Үүүсмэлүүд нь зөвхөн математик болон өдөр тутмын амьдралаас гадна шинжлэх ухаан, инженерчлэл, физик болон бусад хичээлүүдэд олон төрлийн хэрэглээтэй.

Та өмнөх хичээлүүдэд тригонометр, далд, логарифм гэх мэт янз бүрийн функцийн деривативыг тооцоолох чадварыг эзэмшсэн байх ёстой.

d2y/dx2 ба (dydx)^2 нь хоёр дериватив юм. тэгшитгэл. Гэхдээ тэдгээрийг ойлгохын тулд эхлээд хоёр дахь дериватив гэж юу болохыг ойлгох хэрэгтэй.

Тооцоолол дахь функцийн деривативыг хоёр дахь дериватив, заримдаа хоёрдугаар эрэмбийн дериватив гэж нэрлэдэг.

Хоёр дахь дериватив нь ойролцоогоор хэлбэл, хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурд өөрөө хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг хэмждэг. Жишээлбэл, объектын цаг хугацааны талаархи хоёр дахь дериватив нь тухайн объектын агшин зуурын хурдатгал эсвэл тухайн объектын хурд цаг хугацааны хувьд өөрчлөгдөх хурд юм.

Энэ өгүүллээр би юу болохыг хэлэх болно. Энэ нь d2y/dx2=(dydx)^2 ба дериватив гэдэг нь яг юу гэсэн үгийн ялгаа юм.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx-ийн дериватив (Эдгээр нь 2 нь индексийн тэмдэглэгээ шиг харагдаж магадгүй, гэхдээ тийм биш). (dydx)2 бол эхний деривативын квадрат юм.

Жишээ нь:

Y=3 -г ав???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Эхний дериватив: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Хоёр дахь дериватив:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Эхний деривативын квадрат: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Хоёрдахь дериватив гэж юу вэ?

Үүсмэлийг ялгахад хоёрдахь дериватив гарч ирнэ. dy/dx нь x-тэй холбоотой у-ийн дериватив гэдгийг санаарай.Хоёр дахь дериватив нь тод илэрхийлэгддэг. “dee two y by d x squared” нь d2y/dx2 хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн мөн чанарыг хоёрдахь дериватив ашиглан илүү хялбар тодорхойлж болно (тэдгээр нь хамгийн их оноо, хамгийн бага оноо, эсвэл гулзайлтын цэгүүд).

dy/dx = 0 үед муруй хөдөлгөөнгүй цэгт хүрнэ.Хөдөлгөөнгүй цэгийн төрлийг (хамгийн их, минимум эсвэл гулзайлтын цэг) хоёр дахь дериватив ашиглан тодорхойлж болно. суурин цэгийн байрлал тогтоогдсон.

Максим ба минимум цэгүүдийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

d2y/d2x хоёр дахь дериватив.

Дериватив гэж юу вэ?

Математикийн бодит хувьсагчийн функцийн дериватив ньфункцийн утгын (гаралтын утга) түүний аргумент дахь өөрчлөлтөд (оролтын утга) мэдрэг байдал. Тооцооллын үндсэн хэрэгсэл бол дериватив юм.

Жишээ нь, тухайн зүйлийн хурд нь цаг хугацааны хувьд түүний байрлалын дериватив юм. Энэ нь тухайн объектын байрлал цаг хугацаа өнгөрөхөд хэр хурдан өөрчлөгддөгийг тоон үзүүлэлтээр илэрхийлдэг.

Энэ нь тохиолдох үед тухайн оролтын утга дахь функцын графиктай шүргэгч шугамын налуу нь нэг хувьсагчийн функцийн дериватив юм. Энэ оролтын утгад хамгийн ойр байгаа функцийг шүргэгч шугамаар шугаман байдлаар хамгийн сайн ойртуулна.

Ийм учраас деривативыг ихэвчлэн "өөрчлөлтийн агшин зуурын хурд" гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь хамааралтай хувьсагчийн агшин зуурын өөрчлөлтийг бие даасан хувьсагчийнхтай харьцуулсан харьцаа юм.

Хэд хэдэн бодит хувьсагчийн функцүүдийг оруулахын тулд деривативуудыг ерөнхийд нь авч үзэж болно. Энэхүү ерөнхийлөлт нь үүсмэл хэлбэрийг шугаман хувиргалт гэж дахин тайлбарлаж, график нь тохиромжтой орчуулгын дараа анхны функцийн графиктай хамгийн сайн шугаман ойролцоо байна.

Бие даасан болон хамааралтай хувьсагчдыг сонгох үндсэн суурь бол Якобын матриц нь энэхүү шугаман хувиргалтыг илэрхийлэх матриц юм.

Үүнийг бие даасан хувьсагчдын хэсэгчилсэн дериватив ашиглан тооцоолж болно. Градиент вектор нь бодит утгатай функцийн хувьд Якобын матрицыг хэд хэдэн функцээр орлуулдагхувьсагч.

Ялгаварлах нь деривативын байршлыг тогтоох үйлдэл юм. Antidifferentiation гэдэг нь эсрэг үйл явцын нэр томъёо юм. Эсрэг дифференциал ба интеграл нь тооцооллын үндсэн теоремд хамааралтай. Нэг хувьсагчийн тооцооллын үндсэн хоёр үйлдэл нь дифференциал ба интеграл юм.

