Похідні мають багато застосувань не лише в математиці та повсякденному житті, але й у таких галузях, як наука, інженерія, фізика та інші.

Ви повинні були опанувати вміння обчислювати похідну різних функцій на попередніх курсах, включаючи тригонометричну, неявну, логарифмічну тощо.

d2y/dx2 і (dydx)^2 - це рівняння з двома похідними. Але щоб їх зрозуміти, спочатку потрібно зрозуміти, що саме є другою похідною.

Похідна функції в математиці відома як друга похідна, іноді її називають похідною другого порядку.

Друга похідна, грубо кажучи, вимірює, як змінюється сама швидкість зміни величини. Наприклад, друга похідна положення об'єкта відносно часу - це миттєве прискорення об'єкта або швидкість, з якою швидкість об'єкта змінюється відносно часу.

У цій статті я розповім вам, в чому різниця між d2y/dx2=(dydx)^2 і що саме означає похідна.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Похідна від dy/dx (ці 2 можуть виглядати як індексні позначення, але це не так). (dydx)2, з іншого боку, є квадратом першої похідної.

Приклад:

Візьмемо Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Перша похідна: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Друга похідна: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Квадрат першої похідної: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Що таке друга похідна?

Коли ви диференціюєте похідну, ви отримуєте другу похідну. Пам'ятайте, що dy/dx - це похідна від y по відношенню до x. Друга похідна, яка вимовляється як "ділення y на d x в квадраті", представляється як d2y/dx2.

Природу стаціонарних точок легше визначити за допомогою другої похідної (чи це точки максимуму, мінімуму, чи точки перегину).

Коли dy/dx = 0, крива досягає стаціонарної точки. Тип стаціонарної точки (максимум, мінімум або точка перегину) можна визначити за допомогою другої похідної після того, як встановлено місцезнаходження стаціонарної точки.

Як визначити точки максимуму і мінімуму?

d2y/d2x - друга похідна.

Що таке дериватив?

Похідна функції дійсної змінної в математиці кількісно характеризує чутливість значення функції (вихідної величини) до зміни її аргументу (вхідної величини). Похідна є основним інструментом математичного аналізу.

Швидкість об'єкта, наприклад, є похідною від його положення відносно часу. Вона кількісно показує, наскільки швидко положення об'єкта змінюється з плином часу.

Коли це відбувається, нахил дотичної до графіка функції при заданому вхідному значенні є похідною функції однієї змінної. Функція, найближча до цього вхідного значення, найкраще лінійно апроксимується дотичною лінією.

Через це похідну часто називають "миттєвою швидкістю зміни", тобто відношенням миттєвої зміни залежної змінної до миттєвої зміни незалежної змінної.

Щоб включити функції декількох дійсних змінних, похідні можна узагальнити. Це узагальнення переосмислює похідну як лінійне перетворення, графік якого, після відповідного перетворення, є найкращим лінійним наближенням до графіка вихідної функції.

Щодо основи, яка забезпечується вибором незалежних і залежних змінних, то матриця Якобіана є матрицею, яка представляє це лінійне перетворення.

Його можна обчислити за допомогою частинних похідних незалежних змінних. Вектор градієнта замінює матрицю Якобіана для дійсної функції з декількома змінними.

Диференціювання - це дія знаходження похідної. Антидиференціювання - це термін для позначення протилежного процесу. Антидиференціювання та інтегрування пов'язані між собою у фундаментальній теоремі числення. Дві фундаментальні операції числення однієї змінної - диференціювання та інтегрування.

Подивіться це відео, щоб дізнатися про похідну та функцію дійсної змінної a

Різні позначення

Нотація Лейбніца

У 1675 році Готфрід Вільгельм Лейбніц ввів літери dx, dy та dy/dx. Навіть сьогодні вони часто використовуються, коли зв'язок між залежною та незалежною змінними в рівнянні y = f(x) вважається функціональним.

Змінна для диференціювання (у знаменнику) може бути задана за допомогою нотації Лейбніца, що важливо для часткового диференціювання.

Нотація Лагранжа

Один з найпопулярніших сучасних диференціальних записів, іноді відомий як первісний запис, використовує знак первісної і приписується Жозефу-Луї Лагранжу. Він позначає похідну функції f як f1.

Останній запис узагальнюється, щоб забезпечити запис f(n) для n-ї похідної від f, що є більш зручним при обговоренні похідної як функції, а не функції від самої себе, оскільки запис Лейбніца може бути складним у цій ситуації.

Нотація Ньютона

Крапка ставиться над ім'ям функції в нотації диференціювання Ньютона, часто відомій як "крапкова нотація", щоб позначити похідну за часом.

За допомогою цієї нотації зображуються лише похідні за часом або довжиною дуги. Зазвичай її застосовують до диференціальних рівнянь у диференціальній геометрії та фізиці. Однак крапкова нотація не застосовується до кількох незалежних змінних і похідних високого порядку (4-го порядку або більше).

Нотація Ейлера

Першу похідну Df отримують за допомогою диференціального оператора D в нотації Ейлера, застосовуючи його до функції f. Dnd позначає n-ту похідну.

Якщо у = f(x) є залежною змінною, то незалежну змінну x часто уточнюють, додаючи до D підрядковий індекс x.

Хоча, коли змінна x зрозуміла, наприклад, коли це єдина незалежна змінна, що міститься в рівнянні, цей підрядковий знак часто не ставлять.

Для вираження та розв'язання лінійних диференціальних рівнянь корисно використовувати нотацію Ейлера.

Застосування похідних у математиці

Похідні часто використовуються в математиці. З їх допомогою можна визначити максимум або мінімум функції, нахил кривої або навіть точку перегину.

Нижче наведено кілька прикладів, де ми будемо використовувати похідну. А в наступних розділах ми детально розглянемо кожен з них. Застосування похідних найчастіше зустрічається в..:

• Обчислення швидкості зміни величини
• Отримання точної оцінки вартості
• Знаходження рівняння дотичної та нормалі до кривої
• Визначення точок перегину, максимумів і мінімумів
• Оцінка зростаючої та спадної функцій

Похідна використовується для обчислення точки перегину, максимальної та мінімальної точки

Застосування деривативів у реальному житті

Деривативи можна використовувати в багатьох ситуаціях у реальному житті. Ось список декількох ситуацій, в яких ви можете використовувати деривативи:

• Розраховувати прибутки та збитки в бізнесі.
• Для того, щоб виміряти коливання температури.
• Для розрахунку швидкості руху, наприклад, миль на годину, кілометрів на годину тощо.
• Численні фізичні рівняння виводяться за допомогою похідних.
• Визначення діапазону магнітуд землетрусів є улюбленим завданням у сейсмологічних дослідженнях.

Висновок

• d2y/dx2 - друга похідна.
• (dy/dx) ^2 - перша похідна в квадраті.
• У реальному житті дериватив використовується в різних сферах для кількох цілей.
• Похідна використовується в математиці для обчислення максимальних і мінімальних балів.
• Його можна використовувати в бізнесі для розрахунку фінансів підприємства та підрахунку прибутків і збитків.