デリバティブは、数学や日常生活だけでなく、科学、工学、物理学など、さまざまな分野で利用されています。

三角関数、陰関数、対数など、さまざまな関数の微分を計算する能力を以前のコースで習得しているはずです。

d2y/dx2と(dydx)^2は2階微分方程式ですが、これを理解するためには、まず、2階微分とはいったい何なのかを理解する必要があります。

微積分学における関数の導関数は、2次導関数と呼ばれ、2階導関数と呼ばれることもあります。

例えば、物体の位置の時間に対する2階微分は、物体の瞬時加速度、つまり物体の速度が時間に対してどのように変化しているかを表すものである。

今回は、d2y/dx2=(dydx)^2の違いは何か、微分とは一体どういう意味なのかをお伝えします。

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dxの微分（この2が指数表記のように見えるかもしれませんが、そうではありません）。 一方、（dydx）2は、1次微分の2乗です。

例

Y=3を取る ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

一次微分：dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

二次微分：d2yd???2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

一次微分の二乗：（dydx）2＝（9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

セカンドデリバリーとは？

微分すると二次微分となり、dy/dxはxに対するyの微分であることを思い出してください。 二次微分は、「de2 y by d x squared」と発音し、d2y/dx2と表現します。

定常点の性質（最大点、最小点、変曲点など）は、2次導関数でより簡単に確認することができる。

dy/dx=0のとき、曲線は定点に達する。 定点の位置が決まれば、定点の種類（最大、最小、変曲点）を二次導関数で決定することができる。

極大点、極小点の特定はどのように行うのですか？

d2y/d2xは2次微分です。

デリバティブとは？

数学における実数変数の関数の導関数は、引数（入力値）の変化に対する関数の値（出力値）の感度を定量化する。 微分積分の中核をなす道具が導関数である。

例えば、物体の速度は、物体の位置を時間に対して微分したもので、時間の経過とともに物体の位置がどれだけ速く変化するかを数値化したものです。

このとき、ある入力値における関数のグラフの接線の傾きが、1変数の関数の導関数になります。 その入力値に最も近い関数は、接線によって最も直線的に近似されます。

このため、微分は「瞬時変化率」と呼ばれることが多く、依存変数の瞬時変化と独立変数の瞬時変化の比を表します。

この一般化では、微分を、適切な変換を行った後のグラフが元の関数のグラフに最も近い線形変換として再解釈します。

独立変数と従属変数の選択によってもたらされる基盤について、ヤコビアン行列は、この線形変換を表す行列である。

勾配ベクトルは，複数の変数を持つ実数値関数のヤコビアン行列を置き換えることができる．

微分とは、微分の位置を特定する動作。 反微分とは、その逆の動作を表す言葉。 反微分と積分は、微積分の基本定理で関係している。 単変数の微積分の基本操作は、微分と積分の二つ。

微分と実変数の関数について知るためのビデオです。

異なる表記方法

ライプニッツの表記法

1675年、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツがdx、dy、dy/dxという文字を紹介し、現在でも方程式y＝f（x）の従属変数と独立変数の関係が関数的であると考えられる場合に頻繁に採用される。

微分する変数（分母）は、偏微分の際に重要なライプニッツの記法を用いて指定することができます。

ラグランジュ表記法

現代の微分記法で最もポピュラーなものの1つであるプライム記法は、ジョセフ＝ルイ・ラグランジュが考案したもので、プライムマークを用いて、関数fの微分をf1と表します。

後者の表記を一般化すると、fのn回目の微分をf(n)という表記になります。この場合、ライプニッツ表記が複雑になるので、微分をそれ自身の関数ではなく、関数として論じる場合に便利です。

ニュートン表記法

ニュートンの微分記法では、関数名の上にドットを置き、時間微分を意味する「ドット記法」と呼ばれることが多い。

通常、微分幾何学や物理学の微分方程式に適用されるが、独立変数が複数ある場合や高階微分（4階以上）ではドット表記が適用されない。

オイラー表記法

1次微分Dfは、オイラー記法の微分演算子Dを関数fに適用して得られるもので、Dndはn次微分を意味します。

y = f(x)が従属変数である場合、独立変数xはDに添え字xをつけることで明確になることが多い。

ただし、方程式に含まれる唯一の独立変数であるなど、変数xが理解できる場合は、この添え字を省くことが多い。

線形微分方程式の表現と解決には、オイラーの記法が便利です。

数学におけるデリバティブの応用

微分は、関数の最大値や最小値、曲線の傾き、変曲点などを求めることができ、数学でよく使われます。

以下、デリバティブを使う例をいくつか紹介します。 そして、以下の項では、それぞれについて詳しく説明します。 デリバティブの応用は、最も頻繁に見られます：

• 量の変化率を計算する
• 見積もり額をしっかり出す
• 曲線の接線と法線の方程式を求める
• 変曲点、極大点、極小点の見極め
• 増加関数と減少関数の評価を行う

変曲点、最大点、最小点を算出するために微分を使用します

デリバティブの実生活への応用

派生語は実生活の様々な場面で使うことができます。 ここでは、派生語を使うことができるいくつかの場面を紹介します：

• 事業における損益を計算するため。
• 温度変化を測定するため。
• マイル/時、キロメートル/時など、移動速度を計算すること。
• 数多くの物理方程式が微分を用いて導出されている。
• 地震のマグニチュード範囲を見つけることは、地震学の研究において好んで行われる作業である。

結論

• d2y/dx2が2回目の導出となります。
• (dy/dx) ^2 は一次微分の二乗です。
• デリバティブは、実生活の中で様々な分野でいくつかの目的で使用されています。
• 微分とは、数学で最大点・最小点を計算するときに使うものです。
• ビジネスでは、事業の財務を計算し、損益を計算するために使用することができます。