Pochodne mają wiele zastosowań poza tylko matematyką i życiem codziennym, w tym w przedmiotach takich jak nauka, inżynieria, fizyka i inne.

Zapewne na wcześniejszych kursach opanowałeś umiejętność obliczania pochodnych różnych funkcji, w tym trygonometrycznych, implikowanych, logarytmów itp.

d2y/dx2 i (dydx)^2 to dwa równania pochodne. Ale żeby je zrozumieć, najpierw trzeba zrozumieć, czym dokładnie jest druga pochodna.

Pochodna funkcji w rachunku nazywana jest pochodną drugą, czasem nazywaną pochodną drugiego rzędu.

Druga pochodna, w przybliżeniu, mierzy, jak zmienia się tempo zmian danej wielkości. Na przykład druga pochodna pozycji obiektu w odniesieniu do czasu to przyspieszenie chwilowe obiektu lub tempo, w jakim prędkość obiektu zmienia się w odniesieniu do czasu.

W tym artykule powiem Ci, czym różni się d2y/dx2=(dydx)^2 i co dokładnie oznacza pochodna.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Pochodna dy/dx (Te 2 mogą wyglądać jak notacja wskaźnikowa, ale nią nie są). (dydx)2 natomiast to kwadrat pierwszej pochodnej.

Przykład:

Weź Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Pierwsza pochodna: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Druga pochodna: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Kwadrat pierwszej pochodnej: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Co to jest druga pochodna?

Gdy różnicujemy pochodną, otrzymujemy drugą pochodną. Pamiętajmy, że dy/dx to pochodna y względem x. Drugą pochodną, wymawianą jako "dee dwa y przez d x podniesione do kwadratu", przedstawiamy jako d2y/dx2.

Charakter punktów stacjonarnych można łatwiej ustalić za pomocą drugiej pochodnej (czy są to punkty maksymalne, minimalne, czy punkty przegięcia).

Gdy dy/dx = 0, krzywa osiąga punkt stacjonarny. Rodzaj punktu stacjonarnego (maksimum, minimum lub punkt przegięcia) można określić za pomocą drugiej pochodnej po ustaleniu położenia punktu stacjonarnego.

Jak zidentyfikować punkty maksymalne i minimalne?

d2y/d2x jest drugą pochodną.

Co to jest instrument pochodny?

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej w matematyce określa ilościowo wrażliwość wartości funkcji (wartości wyjściowej) na zmiany jej argumentu (wartości wejściowej). Podstawowym narzędziem rachunku jest pochodna.

Na przykład prędkość przedmiotu jest pochodną jego położenia w czasie i określa, jak szybko zmienia się położenie przedmiotu w miarę upływu czasu.

Gdy występuje, nachylenie linii stycznej do wykresu funkcji przy danej wartości wejściowej jest pochodną funkcji jednej zmiennej. Funkcja najbliższa tej wartości wejściowej jest najlepiej przybliżona liniowo przez linię styczną.

Z tego powodu pochodna jest często określana jako "chwilowa szybkość zmian", czyli stosunek chwilowej zmiany zmiennej zależnej do zmiany zmiennej niezależnej.

Aby objąć funkcje kilku zmiennych rzeczywistych, można uogólnić pochodne. Uogólnienie to reinterpretuje pochodną jako przekształcenie liniowe, którego wykres po odpowiedniej translacji jest najlepszym liniowym przybliżeniem wykresu funkcji oryginalnej.

Jeśli chodzi o fundament zapewniony przez wybór zmiennych niezależnych i zależnych, macierz jakobianowa jest macierzą reprezentującą to przekształcenie liniowe.

Można go obliczyć wykorzystując pochodne cząstkowe zmiennych niezależnych. Wektor gradientu zastępuje macierz jakobianową dla funkcji rzeczywistej o kilku zmiennych.

Różniczkowanie jest działaniem polegającym na położeniu pochodnej.Antyróżniczkowanie jest określeniem procesu odwrotnego.Antyróżniczkowanie i całkowanie są związane w podstawowym twierdzeniu rachunku.Dwiema podstawowymi operacjami rachunku jednej zmiennej są różniczkowanie i całkowanie.

