Derivatet kanë shumë përdorime vetëm jashtë matematikës dhe jetës së përditshme, duke përfshirë lëndët si shkenca, inxhinieria, fizika dhe të tjera.

Ju duhet të keni zotëruar aftësinë për të llogaritur derivatin e funksioneve të ndryshme në kurset e mëparshme, duke përfshirë trigonometrik, implicit, logaritëm, etj.

d2y/dx2 dhe (dydx)^2 janë dy derivate ekuacionet. Por për t'i kuptuar ato, së pari, duhet të kuptoni se çfarë saktësisht është derivati ​​i dytë.

Derivati ​​i një funksioni në llogaritje njihet si derivati ​​i dytë, ndonjëherë i njohur si derivati ​​i rendit të dytë.

Derivati ​​i dytë, përafërsisht, mat se si po ndryshon vetë shpejtësia e ndryshimit të një sasie. Për shembull, derivati ​​i dytë i pozicionit të një objekti në lidhje me kohën është nxitimi i menjëhershëm i objektit ose shpejtësia me të cilën shpejtësia e objektit po ndryshon në lidhje me kohën.

Në këtë artikull, unë do t'ju tregoj se çfarë është ndryshimi midis d2y/dx2=(dydx)^2 dhe çfarë saktësisht do të thotë derivati.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivati ​​i dy/dx (Këto 2-të mund të duken si shënim indeksi, por nuk janë). (dydx)2, nga ana tjetër, është katrori i derivatit të parë.

Shembull:

Merr Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Derivati ​​i parë: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Derivati ​​i dytë:d2yd??2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Katrori i derivatit të parë: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ?? 4+216 ???? 3+144

Çfarë është derivati ​​i dytë?

Kur diferenconi derivatin, merrni derivatin e dytë. Mos harroni se dy/dx është derivati ​​i y në lidhje me x. Derivati ​​i dytë, i theksuar "dee dy y nga d x në katror," përfaqësohet si d2y/dx2.

Natyra e pikave të palëvizshme mund të konstatohet më lehtë duke përdorur derivatin e dytë (nëse janë pika maksimale, pika minimale, ose pikat e lakimit).

Kur dy/dx = 0, një kurbë arrin një pikë të palëvizshme. Lloji i pikës së palëvizshme (maksimumi, minimumi ose pika e lakimit) mund të përcaktohet duke përdorur derivatin e dytë pasi vendndodhja e pikës së palëvizshme është vendosur.

Si identifikohen pikat maksimale dhe minimale?

d2y/d2x është derivati ​​i dytë.

Çfarë është derivati?

Derivati ​​i një funksioni të një ndryshoreje reale në matematikë përcakton sasinë endjeshmëria e vlerës së funksionit (vlera dalëse) ndaj ndryshimeve në argumentin e tij (vlera hyrëse). Mjeti kryesor i llogaritjes është derivati.

Shpejtësia e një artikulli, për shembull, është derivati ​​i pozicionit të tij në lidhje me kohën. Ai përcakton se sa shpejt ndryshon pozicioni i objektit me kalimin e kohës.

Kur ndodh, pjerrësia e vijës tangjente në grafikun e funksionit në një vlerë hyrëse të dhënë është derivati ​​i një funksioni të një ndryshoreje të vetme. Funksioni më i afërt me atë vlerë hyrëse përafrohet më së miri në mënyrë lineare nga vija tangjente.

Për shkak të kësaj, derivati ​​përmendet shpesh si "shkalla e menjëhershme e ndryshimit", që është raporti i ndryshimit të menjëhershëm në variablin e varur me atë në variablin e pavarur.

Për të përfshirë funksionet e disa ndryshoreve reale, derivatet mund të përgjithësohen. Ky përgjithësim e riinterpreton derivatin si një transformim linear, grafiku i të cilit, pas një përkthimi të përshtatshëm, është përafrimi më i mirë linear me grafikun e funksionit origjinal.

Për sa i përket bazës së siguruar nga përzgjedhja e variablave të pavarur dhe të varur, matrica jakobiane është matrica që përfaqëson këtë transformim linear.

Mund të llogaritet duke përdorur derivatet e pjesshme të variablave të pavarur. Vektori i gradientit zëvendëson matricën Jacobian për një funksion me vlerë reale me disavariablat.

Diferencimi është veprimi i lokalizimit të një derivati. Antidiferencimi është termi për procesin e kundërt. Antidiferencimi dhe integrimi janë të lidhura në teoremën themelore të llogaritjes. Dy operacionet themelore të llogaritjes me një ndryshore janë diferencimi dhe integrimi.

Shiko këtë video për të ditur rreth derivateve dhe funksionit të një ndryshoreje reale

Shënime të ndryshme

Shënimi i Leibniz

Në 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz prezantoi shkronjat dx, dy dhe dy/dx. Edhe sot, përdoret shpesh kur marrëdhënia ndërmjet variablave të varur dhe të pavarur në ekuacionin y = f(x) konsiderohet të jetë funksionale.

Ndryshorja për diferencim (në emërues) mund të të specifikohet duke përdorur shënimin e Leibniz-it, i cili është i rëndësishëm për diferencimin e pjesshëm.

Shënimi i Lagranzhit

Një nga shënimet më të njohura moderne të diferencimit, i njohur ndonjëherë si shënimi kryesor, përdor shenjën kryesore dhe i atribuohet Joseph-Louis Lagrange. Ai tregon derivatin e një funksioni f si f1.

Shënimi i fundit përgjithësohet për të dhënë shënimin f(n) për derivatin e n-të të f, i cili është më i përshtatshëm kur diskutohet derivati ​​si funksion. në vend se një funksion i vetvetes, sepse shënimi i Leibniz-it mund të jetë i ndërlikuar në këtë situatë.

Shënimi i Njutonit

Një pikë ështëvendoset mbi emrin e funksionit në shënimin e diferencimit të Njutonit, i njohur shpesh si "shënimi i pikës", për të nënkuptuar një derivat kohor.

Vetëm derivatet në lidhje me kohën ose gjatësinë e harkut përfaqësohen duke përdorur këtë shënim. Zakonisht, ai zbatohet për ekuacionet diferenciale në gjeometrinë diferenciale dhe fizikën. Megjithatë, shënimi me pikë është i pazbatueshëm për disa ndryshore të pavarura dhe derivate të rendit të lartë (rendi 4 ose më shumë).

Shënimi i Euler-it

Derivati ​​i parë Df merret duke përdorur operatorin diferencial D në shënimin e Euler-it duke e zbatuar atë në një funksion f. Dnd qëndron për derivatin e n-të.

Nëse y = f(x) është një ndryshore e varur, ndryshorja e pavarur x shpesh sqarohet duke shtuar nënshkrimin x në D.

Megjithëse kur ndryshorja x kuptohet , si p.sh. kur kjo është ndryshorja e vetme e pavarur e përfshirë në ekuacion, ky nënshkrim shpesh lihet jashtë.

Për shprehjen dhe zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale lineare, shënimi i Euler-it është i dobishëm.

Zbatimi i derivateve në matematikë

Derivatet përdoren shpesh në matematikë. Ato mund të përdoren për të përcaktuar maksimumin ose minimumin e një funksioni, pjerrësinë e një lakore apo edhe pikën e përkuljes.

Më poshtë janë disa raste ku do të përdorim derivatin. Dhe seksionet e mëposhtme shkojnë në detaje të mëdha për secilën prej tyre. Zbatimi i derivatevegjendet më shpesh në:

• Llogaritja e shkallës së ndryshimit të një sasie
• Marrja e një vlerësimi të mirë të vlerës
• Gjetja e ekuacionit për tangjenten dhe normalen e një kurbe
• Identifikimi i pikës së lakimit, maksimumit dhe minimumit
• Bërja e një vlerësimi të funksioneve rritëse dhe zvogëluese

Për llogaritjen e pikës përdoret një derivat e lakimit, pikës maksimale dhe minimale

Zbatimi i derivateve në jetën reale

Derivatet mund të përdoren në shumë situata në jetën reale. Këtu është një listë me disa situata në të cilat mund të përdorni derivimin:

• Për të llogaritur fitimin dhe humbjen në biznes.
• Për të matur ndryshimin e temperaturës.
• Për të llogaritur shpejtësinë e udhëtimit, si milje në orë, kilometra në orë, etj.
• Ekuacione të shumta të fizikës janë nxjerrë duke përdorur derivate.
• Gjetja e diapazonit të magnitudës së tërmetit është një detyrë e preferuar në kërkimin sizmologjik.

Përfundimi

• d2y/dx2 është derivimi i dytë.
• (dy/dx) ^2 është derivati ​​i parë në katror.
• Një derivat përdoret në fusha të ndryshme për disa qëllime në jetën reale.
• Një derivat përdoret në matematika për të llogaritur pikët maksimale dhe minimale.
• Mund të përdoret në biznes për të llogaritur financat e biznesit dhe për të llogaritur fitimin dhe humbjen.