विज्ञान, ईन्जिनियरिङ्, भौतिकशास्त्र, र अन्य जस्ता विषयहरू सहित, गणित र दैनिक जीवन बाहिर व्युत्पन्नहरूका धेरै प्रयोगहरू छन्।

तपाईंले त्रिकोणमितीय, निहित, लोगारिदम, आदि सहित पहिलेका पाठ्यक्रमहरूमा विभिन्न प्रकार्यहरूको व्युत्पन्न गणना गर्ने क्षमतामा महारत हासिल गरेको हुनुपर्छ।

d2y/dx2 र (dydx)^2 दुई व्युत्पन्न हुन्। समीकरणहरू। तर तिनीहरूलाई बुझ्न, पहिले, तपाईंले वास्तवमा दोस्रो व्युत्पन्न के हो भनेर बुझ्न आवश्यक छ।

क्यालकुलसमा फंक्शनको व्युत्पन्नलाई दोस्रो व्युत्पन्न भनेर चिनिन्छ, कहिलेकाहीँ दोस्रो-क्रम व्युत्पन्नको रूपमा पनि चिनिन्छ।

दोस्रो व्युत्पन्न, मोटे रूपमा बोल्दा, परिमाणको परिवर्तन दर आफैमा कसरी परिवर्तन भइरहेको छ भनेर मापन गर्दछ। उदाहरणका लागि, समयको सन्दर्भमा वस्तुको स्थितिको दोस्रो व्युत्पन्न वस्तुको तात्कालिक प्रवेग वा समयको सन्दर्भमा वस्तुको वेग परिवर्तन भइरहेको दर हो।

यस लेखमा, म तपाईंलाई के भन्छु। d2y/dx2=(dydx)^2 र वास्तवमा व्युत्पन्न भनेको के बीचको भिन्नता हो।

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx को व्युत्पन्न (यी 2s अनुक्रमणिका नोटेशन जस्तो देखिन सक्छ, तर तिनीहरू होइनन्)। (dydx)2, अर्कोतर्फ, पहिलो व्युत्पन्नको वर्ग हो।

उदाहरण:

Y=3 ???? 3 लिनुहोस् +6 ???? 2y=3×3+6×2

पहिलो व्युत्पन्न: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

दोस्रो व्युत्पन्न:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

पहिलो व्युत्पन्नको वर्ग: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144<1

दोस्रो व्युत्पन्न के हो?

जब तपाईँले व्युत्पन्नलाई भिन्न गर्नुहुन्छ, तपाईँले दोस्रो व्युत्पन्न पाउनुहुन्छ। याद गर्नुहोस् कि dy/dx x को सन्दर्भमा y को व्युत्पन्न हो। दोस्रो व्युत्पन्न, उच्चारण "dee two y by d x वर्ग," लाई d2y/dx2 को रूपमा प्रतिनिधित्व गरिन्छ।

स्टेसनरी बिन्दुहरूको प्रकृति दोस्रो व्युत्पन्न प्रयोग गरेर अझ सजिलै पत्ता लगाउन सकिन्छ (चाहे तिनीहरू अधिकतम बिन्दुहरू हुन्, न्यूनतम बिन्दुहरू, वा इन्फ्लेक्शनको बिन्दुहरू।

जब dy/dx = 0, एक वक्र स्थिर बिन्दुमा पुग्छ। स्थिर बिन्दुको प्रकार (अधिकतम, न्यूनतम, वा विच्छेदको बिन्दु) एक पटक दोस्रो व्युत्पन्न प्रयोग गरेर निर्धारण गर्न सकिन्छ। स्थिर बिन्दुको स्थान स्थापित गरिएको छ।

म्याक्सिमा र मिनिमा बिन्दुहरू कसरी पहिचान गर्ने?

d2y/d2x दोस्रो व्युत्पन्न हो।

व्युत्पन्न के हो?

