อนุพันธ์มีประโยชน์มากมายนอกเหนือจากคณิตศาสตร์และชีวิตประจำวันเท่านั้น รวมถึงในวิชาต่างๆ เช่น วิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ ฟิสิกส์ และอื่นๆ

คุณต้องมีความชำนาญในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ ในหลักสูตรก่อนหน้านี้ รวมถึงตรีโกณมิติ ปริยาย ลอการิทึม ฯลฯ

d2y/dx2 และ (dydx)^2 เป็นอนุพันธ์สองตัว สมการ แต่เพื่อทำความเข้าใจ ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าอนุพันธ์อันดับสองคืออะไร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัสเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสอง บางครั้งเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสอง

อนุพันธ์อันดับสอง หรือประมาณว่าวัดว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไร ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเมื่อเทียบกับเวลาคือความเร่งชั่วขณะของวัตถุหรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงตามเวลา

ในบทความนี้ ฉันจะบอกคุณว่า คือความแตกต่างระหว่าง d2y/dx2=(dydx)^2 และอนุพันธ์หมายความว่าอย่างไร

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

อนุพันธ์ของ dy/dx (เหล่านี้ 2s อาจดูเหมือนสัญลักษณ์ดัชนี แต่ไม่ใช่) ในทางกลับกัน (dydx)2 คือกำลังสองของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ตัวอย่าง:

หา Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

อนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

อนุพันธ์อันดับสอง:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

กำลังสองของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

อนุพันธ์อันดับสองคืออะไร

เมื่อคุณแยกความแตกต่างของอนุพันธ์ คุณจะได้อนุพันธ์อันดับสอง จำไว้ว่า dy/dx คืออนุพันธ์ของ y เทียบกับ x อนุพันธ์อันดับสอง อ่านว่า “ดี 2 y คูณ d x กำลังสอง” แสดงเป็น d2y/dx2

สามารถระบุลักษณะของจุดที่อยู่นิ่งได้ง่ายกว่าโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง (ไม่ว่าจะเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดเบี่ยงเบน)

เมื่อ dy/dx = 0 เส้นโค้งจะถึงจุดหยุดนิ่ง ประเภทของจุดหยุดนิ่ง (สูงสุด ต่ำสุด หรือจุดเบี่ยงเบน) สามารถกำหนดได้โดยใช้อนุพันธ์อันดับสองเมื่อ กำหนดตำแหน่งของจุดหยุดนิ่งแล้ว

จะระบุจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดได้อย่างไร

d2y/d2x เป็นอนุพันธ์อันดับสอง

อนุพันธ์คืออะไร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงในวิชาคณิตศาสตร์หาปริมาณความไวของค่าฟังก์ชัน (ค่าเอาต์พุต) ต่อการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ (ค่าอินพุต) เครื่องมือหลักของแคลคูลัสคืออนุพันธ์

ตัวอย่างเช่น ความเร็วของสิ่งของเป็นอนุพันธ์ของตำแหน่งตามเวลา โดยจะวัดความเร็วของตำแหน่งของวัตถุที่แปรผันตามเวลาที่ผ่านไป

เมื่อเกิดขึ้น ความชันของเส้นสัมผัสไปยังกราฟของฟังก์ชันที่ค่าอินพุตที่กำหนดจะเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรเดียว ฟังก์ชันที่ใกล้เคียงที่สุดกับค่าที่ป้อนนั้นดีที่สุดในการประมาณเชิงเส้นด้วยเส้นสัมผัส

ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักถูกเรียกว่า "อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที" ซึ่งเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงทันทีในตัวแปรตามต่ออัตราการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระ

ในการรวมฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัว อนุพันธ์สามารถสรุปได้ ลักษณะทั่วไปนี้ตีความอนุพันธ์ใหม่ว่าเป็นการแปลงเชิงเส้น ซึ่งหลังจากการแปลที่เหมาะสมแล้ว กราฟจะเป็นค่าประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุดกับกราฟของฟังก์ชันดั้งเดิม

เกี่ยวกับรากฐานที่มาจากการเลือกตัวแปรอิสระและตัวแปรตาม เมทริกซ์จาโคเบียนเป็นเมทริกซ์ที่แสดงถึงการแปลงเชิงเส้นนี้

สามารถคำนวณได้โดยใช้อนุพันธ์ย่อยของตัวแปรอิสระ เวกเตอร์การไล่ระดับสีแทนที่เมทริกซ์จาโคเบียนสำหรับฟังก์ชันที่มีค่าจริงด้วยหลายค่าตัวแปร

ความแตกต่างคือการกระทำของการหาอนุพันธ์ การต่อต้านความแตกต่างเป็นคำที่ใช้เรียกกระบวนการที่ตรงกันข้าม การต่อต้านความแตกต่างและการบูรณาการมีความสัมพันธ์กันในทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส การดำเนินการพื้นฐานสองอย่างของแคลคูลัสตัวแปรเดียวคือดิฟเฟอเรนติเอชันและการอินทิเกรต

ดูวิดีโอนี้เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และฟังก์ชันของตัวแปรจริง

สัญกรณ์ต่าง ๆ

สัญกรณ์ไลบ์นิซ

ในปี 1675 Gottfried Wilhelm Leibniz แนะนำตัวอักษร dx, dy และ dy/dx แม้กระทั่งทุกวันนี้ มีการใช้บ่อยครั้งเมื่อความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรตามและตัวแปรอิสระในสมการ y = f(x) ถูกพิจารณาว่าใช้งานได้

ตัวแปรสำหรับการแยกความแตกต่าง (ในตัวส่วน) สามารถ ระบุโดยใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซ ซึ่งมีความสำคัญต่อการแยกย่อยบางส่วน

สัญกรณ์ลากรองจ์

หนึ่งในสัญกรณ์หาอนุพันธ์สมัยใหม่ที่ได้รับความนิยมมากที่สุด บางครั้งเรียกว่าสัญกรณ์เฉพาะ ใช้เครื่องหมายเฉพาะและ ให้เครดิตกับ Joseph-Louis Lagrange มันหมายถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เป็น f1

สัญกรณ์หลังทำให้เป็นสัญกรณ์ f(n) สำหรับอนุพันธ์อันดับ n ของ f ซึ่งจะสะดวกกว่าเมื่อพูดถึงอนุพันธ์ในรูปของฟังก์ชัน แทนที่จะเป็นหน้าที่ของตัวมันเอง เพราะสัญกรณ์ Leibniz อาจมีความซับซ้อนในสถานการณ์นี้

สัญกรณ์ของนิวตัน

จุดคือวางไว้เหนือชื่อฟังก์ชันในสัญกรณ์หาอนุพันธ์ของนิวตัน ซึ่งมักเรียกว่า "สัญกรณ์จุด" เพื่อระบุอนุพันธ์ของเวลา

เฉพาะอนุพันธ์ที่เกี่ยวกับเวลาหรือความยาวส่วนโค้งเท่านั้นที่ใช้สัญกรณ์นี้แทน โดยปกติจะใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์จุดไม่สามารถใช้กับตัวแปรอิสระหลายตัวและอนุพันธ์อันดับสูง (ลำดับที่ 4 หรือมากกว่า)

สัญกรณ์ออยเลอร์

Df อนุพันธ์ตัวแรกได้มาจากการใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ D ในสัญกรณ์ของออยเลอร์โดยนำไปใช้กับฟังก์ชัน f Dnd ย่อมาจากอนุพันธ์ลำดับที่ n

หาก y = f(x) เป็นตัวแปรตาม ตัวแปรอิสระ x มักจะทำให้ชัดเจนโดยการเพิ่มตัวห้อย x ต่อท้าย D

แม้ว่าเมื่อเข้าใจตัวแปร x แล้ว เช่น เมื่อตัวแปรนี้เป็นตัวแปรอิสระตัวเดียวที่อยู่ในสมการ ตัวห้อยนี้มักจะถูกละทิ้ง

สำหรับการแสดงและการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์

การประยุกต์อนุพันธ์ในคณิตศาสตร์

อนุพันธ์มักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ สามารถใช้กำหนดค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ความชันของเส้นโค้ง หรือแม้แต่จุดเปลี่ยนทิศทาง

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนที่เราจะใช้อนุพันธ์ และส่วนต่อไปนี้มีรายละเอียดที่ดีเกี่ยวกับแต่ละส่วน การประยุกต์ใช้อนุพันธ์พบบ่อยที่สุดใน:

• การคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ
• การประมาณค่าที่ดี
• การหาสมการสำหรับเส้นสัมผัสของเส้นโค้งและเส้นปกติ
• ระบุจุดที่ผันผวน ค่าสูงสุด และค่าต่ำสุด
• ทำการประเมินฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นและลดลง

อนุพันธ์ใช้ในการคำนวณจุด ของการเบี่ยงเบน จุดสูงสุด และจุดต่ำสุด

การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในชีวิตจริง

อนุพันธ์สามารถใช้ได้ในหลาย ๆ สถานการณ์ในชีวิตจริง ต่อไปนี้คือรายการของบางสถานการณ์ที่คุณสามารถใช้รากศัพท์ได้:

• เพื่อคำนวณกำไรและขาดทุนในธุรกิจ
• เพื่อวัดความผันแปรของอุณหภูมิ
• เพื่อคำนวณอัตราการเดินทาง เช่น ไมล์ต่อชั่วโมง กิโลเมตรต่อชั่วโมง เป็นต้น
• สมการทางฟิสิกส์จำนวนมากได้มาจากอนุพันธ์
• การค้นหาช่วงขนาดของแผ่นดินไหวเป็นงานที่ชื่นชอบในการวิจัยแผ่นดินไหววิทยา

บทสรุป

• d2y/dx2 คือรากศัพท์ที่สอง
• (dy/dx) ^2 เป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งกำลังสอง
• มีการใช้อนุพันธ์ในฟิลด์ต่างๆ เพื่อวัตถุประสงค์หลายอย่างในชีวิตจริง
• อนุพันธ์ใช้ใน คณิตศาสตร์เพื่อคำนวณคะแนนสูงสุดและต่ำสุด
• สามารถใช้ในธุรกิจเพื่อคำนวณการเงินของธุรกิจและคำนวณกำไรขาดทุน