Derivatele au multe utilizări în afara matematicii și a vieții de zi cu zi, inclusiv în domenii precum știința, ingineria, fizica și altele.

Trebuie să vă fi însușit capacitatea de a calcula derivata diferitelor funcții în cursurile anterioare, inclusiv trigonometrice, implicite, logaritmice etc.

d2y/dx2 și (dydx)^2 sunt două ecuații cu derivate. Dar pentru a le înțelege, mai întâi trebuie să înțelegeți ce este mai exact a doua derivată.

Derivata unei funcții în calcul este cunoscută sub numele de derivata a doua, cunoscută uneori ca derivată de ordinul doi.

De exemplu, a doua derivată a poziției unui obiect în raport cu timpul este accelerația instantanee a obiectului sau rata de variație a vitezei obiectului în raport cu timpul.

În acest articol, vă voi spune care este diferența dintre d2y/dx2=(dydx)^2 și ce înseamnă mai exact derivata.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivata lui dy/dx (Aceste 2-uri pot părea o notație de indice, dar nu sunt). (dydx)2, pe de altă parte, este pătratul primei derivate.

Exemplu:

Luați Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Prima derivată: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

A doua derivată: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Pătratul primei derivate: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Ce este a doua derivată?

Când diferențiați derivata, obțineți a doua derivată. Amintiți-vă că dy/dx este derivata lui y în raport cu x. A doua derivată, pronunțată "dee doi y prin d x la pătrat", este reprezentată ca d2y/dx2.

Natura punctelor staționare poate fi mai ușor de stabilit cu ajutorul celei de-a doua derivate (dacă sunt puncte maxime, puncte minime sau puncte de inflexiune).

Când dy/dx = 0, o curbă atinge un punct staționar. Tipul punctului staționar (maxim, minim sau punct de inflexiune) poate fi determinat cu ajutorul derivatei a doua, odată ce a fost stabilită locația punctului staționar.

Cum se identifică punctele de maxim și de minim?

d2y/d2x este derivata a doua.

Ce este un instrument derivat?

Derivata unei funcții de o variabilă reală în matematică cuantifică sensibilitatea valorii funcției (valoarea de ieșire) la schimbările în argumentul său (valoarea de intrare). Instrumentul de bază al calculului este derivata.

Viteza unui obiect, de exemplu, este derivata poziției sale în raport cu timpul. Aceasta cuantifică rapiditatea cu care variază poziția obiectului pe măsură ce trece timpul.

Atunci când se produce, panta liniei tangente la graficul funcției la o anumită valoare de intrare este derivata unei funcții de o singură variabilă. Funcția cea mai apropiată de acea valoare de intrare este cel mai bine aproximată liniar de linia tangentă.

Din acest motiv, derivata este frecvent denumită "rata instantanee de variație", care reprezintă raportul dintre variația instantanee a variabilei dependente și cea a variabilei independente.

Pentru a include funcțiile de mai multe variabile reale, derivatele pot fi generalizate. Această generalizare reinterpretează derivata ca o transformare liniară al cărei grafic, după o translație adecvată, este cea mai bună aproximare liniară a graficului funcției originale.

În ceea ce privește baza oferită de selecția variabilelor independente și dependente, matricea Jacobian este matricea care reprezintă această transformare liniară.

Acesta poate fi calculat folosind derivatele parțiale ale variabilelor independente. Vectorul gradient înlocuiește matricea Jacobian pentru o funcție cu valori reale cu mai multe variabile.

Diferențierea este acțiunea de a localiza o derivată. Antidiferențierea este termenul pentru procesul opus. Antidiferențierea și integrarea sunt legate în teorema fundamentală a calculului. Cele două operații fundamentale ale calculului cu o singură variabilă sunt diferențierea și integrarea.

Urmăriți acest videoclip pentru a afla despre derivatele și funcția de o variabilă reală

Notații diferite

Notația lui Leibniz

În 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz a introdus literele dx, dy și dy/dx. Chiar și astăzi, este frecvent utilizată atunci când relația dintre variabilele dependente și independente din ecuația y = f(x) este considerată funcțională.

Variabila pentru diferențiere (în numitor) poate fi specificată folosind notația lui Leibniz, care este importantă pentru diferențierea parțială.

Notația lui Lagrange

Una dintre cele mai populare notații moderne de diferențiere, cunoscută uneori sub numele de notația primelor, utilizează semnul prim și este atribuită lui Joseph-Louis Lagrange. Aceasta denumește derivata unei funcții f ca f1.

Această din urmă notație se generalizează pentru a oferi notația f(n) pentru a n-a derivată a lui f, care este mai convenabilă atunci când se discută derivata ca o funcție decât ca o funcție de sine, deoarece notația Leibniz poate fi complicată în această situație.

Notația lui Newton

În notația de diferențiere a lui Newton, cunoscută adesea sub numele de "notația punctului", se pune un punct deasupra numelui funcției pentru a indica o derivată în timp.

Numai derivatele în funcție de timp sau de lungimea arcului sunt reprezentate cu ajutorul acestei notații. De obicei, ea se aplică ecuațiilor diferențiale din geometria diferențială și fizică. Cu toate acestea, notația cu puncte este inaplicabilă în cazul mai multor variabile independente și al derivatelor de ordin înalt (ordinul 4 sau mai mult).

Notația lui Euler

Prima derivată Df se obține cu ajutorul operatorului diferențial D în notația lui Euler, aplicându-l unei funcții f. Dnd reprezintă a n-a derivată.

În cazul în care y = f(x) este o variabilă dependentă, variabila independentă x este frecvent clarificată prin adăugarea indicelui x la D.

Cu toate că atunci când variabila x este înțeleasă, cum ar fi atunci când aceasta este singura variabilă independentă din ecuație, acest indice este adesea omis.

Pentru exprimarea și rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare, este utilă notația lui Euler.

Aplicarea derivatelor în matematică

Derivatele sunt utilizate frecvent în matematică și pot fi folosite pentru a determina maximul sau minimul unei funcții, panta unei curbe sau chiar punctul de inflexiune.

Mai jos sunt prezentate câteva cazuri în care vom folosi derivata. Iar următoarele secțiuni intră în detaliu despre fiecare dintre ele. Aplicarea derivatelor este cel mai frecvent întâlnită în:

• Calcularea ratei de variație a unei mărimi
• Obținerea unei bune estimări a valorii
• Găsirea ecuației pentru tangenta și normala unei curbe
• Identificarea punctului de inflexiune, a maximelor și a minimelor
• Realizarea unei evaluări a funcțiilor de creștere și descreștere

O derivată este utilizată pentru a calcula punctul de inflexiune, punctul maxim și punctul minim.

Aplicarea instrumentelor derivate în viața reală

Derivatele pot fi folosite în multe situații din viața reală. Iată o listă cu câteva situații în care puteți folosi derivatele:

• Calcularea profitului și a pierderilor în cadrul afacerii.
• Pentru a măsura variația de temperatură.
• Pentru a calcula viteza de deplasare, cum ar fi mile pe oră, kilometri pe oră etc.
• Numeroase ecuații fizice sunt derivate cu ajutorul derivatelor.
• Găsirea intervalului de magnitudine a cutremurelor este o sarcină preferată în cercetarea seismologică.

Concluzie

• d2y/dx2 este a doua derivare.
• (dy/dx) ^2 este prima derivată la pătrat.
• O derivată este utilizată în diverse domenii și în mai multe scopuri în viața reală.
• O derivată este utilizată în matematică pentru a calcula punctele maxime și minime.
• Acesta poate fi utilizat în afaceri pentru a calcula finanțele afacerii și pentru a calcula profitul și pierderea.