गणितमा वास्तविक चरको प्रकार्यको व्युत्पन्नले परिमाण निर्धारण गर्दछप्रकार्यको मान (आउटपुट मान) को यसको तर्क (इनपुट मान) मा परिवर्तन गर्नको लागि संवेदनशीलता। क्याल्कुलसको मुख्य उपकरण व्युत्पन्न हो।

एउटा वस्तुको वेग, उदाहरणका लागि, समयको सन्दर्भमा यसको स्थितिको व्युत्पन्न हो। यसले समय बित्दै जाँदा वस्तुको स्थिति कत्तिको चाँडो फरक हुन्छ भनेर परिमाण गर्छ।

जब यो हुन्छ, दिइएको इनपुट मानमा प्रकार्यको ग्राफमा स्पर्श रेखाको ढलान एकल चरको प्रकार्यको व्युत्पन्न हो। त्यो इनपुट मानको सबैभन्दा नजिकको प्रकार्यलाई ट्यान्जेन्ट रेखाद्वारा रेखीय रूपमा राम्रोसँग अनुमानित गरिन्छ।

यसको कारणले गर्दा, व्युत्पन्नलाई प्रायः "परिवर्तनको तात्कालिक दर" भनिन्छ, जुन स्वतन्त्र चरमा निर्भर चरमा तत्काल परिवर्तनको अनुपात हो।

धेरै वास्तविक चरहरूको कार्यहरू समावेश गर्न, डेरिभेटिभहरू सामान्यीकृत गर्न सकिन्छ। यो सामान्यीकरणले व्युत्पन्नलाई रेखीय रूपान्तरणको रूपमा पुन: व्याख्या गर्दछ जसको ग्राफ, उपयुक्त अनुवाद पछि, मूल प्रकार्यको ग्राफको लागि उत्तम रैखिक अनुमान हो।

स्वतन्त्र र आश्रित चरहरूको चयनद्वारा प्रदान गरिएको आधारको सन्दर्भमा, जेकोबियन म्याट्रिक्स यो रेखीय रूपान्तरणलाई प्रतिनिधित्व गर्ने म्याट्रिक्स हो।

यो स्वतन्त्र चरहरूको आंशिक डेरिभेटिभहरू प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ। ग्रेडियन्ट भेक्टरले ज्याकोबियन म्याट्रिक्सलाई धेरैसँग वास्तविक-मूल्य कार्यको लागि प्रतिस्थापन गर्दछचर।

भिन्नता भनेको व्युत्पन्न पत्ता लगाउने कार्य हो। Antidifferentiation विपरीत प्रक्रिया को लागी शब्द हो। क्याल्कुलस मौलिक प्रमेयमा विरोधी भिन्नता र एकीकरण सम्बन्धित छन्। एकल-चर क्याल्कुलसका दुई आधारभूत कार्यहरू भिन्नता र एकीकरण हुन्।

रियल ए वेरिएबलको व्युत्पन्न र कार्यको बारेमा जान्नको लागि यो भिडियो हेर्नुहोस्

विभिन्न नोटेशनहरू

Leibniz's Notation

1675 मा, Gottfried Wilhelm Leibniz ले dx, dy, र dy/dx अक्षरहरू प्रस्तुत गरे। आज पनि, यो प्रायः प्रयोग गरिन्छ जब समीकरण y = f(x) मा निर्भर र स्वतन्त्र चर बीचको सम्बन्ध कार्यात्मक मानिन्छ।

विभेदको लागि चल (भाजकमा) लाइबनिजको नोटेशन प्रयोग गरी निर्दिष्ट गर्नुहोस्, जुन आंशिक भिन्नताका लागि महत्त्वपूर्ण छ।

लाग्रेन्जको नोटेशन

सबैभन्दा लोकप्रिय आधुनिक भिन्नता नोटेशनहरू मध्ये एक, जसलाई कहिलेकाहीँ प्राइम नोटेशन भनिन्छ, प्राइम मार्क प्रयोग गर्दछ र जोसेफ-लुइस लाग्रान्जलाई श्रेय दिइएको छ। यसले f1 को रूपमा प्रकार्य f को व्युत्पन्न जनाउँछ।

पछिल्लो नोटेशनले f को nth व्युत्पन्नको लागि सङ्केत f(n) प्रदान गर्न सामान्य बनाउँछ, जुन कार्यको रूपमा व्युत्पन्न छलफल गर्दा बढी सुविधाजनक हुन्छ। बरु आफैंको एक प्रकार्य हो किनभने लाइबनिज नोटेशन यस अवस्थामा जटिल हुन सक्छ।

न्यूटनको नोटेशन

एउटा डट होसमय व्युत्पन्न संकेत गर्नको लागि न्यूटनको भिन्नता नोटेशनमा फंक्शन नाममा राखिएको छ, जसलाई प्राय: "डट नोटेशन" भनिन्छ।