Бодит хувьсагчийн дериватив ба функцын талаар мэдэхийн тулд энэ видеог үзээрэй

Янз бүрийн тэмдэглэгээ

Лейбницийн тэмдэглэгээ

1675 онд Готфрид Вильгельм Лейбниц dx, dy, dy/dx үсгийг нэвтрүүлсэн. Өнөөдөр ч гэсэн y = f(x) тэгшитгэлийн хамаарал ба бие даасан хувьсагчдын хоорондын хамаарлыг функциональ гэж үзэх үед үүнийг байнга ашигладаг.

Ялгарах хувьсагч (хүлээгч дэх) боломжтой. Хэсэгчилсэн ялгахад чухал ач холбогдолтой Лейбницийн тэмдэглэгээг ашиглан тодорхойл.

Лагранжийн тэмдэглэгээ

Орчин үеийн хамгийн алдартай ялгах тэмдэглэгээнүүдийн нэг нь заримдаа анхны тэмдэглэгээ гэж нэрлэгддэг бөгөөд анхны тэмдэг болон Жозеф-Луи Лагранжийн нэр хүндтэй. Энэ нь f функцийн деривативыг f1 гэж тэмдэглэнэ.

Сүүлийн тэмдэглэгээ нь f-ийн n-р деривативын f(n) тэмдэглэгээг өгөхийн тулд ерөнхийлсөн бөгөөд энэ нь деривативыг функцээр авч үзэхэд илүү тохиромжтой. Энэ нөхцөлд Лейбницийн тэмдэглэгээ нь төвөгтэй байж болох тул өөрөө функц гэхээсээ илүүтэй.

Ньютоны тэмдэглэгээ

Цэг ньЦаг хугацааны деривативыг илэрхийлэхийн тулд ихэвчлэн "цэгний тэмдэглэгээ" гэж нэрлэгддэг Ньютоны ялгах тэмдэглэгээнд функцийн нэрийн дээр байрлуулсан.

Энэ тэмдэглэгээг ашиглан зөвхөн цаг эсвэл нумын урттай холбоотой деривативуудыг төлөөлдөг. Энэ нь ихэвчлэн дифференциал геометр, физикийн дифференциал тэгшитгэлд хэрэглэгддэг. Гэсэн хэдий ч цэгийн тэмдэглэгээ нь хэд хэдэн бие даасан хувьсагч болон өндөр эрэмбийн деривативт (4 ба түүнээс дээш дараалалд) хамаарахгүй.

Эйлерийн тэмдэглэгээ

Эхний үүсмэл Df-ийг дифференциал оператор ашиглан олж авна. D функцийг f функцэд хэрэглэх замаар Эйлерийн тэмдэглэгээнд. Dnd нь n-р деривативыг илэрхийлдэг.

Хэрэв y = f(x) нь хамааралтай хувьсагч бол D-д x гэсэн дэд тэмдгийг нэмж х бие даасан хувьсагчийг байнга тодруулдаг.

Хэдийгээр x хувьсагчийг ойлгох үед , жишээ нь энэ нь тэгшитгэлд агуулагдах цорын ганц бие даасан хувьсагч байх үед энэ дэд тэмдэг ихэвчлэн орхигддог.

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийг илэрхийлэх, шийдвэрлэхэд Эйлерийн тэмдэглэгээ тустай.

Деривативын математикийн хэрэглээ

Математикт деривативыг ихэвчлэн ашигладаг. Тэдгээрийг функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага хэмжээ, муруйн налуу, бүр гулзайлтын цэгийг тодорхойлоход ашиглаж болно.

Доор бид деривативыг ашиглах цөөн хэдэн тохиолдлыг доор харуулав. Дараах хэсгүүдэд тус бүрийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Деривативын хэрэглээхамгийн их олддог:

• Хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурдыг тооцоолох
• Утгыг сайн тооцоолох
• Муруйн тангенс ба хэвийн тэгшитгэлийг олох
• Хувцах цэг, максимум, минимумыг тодорхойлох
• Өсөх, буурах функцүүдийн үнэлгээ хийх

Цэгийг тооцоолоход дериватив ашигладаг. гулзайлт, хамгийн их ба хамгийн бага цэг

Деривативын бодит амьдрал дахь хэрэглээ

Үсмэл хэлбэрийг бодит амьдрал дээр олон нөхцөл байдалд ашиглаж болно. Эндээс гарал үүслийг ашиглаж болох цөөн хэдэн нөхцөл байдлын жагсаалт байна:

• Бизнесийн ашиг, алдагдлыг тооцоолох.
• Температурын өөрчлөлтийг хэмжих зорилгоор.
• Цагт миль, км/цаг гэх мэт аяллын хурдыг тооцоолохын тулд
• Үйлдвэрлэл ашиглан олон тооны физикийн тэгшитгэлүүдийг гаргаж авдаг.
• Газар хөдлөлтийн магнитудын мужийг олох нь сейсмологийн судалгааны хамгийн дуртай ажил юм.

Дүгнэлт

• d2y/dx2 нь хоёр дахь гарал үүсэл юм.
• (dy/dx) ^2 нь эхний деривативын квадрат.
• Үүсмэл хэлбэрийг бодит амьдрал дээр хэд хэдэн зорилгоор янз бүрийн салбарт ашигладаг.
• Үүсмэл хэлбэрийг хамгийн их ба доод оноог тооцоолох математик.
• Аж ахуйн нэгжийн санхүүг тооцоолох, ашиг алдагдлыг тооцоолоход ашиглаж болно.