Hosilalar faqat matematika va kundalik hayotdan tashqari, jumladan, fan, muhandislik, fizika va boshqalar kabi fanlarda ham koʻp qoʻllanadi.

Siz oldingi kurslarda turli funksiyalarning hosilalarini, jumladan trigonometrik, yashirin, logarifm va hokazolarni hisoblash qobiliyatini o'zlashtirgan bo'lishingiz kerak.

d2y/dx2 va (dydx)^2 ikkita hosiladir. tenglamalar. Ammo ularni tushunish uchun, birinchi navbatda, ikkinchi hosila nima ekanligini tushunishingiz kerak.

Hisoblashda funktsiyaning hosilasi ikkinchi hosila, ba'zan esa ikkinchi tartibli hosila deb ataladi.

Ikkinchi hosila, taxminan aytganda, miqdorning o'zgarish tezligining o'zi qanday o'zgarishini o'lchaydi. Masalan, ob'ektning vaqtga nisbatan pozitsiyasining ikkinchi hosilasi ob'ektning bir lahzali tezlashishi yoki ob'ekt tezligining vaqtga nisbatan o'zgarishi tezligidir.

Ushbu maqolada men sizga nima ekanligini aytib beraman. d2y/dx2=(dydx)^2 va hosila nimani anglatadi o'rtasidagi farq.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx hosilasi (Bular 2s indeks belgisi kabi ko'rinishi mumkin, lekin ular emas). (dydx)2 esa birinchi hosilaning kvadratidir.

Misol:

Y=3 ni oling???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Birinchi hosila: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Ikkinchi hosila:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Birinchi hosilaning kvadrati: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Ikkinchi hosila nima?

Hosilani differensiallashda siz ikkinchi hosila olasiz.Dy/dx y ning x ga nisbatan hosilasi ekanligini unutmang.Ikkinchi hosila, talaffuz qilinadi “dee two y by d x squared” d2y/dx2 sifatida ifodalanadi.

Statsionar nuqtalarning tabiatini ikkinchi hosila yordamida aniqlash osonroq bo'ladi (ular maksimal nuqtalarmi, minimal nuqtalarmi, yoki burilish nuqtalari).

Dy/dx = 0 bo'lganda, egri chiziq statsionar nuqtaga yetib boradi.. Statsionar nuqtaning turini (maksimal, minimal yoki burilish nuqtasi) ikkinchi hosila yordamida aniqlash mumkin. statsionar nuqtaning joylashuvi aniqlandi.

Maksima va minimal nuqtalar qanday aniqlanadi?

d2y/d2x ikkinchi hosiladir.

Hosila nima?

Matematikada haqiqiy o'zgaruvchining funksiyasining hosilasi miqdorni belgilaydi.funktsiya qiymatining (chiqish qiymati) uning argumentidagi o'zgarishlarga sezgirligi (kirish qiymati). Hisoblashning asosiy vositasi hosiladir.

Masalan, buyumning tezligi vaqtga nisbatan uning pozitsiyasining hosilasidir. U vaqt oʻtishi bilan obʼyektning joylashuvi qanchalik tez oʻzgarishini miqdoriy koʻrsatadi.

U sodir boʻlganda, berilgan kirish qiymatida funksiya grafigiga teginish chizigʻining qiyaligi bitta oʻzgaruvchi funksiyasining hosilasi hisoblanadi. Ushbu kirish qiymatiga eng yaqin funktsiya tangens chizig'i bilan eng yaxshi chiziqli tarzda yaqinlashadi.

Shuning uchun lotin ko'pincha "bir lahzali o'zgarish tezligi" deb ataladi, bu qaram o'zgaruvchining bir lahzali o'zgarishining mustaqil o'zgaruvchiga nisbati.

Bir nechta haqiqiy o'zgaruvchilarning funktsiyalarini kiritish uchun hosilalarni umumlashtirish mumkin. Bu umumlashma lotinni chiziqli transformatsiya sifatida qayta talqin qiladi, uning grafigi mos tarjimadan so‘ng asl funktsiya grafigiga eng yaxshi chiziqli yaqinlashuv hisoblanadi.

Mustaqil va bog'liq o'zgaruvchilarni tanlash bilan ta'minlangan poydevorga kelsak, Yakobiy matritsasi bu chiziqli transformatsiyani ifodalovchi matritsadir.

Uni mustaqil o'zgaruvchilarning qisman hosilalari yordamida hisoblash mumkin. Gradient vektori real qiymatli funksiya uchun Yakobiy matritsasini bir nechta bilan almashtiradio'zgaruvchilar.

Differentsiya - hosila joylashuvini aniqlash harakati. Antidifferentsiatsiya - bu qarama-qarshi jarayon uchun atama. Antidifferentsiatsiya va integratsiya hisobning asosiy teoremasida bog'langan. Yagona oʻzgaruvchili hisoblashning ikkita asosiy amali differensiallash va integratsiyadir.

Haqiqiy oʻzgaruvchining hosilalari va funksiyasi haqida bilish uchun ushbu videoni koʻring

Turli belgilar

Leybnits yozuvi

1675 yilda Gotfrid Vilgelm Leybnits dx, dy va dy/dx harflarini kiritdi. Bugungi kunda ham u y = f(x) tenglamadagi qaram va mustaqil o'zgaruvchilar o'rtasidagi bog'liqlik funktsional deb hisoblanganda tez-tez qo'llaniladi.

Differensiallash uchun o'zgaruvchi (maxrajda) mumkin qisman farqlash uchun muhim bo'lgan Leybnits belgisi yordamida aniqlanishi mumkin.

Lagranj belgisi

Eng mashhur zamonaviy farqlash belgilaridan biri, ba'zan asosiy belgi sifatida ham tanilgan, asosiy belgidan foydalanadi va Jozef-Lui Lagranjga tegishli. U f funktsiyaning hosilasini f1 deb bildiradi.

Oxirgi belgi umumlashtirilib, f ning n-chi hosilasi uchun f(n) yozuvini beradi, bu hosila funksiya sifatida muhokama qilinganda qulayroqdir. o'ziga xos funktsiya emas, chunki bu vaziyatda Leybnits yozuvi murakkablashishi mumkin.

Nyuton yozuvi

Nuqta - buNyutonning farqlash yozuvidagi funksiya nomining ustiga qoʻyiladi, koʻpincha “nuqta belgisi” deb nomlanadi va vaqt hosilasini bildiradi.

Faqat vaqt yoki yoy uzunligiga oid hosilalar bu belgi yordamida ifodalanadi. Odatda, u differentsial geometriya va fizikadagi differentsial tenglamalarga qo'llaniladi. Biroq nuqta belgisi bir nechta mustaqil oʻzgaruvchilar va yuqori tartibli hosilalarga (4-tartib yoki undan koʻp) qoʻllanilmaydi.

Eyler yozuvi

Df birinchi hosilasi differentsial operator yordamida olinadi. Eyler yozuvida D uni f funktsiyaga qo'llash orqali. Dnd n-chi hosilani bildiradi.

Agar y = f(x) bog'liq o'zgaruvchi bo'lsa, x mustaqil o'zgaruvchisi ko'pincha D ga x pastki belgisini qo'shish orqali aniqlanadi.

X o'zgaruvchisi tushunilsa ham , masalan, bu tenglamada mavjud bo'lgan yagona mustaqil o'zgaruvchi bo'lsa, bu pastki belgisi ko'pincha o'chiriladi.

Chiziqli differensial tenglamalarni ifodalash va yechish uchun Eyler yozuvi yordam beradi.

Hosilalarni matematikada qo'llash

Matematikada hosilalardan tez-tez foydalaniladi. Ular funksiyaning maksimal yoki minimalini, egri chiziqning qiyaligini yoki hatto burilish nuqtasini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.

Quyida hosiladan foydalanish uchun bir nechta misollar keltirilgan. Va keyingi bo'limlarda ularning har biri haqida batafsil ma'lumot berilgan. Derivativlarni qo'llasheng ko'p uchraydi:

• Miqdorning o'zgarish tezligini hisoblash
• Qiymatning yaxshi bahosini olish
• Egri chiziqning tangensi va normal tenglamasini topish
• Egilish nuqtasini, maksimal va minimasini aniqlash
• O'sish va kamayish funksiyalarini baholash

Nuqtani hisoblash uchun hosiladan foydalaniladi. burilish, maksimal va minimal nuqta

Hosilalarni real hayotda qo'llash

Hosilalarni hayotda ko'p holatlarda qo'llash mumkin. Bu yerda siz derivatsiyadan foydalanishingiz mumkin bo'lgan bir nechta holatlar ro'yxati keltirilgan:

• Biznesdagi foyda va zararni hisoblash uchun.
• Harorat o'zgarishini o'lchash uchun.
• Yo'l tezligini hisoblash uchun, masalan, soatiga mil, soatiga kilometr va hokazo.
• Ko'p sonli fizika tenglamalari lotinlar yordamida chiqariladi.
• Zilzila magnitudasi diapazonini topish seysmologiya tadqiqotida sevimli vazifa hisoblanadi.

Xulosa

• d2y/dx2 ikkinchi hosiladir.
• (dy/dx) ^2 - birinchi hosilaning kvadrati.
• Hosila real hayotda turli sohalarda bir nechta maqsadlarda qo'llaniladi.
• Hosila maksimal va minimal ballarni hisoblash uchun matematika.
• U biznesda biznesning moliyasini hisoblash va foyda va zararni hisoblash uchun ishlatilishi mumkin.