Obejrzyj ten film, aby dowiedzieć się o pochodnych i funkcjach zmiennej rzeczywistej

Różne zapisy

Notacja Leibniza

W 1675 roku Gottfried Wilhelm Leibniz wprowadził oznaczenia literowe dx, dy oraz dy/dx. Do dziś jest ono często stosowane, gdy związek między zmiennymi zależnymi i niezależnymi w równaniu y = f(x) uważa się za funkcyjny.

Zmienna do różniczkowania (w mianowniku) może być określona za pomocą notacji Leibniza, co jest ważne przy różniczkowaniu cząstkowym.

Notacja Lagrange'a

Jedna z najpopularniejszych współczesnych notacji różniczkowania, zwana czasem notacją pierwszorzędową, wykorzystuje znak pierwiastka i przypisywana jest Josephowi-Louisowi Lagrange'owi. Oznacza ona pochodną funkcji f jako f1.

Ta ostatnia notacja uogólnia się, dając zapis f(n) dla n-tej pochodnej f, co jest wygodniejsze przy omawianiu pochodnej jako funkcji, a nie funkcji samej siebie, gdyż notacja Leibniza może być w tej sytuacji skomplikowana.

Notacja Newtona

W notacji różnicowej Newtona, zwanej często "notacją kropkową", nad nazwą funkcji umieszcza się kropkę oznaczającą pochodną czasową.

Za pomocą tej notacji przedstawia się tylko pochodne względem czasu lub długości łuku. Zwykle stosuje się ją do równań różniczkowych w geometrii różniczkowej i fizyce. Notacja kropkowa nie ma jednak zastosowania w przypadku kilku zmiennych niezależnych i pochodnych wysokiego rzędu (rzędu 4 lub więcej).

Notacja Eulera

Pierwszą pochodną Df otrzymujemy za pomocą operatora różniczkowego D w notacji Eulera, stosując go do funkcji f. Dnd oznacza n-tą pochodną.

Jeśli y = f(x) jest zmienną zależną, to zmienna niezależna x jest często wyjaśniana przez dodanie indeksu x do D.

Chociaż, gdy zmienna x jest zrozumiała, np. gdy jest to jedyna zmienna niezależna zawarta w równaniu, często pomija się ten indeks.

Do wyrażania i rozwiązywania liniowych równań różniczkowych pomocna jest notacja Eulera.

Zastosowanie pochodnych w matematyce

Pochodne są często stosowane w matematyce. Można je wykorzystać do określenia maksimum lub minimum funkcji, nachylenia krzywej, a nawet punktu przegięcia.

Poniżej przedstawiamy kilka przypadków, w których będziemy używać pochodnej. A w kolejnych rozdziałach bardzo szczegółowo omawiamy każdą z nich. Zastosowanie pochodnych najczęściej spotykamy w:

• Obliczanie tempa zmian wielkości
• Uzyskanie dobrego oszacowania wartości
• Znajdowanie równania dla stycznej i normalnej krzywej
• Identyfikacja punktu przegięcia, maksimum i minimum
• Dokonywanie oceny funkcji rosnących i malejących

Pochodna służy do obliczenia punktu przegięcia, punktu maksymalnego i minimalnego

Zastosowanie instrumentów pochodnych w życiu codziennym

Pochodne mogą być używane w wielu sytuacjach w prawdziwym życiu. Oto lista kilku sytuacji, w których możesz użyć pochodnych:

• Obliczanie zysków i strat w działalności gospodarczej.
• W celu pomiaru zmian temperatury.
• Aby obliczyć tempo podróży, takie jak mile na godzinę, kilometry na godzinę itp.
• Liczne równania fizyki są wyprowadzane za pomocą pochodnych.
• Znalezienie zakresu magnitudy trzęsienia ziemi jest ulubionym zadaniem w badaniach sejsmologicznych.

Wniosek

• d2y/dx2 to druga pochodna.
• (dy/dx) ^2 to pierwsza pochodna podniesiona do kwadratu.
• Pochodna jest używana w różnych dziedzinach do kilku celów w życiu.
• Pochodna jest stosowana w matematyce do obliczania punktów maksymalnych i minimalnych.
• Może być stosowany w biznesie do obliczania finansów przedsiębiorstwa oraz obliczania zysków i strat.