समय वा चाप लम्बाइको सन्दर्भमा केवल डेरिभेटिभहरू यो नोटेशन प्रयोग गरेर प्रतिनिधित्व गरिन्छ। सामान्यतया, यो विभेदक ज्यामिति र भौतिकीमा विभेदक समीकरणहरूमा लागू हुन्छ। यद्यपि, डट नोटेशन धेरै स्वतन्त्र चरहरू र उच्च-अर्डर डेरिभेटिभहरू (अर्डर 4 वा बढी) मा लागू हुँदैन।

युलरको नोटेशन

पहिलो व्युत्पन्न Df डिफरेंशियल अपरेटर प्रयोग गरेर प्राप्त गरिन्छ। D Euler को नोटेशन मा यसलाई एक प्रकार्य f मा लागू गरेर। Dnd nth व्युत्पन्न को लागी खडा छ।

यदि y = f(x) एक आश्रित चर हो भने, स्वतन्त्र चर x लाई D मा सबस्क्रिप्ट x थपेर बारम्बार स्पष्ट गरिन्छ।

यद्यपि जब चर x बुझिन्छ , जस्तै जब यो समीकरणमा समावेश भएको एकमात्र स्वतन्त्र चर हो, यो सबस्क्रिप्ट बारम्बार छोडिन्छ।

रैखिक भिन्न समीकरणहरू अभिव्यक्त गर्न र समाधान गर्नका लागि, युलरको सङ्केत उपयोगी छ।

गणितमा व्युत्पन्नहरूको प्रयोग

गणितमा डेरिभेटिभहरू प्रायः प्रयोग गरिन्छ। तिनीहरू प्रकार्यको अधिकतम वा न्यूनतम, कर्भको ढलान, वा इन्फ्लेक्शन बिन्दु पनि निर्धारण गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ।

तल केही उदाहरणहरू छन् जहाँ हामी व्युत्पन्न प्रयोग गर्नेछौं। र निम्न खण्डहरू ती प्रत्येकको बारेमा ठूलो विवरणमा जान्छन्। व्युत्पन्न को आवेदनप्रायः यसमा पाइन्छ:

• परिमाणको दर परिवर्तनको गणना गर्दै
• मानको राम्रो अनुमान प्राप्त गर्दै
• वक्रको ट्यान्जेन्ट र सामान्यको लागि समीकरण फेला पार्दै
• इन्फ्लेक्शन, maxima, र minima को बिन्दु पहिचान गर्दै
• बढ्दो र घट्ने कार्यहरूको मूल्याङ्कन गर्दै

बिन्दु गणना गर्न एक व्युत्पन्न प्रयोग गरिन्छ इन्फ्लेक्शनको, अधिकतम र न्यूनतम बिन्दु

वास्तविक जीवनमा व्युत्पन्नहरूको आवेदन

व्युत्पन्नहरू वास्तविक जीवनमा धेरै परिस्थितिहरूमा प्रयोग गर्न सकिन्छ। यहाँ केहि परिस्थितिहरूको सूची छ जसमा तपाईंले व्युत्पन्न प्रयोग गर्न सक्नुहुन्छ:

• व्यवसायमा नाफा र घाटा गणना गर्न।
• तापमान भिन्नता मापन गर्न।
• यात्राको दर गणना गर्न, जस्तै माइल प्रति घण्टा, किलोमिटर प्रति घण्टा, आदि।
• भूकम्पको परिमाणको दायरा पत्ता लगाउनु भूकम्प विज्ञान अनुसन्धानमा मनपर्ने काम हो।

निष्कर्ष

• d2y/dx2 दोस्रो व्युत्पन्न हो।
• (dy/dx) ^2 पहिलो व्युत्पन्न वर्ग हो।
• एक व्युत्पन्न वास्तविक जीवनमा धेरै उद्देश्यका लागि विभिन्न क्षेत्रहरूमा प्रयोग गरिन्छ।
• एक व्युत्पन्न प्रयोग गरिन्छ अधिकतम र न्यूनतम अंकहरू गणना गर्न गणित।
• यसलाई व्यवसायको वित्त गणना गर्न र नाफा नोक्सान गणना गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ।