წარმოებულებს ბევრი გამოყენება აქვთ მხოლოდ მათემატიკისა და ყოველდღიური ცხოვრების მიღმა, მათ შორის ისეთ საგნებში, როგორიცაა მეცნიერება, ინჟინერია, ფიზიკა და სხვა.

თქვენ უნდა გქონდეთ ადრინდელ კურსებში სხვადასხვა ფუნქციების წარმოებულის გამოთვლის უნარი, მათ შორის ტრიგონომეტრიული, იმპლიციტური, ლოგარითმი და ა.შ.

d2y/dx2 და (dydx)^2 არის ორი წარმოებული. განტოლებები. მაგრამ მათი გასაგებად, ჯერ უნდა გესმოდეთ, რა არის მეორე წარმოებული.

გამოთვლისას ფუნქციის წარმოებული ცნობილია როგორც მეორე წარმოებული, ზოგჯერ ცნობილია როგორც მეორე რიგის წარმოებული.

მეორე წარმოებული, უხეშად რომ ვთქვათ, ზომავს, თუ როგორ იცვლება სიდიდის ცვლილების სიჩქარე თავად. მაგალითად, ობიექტის პოზიციის მეორე წარმოებული დროის მიმართ არის ობიექტის მყისიერი აჩქარება ან სიჩქარე, რომლითაც ობიექტის სიჩქარე იცვლება დროის მიმართ.

ამ სტატიაში მე გეტყვით რა არის განსხვავება d2y/dx2=(dydx)^2 და რას ნიშნავს ზუსტად წარმოებული.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx-ის წარმოებული (ესენი 2s შეიძლება გამოიყურებოდეს ინდექსის აღნიშვნას, მაგრამ ეს ასე არ არის). (dydx)2, მეორე მხრივ, არის პირველი წარმოებულის კვადრატი.

მაგალითი:

აიღეთ Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

პირველი წარმოებული: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

მეორე წარმოებული:d2yd??2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

პირველი წარმოებულის კვადრატი: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ?? 4+216 ???? 3+144

რა არის მეორე წარმოებული?

როდესაც თქვენ განასხვავებთ წარმოებულს, მიიღებთ მეორე წარმოებულს. გახსოვდეთ, რომ dy/dx არის y-ის წარმოებული x-ის მიმართ. მეორე წარმოებული, გამოითქმის "dee ორი y d x კვადრატში," წარმოდგენილია როგორც d2y/dx2.

სტაციონარული წერტილების ბუნება უფრო მარტივად შეიძლება დადგინდეს მეორე წარმოებულის გამოყენებით (იქნება თუ არა ისინი მაქსიმალური ქულები, მინიმალური რაოდენობა, ან გადახრის წერტილები).

როდესაც dy/dx = 0, მრუდი აღწევს სტაციონარულ წერტილს. სტაციონარული წერტილის ტიპი (მაქსიმალური, მინიმალური ან შებრუნების წერტილი) შეიძლება განისაზღვროს მეორე წარმოებულის გამოყენებით ერთხელ დადგენილია სტაციონარული წერტილის მდებარეობა.

როგორ განვსაზღვროთ მაქსიმალური და მინიმალური წერტილები?

d2y/d2x არის მეორე წარმოებული.

რა არის წარმოებული?

რეალური ცვლადის ფუნქციის წარმოებული მათემატიკაში რაოდენობრივად განსაზღვრავსფუნქციის მნიშვნელობის მგრძნობელობა (გამომავალი მნიშვნელობა) მისი არგუმენტის (შეყვანის მნიშვნელობა) ცვლილებების მიმართ. Calculus-ის ძირითადი ინსტრუმენტი არის წარმოებული.

მაგალითად, ნივთის სიჩქარე არის მისი პოზიციის წარმოებული დროის მიმართ. ის რაოდენობრივად ადგენს, რამდენად სწრაფად იცვლება ობიექტის მდებარეობა დროის გასვლისას.

როდესაც ის ხდება, ტანგენსტური ხაზის დახრილობა ფუნქციის გრაფიკზე მოცემულ შეყვანის მნიშვნელობაზე არის ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული. ამ შეყვანის მნიშვნელობასთან ყველაზე ახლოს ფუნქცია საუკეთესოდ არის მიახლოებული წრფივად ტანგენტის ხაზით.

ამის გამო, წარმოებულს ხშირად მოიხსენიებენ, როგორც "ცვლილების მყისიერ სიჩქარეს", რომელიც არის დამოკიდებული ცვლადის მყისიერი ცვლილების თანაფარდობა დამოუკიდებელ ცვლადთან.

რამდენიმე რეალური ცვლადის ფუნქციების ჩასართავად, წარმოებულები შეიძლება განზოგადდეს. ეს განზოგადება განაახლებს წარმოებულს, როგორც წრფივ ტრანსფორმაციას, რომლის გრაფიკი, შესაფერისი თარგმანის შემდეგ, არის საუკეთესო წრფივი მიახლოება ორიგინალური ფუნქციის გრაფიკთან.

დამოუკიდებელ და დამოკიდებული ცვლადების შერჩევით მოწოდებულ საფუძველს რაც შეეხება, იაკობის მატრიცა არის მატრიცა, რომელიც წარმოადგენს ამ წრფივ ტრანსფორმაციას.

ეს შეიძლება გამოითვალოს დამოუკიდებელი ცვლადების ნაწილობრივი წარმოებულების გამოყენებით. გრადიენტის ვექტორი ცვლის იაკობის მატრიცას რეალური ღირებულების ფუნქციისთვის რამდენიმეცვლადები.

დიფერენციაცია არის წარმოებულის მდებარეობის მოქმედება. ანტიდიფერენციაცია არის საპირისპირო პროცესის ტერმინი. ანტიდიფერენციაცია და ინტეგრაცია დაკავშირებულია გაანგარიშების ფუნდამენტურ თეორემაში. ერთცვლადიანი გამოთვლის ორი ფუნდამენტური ოპერაციაა დიფერენციაცია და ინტეგრაცია.

უყურეთ ამ ვიდეოს, რათა იცოდეთ რეალური ცვლადის წარმოებულები და ფუნქციები

განსხვავებული აღნიშვნები

ლაიბნიცის აღნიშვნა

1675 წელს გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცმა შემოიღო ასოები dx, dy და dy/dx. დღესაც კი ხშირად გამოიყენება, როდესაც y = f(x) განტოლებაში დამოკიდებულ და დამოუკიდებელ ცვლადებს შორის კავშირი ფუნქციურად ითვლება.

დიფერენციაციის ცვლადი (მნიშვნელში) შეიძლება დაზუსტდეს ლაიბნიცის აღნიშვნით, რომელიც მნიშვნელოვანია ნაწილობრივი დიფერენციაციისთვის.

ლაგრანჟის აღნიშვნა

ერთ-ერთი ყველაზე პოპულარული თანამედროვე დიფერენციაციის აღნიშვნა, რომელიც ზოგჯერ ცნობილია როგორც ძირითადი აღნიშვნა, იყენებს პირველ ნიშანს და მიეწერება ჯოზეფ-ლუი ლაგრანჟს. იგი აღნიშნავს f ფუნქციის წარმოებულს, როგორც f1.

ეს უკანასკნელი აღნიშვნა განზოგადებულია, რათა უზრუნველყოს f(n) აღნიშვნა f-ის n-ე წარმოებულისთვის, რაც უფრო მოსახერხებელია წარმოებულის ფუნქციად განხილვისას. ვიდრე ფუნქცია თავისთავად, რადგან ამ სიტუაციაში ლაიბნიცის აღნიშვნა შეიძლება გართულდეს.

ნიუტონის აღნიშვნა

წერტილი არისმოთავსებულია ნიუტონის დიფერენციაციის აღნიშვნით ფუნქციის სახელზე, რომელიც ხშირად ცნობილია როგორც „წერტილი,“ დროის წარმოებულის აღსანიშნავად.

