεις του λογισμού μιας μεταβλητής είναι η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση.

Δείτε αυτό το βίντεο για να μάθετε για τις παραγώγους και τη συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής

Διαφορετικές σημειώσεις

Ο συμβολισμός του Leibniz

Το 1675, ο Gottfried Wilhelm Leibniz εισήγαγε τα γράμματα dx, dy και dy/dx. Ακόμη και σήμερα, χρησιμοποιείται συχνά όταν η σχέση μεταξύ της εξαρτημένης και της ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξίσωση y = f(x) θεωρείται συναρτησιακή.

Η μεταβλητή για τη διαφοροποίηση (στον παρονομαστή) μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία του Leibniz, η οποία είναι σημαντική για τη μερική διαφοροποίηση.

Ο συμβολισμός του Λαγκράνζ

Ένας από τους πιο δημοφιλείς σύγχρονους συμβολισμούς διαφοροποίησης, μερικές φορές γνωστός και ως πρώτος συμβολισμός, χρησιμοποιεί το πρώτο σύμβολο και αποδίδεται στον Joseph-Louis Lagrange. Συμβολίζει την παράγωγο μιας συνάρτησης f ως f1.

Ο τελευταίος συμβολισμός γενικεύεται και παρέχει τον συμβολισμό f(n) για την n-οστή παράγωγο της f, ο οποίος είναι πιο βολικός όταν συζητάμε την παράγωγο ως συνάρτηση και όχι ως συνάρτηση του εαυτού της, επειδή ο συμβολισμός Leibniz μπορεί να είναι περίπλοκος σε αυτή την περίπτωση.

Ο συμβολισμός του Νεύτωνα

Μια τελεία τοποθετείται πάνω από το όνομα της συνάρτησης στη σημειογραφία διαφοροποίησης του Νεύτωνα, συχνά γνωστή ως "σημειογραφία τελείας", για να υποδηλώνει μια χρονική παράγωγο.

Μόνο οι παράγωγοι σε σχέση με το χρόνο ή το μήκος τόξου αναπαρίστανται με αυτόν τον συμβολισμό. Συνήθως, εφαρμόζεται σε διαφορικές εξισώσεις στη διαφορική γεωμετρία και τη φυσική. Ωστόσο, ο συμβολισμός της τελείας είναι ανεφάρμοστος σε πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές και σε παραγώγους υψηλής τάξης (τάξης 4 ή περισσότερο).

Ο συμβολισμός του Euler

Η πρώτη παράγωγος Df λαμβάνεται χρησιμοποιώντας τον διαφορικό τελεστή D στον συμβολισμό του Euler εφαρμόζοντάς τον σε μια συνάρτηση f. Dnd συμβολίζει την n-οστή παράγωγο.

Εάν y = f(x) είναι μια εξαρτημένη μεταβλητή, η ανεξάρτητη μεταβλητή x συχνά διευκρινίζεται με την προσθήκη του δείκτη x στο D.

Αν και όταν η μεταβλητή x είναι κατανοητή, όπως όταν είναι η μόνη ανεξάρτητη μεταβλητή που περιέχεται στην εξίσωση, ο δείκτης αυτός συχνά παραλείπεται.

Για την έκφραση και την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, ο συμβολισμός του Euler είναι χρήσιμος.

Εφαρμογή των παραγώγων στα μαθηματικά

Οι παράγωγοι χρησιμοποιούνται συχνά στα μαθηματικά. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό του μέγιστου ή του ελάχιστου μιας συνάρτησης, της κλίσης μιας καμπύλης ή ακόμη και του σημείου καμπής.

Ακολουθούν μερικές περιπτώσεις όπου θα χρησιμοποιήσουμε την παράγωγο. Και στις επόμενες ενότητες θα αναφερθούμε λεπτομερώς σε καθεμία από αυτές. Η εφαρμογή των παραγώγων συναντάται συχνότερα σε:

• Υπολογισμός του ρυθμού μεταβολής μιας ποσότητας
• Μια καλή εκτίμηση της αξίας
• Εύρεση της εξίσωσης για την εφαπτομένη και την κανονική μιας καμπύλης
• Προσδιορισμός του σημείου καμπής, των μεγίστων και των ελαχίστων
• Αξιολόγηση των αυξανόμενων και μειούμενων λειτουργιών

Μια παράγωγος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του σημείου καμπής, του μέγιστου και του ελάχιστου σημείου

Εφαρμογή των παραγώγων στην πραγματική ζωή

Οι παραγώγοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πολλές καταστάσεις στην πραγματική ζωή. Ακολουθεί ένας κατάλογος με μερικές καταστάσεις στις οποίες μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την παραγώγιση:

• Να υπολογίζει τα κέρδη και τις ζημίες της επιχείρησης.
• Για τη μέτρηση της μεταβολής της θερμοκρασίας.
• Για τον υπολογισμό του ρυθμού ταξιδιού, όπως μίλια ανά ώρα, χιλιόμετρα ανά ώρα κ.λπ.
• Πολλές εξισώσεις φυσικής προκύπτουν με τη χρήση παραγώγων.
• Η εύρεση του εύρους μεγέθους του σεισμού είναι ένα από τα αγαπημένα καθήκοντα της σεισμολογικής έρευνας.

Συμπέρασμα

• d2y/dx2 είναι η δεύτερη παραγώγιση.
• (dy/dx) ^2 είναι η πρώτη παράγωγος στο τετράγωνο.
• Μια παράγωγος χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς για διάφορους σκοπούς στην πραγματική ζωή.
• Η παράγωγος χρησιμοποιείται στα μαθηματικά για τον υπολογισμό μέγιστων και ελάχιστων σημείων.
• Μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις επιχειρήσεις για τον υπολογισμό των οικονομικών της επιχείρησης και για τον υπολογισμό των κερδών και των ζημιών.