ამ აღნიშვნის გამოყენებით წარმოდგენილია მხოლოდ წარმოებულები დროის ან რკალის სიგრძესთან დაკავშირებით. ჩვეულებრივ, ის გამოიყენება დიფერენციალურ განტოლებებზე დიფერენციალურ გეომეტრიასა და ფიზიკაში. თუმცა, წერტილის აღნიშვნა არ გამოიყენება რამდენიმე დამოუკიდებელ ცვლადზე და მაღალი რიგის წარმოებულებზე (4 ან მეტი რიგი).

ეილერის აღნიშვნა

პირველი წარმოებული Df მიღებულია დიფერენციალური ოპერატორის გამოყენებით. D ეილერის აღნიშვნით მისი გამოყენება f ფუნქციაზე. Dnd ნიშნავს n-ე წარმოებულს.

თუ y = f(x) არის დამოკიდებული ცვლადი, დამოუკიდებელი ცვლადი x ხშირად ირკვევა D-ზე x ქვესკრიპტის დამატებით.

თუმცა, როდესაც x ცვლადი გასაგებია. , მაგალითად, როდესაც ეს არის ერთადერთი დამოუკიდებელი ცვლადი, რომელიც შეიცავს განტოლებას, ეს ხელმოწერა ხშირად ჩერდება.

წრფივი დიფერენციალური განტოლებების გამოსახატავად და ამოსახსნელად ეილერის აღნიშვნა გამოსადეგია.

წარმოებულების გამოყენება მათემატიკაში

წარმოებულები ხშირად გამოიყენება მათემატიკაში. მათი გამოყენება შესაძლებელია ფუნქციის მაქსიმუმის ან მინიმუმის, მრუდის დახრილობის ან თუნდაც დახრის წერტილის დასადგენად.

ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე შემთხვევა, როდესაც ჩვენ გამოვიყენებთ წარმოებულს. და შემდეგი სექციები დეტალურად არის აღწერილი თითოეული მათგანის შესახებ. წარმოებულების გამოყენებაყველაზე ხშირად გვხვდება:

• რაოდენობის ცვლილების სიჩქარის გამოთვლა
• მნიშვნელობის კარგი შეფასება
• განტოლების პოვნა მრუდის ტანგენტისა და ნორმალურისთვის
• შებრუნების, მაქსიმალური და მინიმალური წერტილის იდენტიფიცირება
• მზარდი და კლებადი ფუნქციების შეფასება

წერტილის გამოსათვლელად გამოიყენება წარმოებული ფლექსიის, მაქსიმალური და მინიმალური წერტილის

წარმოებულების გამოყენება რეალურ ცხოვრებაში

წარმოებულები შეიძლება გამოყენებულ იქნას რეალურ ცხოვრებაში მრავალ სიტუაციაში. აქ მოცემულია რამდენიმე სიტუაციის სია, რომლებშიც შეგიძლიათ გამოიყენოთ დერივაცია:

• ბიზნესში მოგების და ზარალის გამოსათვლელად.
• ტემპერატურული ცვალებადობის გასაზომად.
• მოგზაურობის სიჩქარის გამოსათვლელად, როგორიცაა მილები საათში, კილომეტრები საათში და ა.შ.
• მიწისძვრის მაგნიტუდის დიაპაზონის პოვნა სეისმოლოგიური კვლევის საყვარელი ამოცანაა.

დასკვნა

• d2y/dx2 არის მეორე წარმოებული.
• (dy/dx) ^2 არის პირველი წარმოებული კვადრატში.
• წარმოებული გამოიყენება სხვადასხვა სფეროში რამდენიმე მიზნისთვის რეალურ ცხოვრებაში.
• წარმოებული გამოიყენება მათემატიკა მაქსიმალური და მინიმალური ქულების გამოსათვლელად.
• ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბიზნესში ბიზნესის ფინანსების გამოსათვლელად და მოგება-ზარალის გამოსათვლელად.