Вытворныя знаходзяць шмат ужыванняў па-за матэматыкай і паўсядзённым жыццём, у тым ліку ў такіх прадметах, як навука, інжынерыя, фізіка і інш.

Вы павінны авалодаць уменнем вылічваць вытворную розных функцый у папярэдніх курсах, у тым ліку трыганаметрычных, няяўных, лагарыфмаў і г.д.

d2y/dx2 і (dydx)^2 - дзве вытворныя ураўненні. Але каб зразумець іх, спачатку трэба зразумець, што такое другая вытворная.

Вытворная функцыі ў вылічэнні вядомая як другая вытворная, часам вядомая як вытворная другога парадку.

Другая вытворная, груба кажучы, вымярае, як змяняецца сама хуткасць змены велічыні. Напрыклад, другая вытворная становішча аб'екта ў залежнасці ад часу - гэта імгненнае паскарэнне аб'екта або хуткасць, з якой хуткасць аб'екта змяняецца ў залежнасці ад часу.

У гэтым артыкуле я раскажу вам, што гэта розніца паміж d2y/dx2=(dydx)^2 і тым, што менавіта азначае вытворная.

D2y/dx2 супраць (dydx)^2

Вытворная ад dy/dx (гэтыя 2 могуць выглядаць як індэкс, але гэта не так). (dydx)2, з іншага боку, з'яўляецца квадратам першай вытворнай.

Прыклад:

Вазьмем Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Першая вытворная: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Другая вытворная:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Квадрат першай вытворнай: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Што такое другая вытворная?

Калі вы дыферэнцуеце вытворную, вы атрымаеце другую вытворную. Памятайце, што dy/dx з'яўляецца вытворнай y адносна x. Другая вытворная, вымаўляецца “dee два y на d x у квадраце” прадстаўляецца як d2y/dx2.

Прыроду стацыянарных пунктаў можна прасцей высветліць з дапамогай другой вытворнай (незалежна ад таго, ці з'яўляюцца яны максімальнымі, мінімальнымі, або пункты перагіну).

Калі dy/dx = 0, крывая дасягае стацыянарнай кропкі. Тып стацыянарнай кропкі (максімум, мінімум або кропка перагіну) можна вызначыць з дапамогай другой вытворнай, як толькі месцазнаходжанне стацыянарнай кропкі ўстаноўлена.

Як вызначыць кропкі максімуму і мінімуму?

d2y/d2x з'яўляецца другой вытворнай.

Што такое вытворная?

Вытворная функцыі рэальнай зменнай у матэматыцы вызначае колькасцьадчувальнасць значэння функцыі (выходнага значэння) да змены яе аргумента (уваходнага значэння). Асноўным інструментам Calculus з'яўляецца вытворная.

Хуткасць прадмета, напрыклад, з'яўляецца вытворнай ад яго становішча ў часе. Ён колькасна вызначае, наколькі хутка змяняецца становішча аб'екта з цягам часу.

Калі гэта адбываецца, нахіл датычнай лініі да графіка функцыі пры зададзеным уваходным значэнні з'яўляецца вытворнай функцыі адной зменнай. Функцыя, бліжэйшая да гэтага ўваходнага значэння, лепш за ўсё лінейна апраксімуецца датычнай лініяй.

З-за гэтага вытворную часта называюць "імгненнай хуткасцю змены", якая з'яўляецца стаўленнем імгненнай змены залежнай зменнай да такой жа ў незалежнай зменнай.

Каб уключыць функцыі некалькіх рэчаісных зменных, можна абагульніць вытворныя. Гэта абагульненне пераасэнсоўвае вытворную як лінейнае пераўтварэнне, графік якога пасля адпаведнага перакладу з'яўляецца найлепшым лінейным набліжэннем да графіка зыходнай функцыі.

Што тычыцца асновы, забяспечанай выбарам незалежных і залежных зменных, матрыца Якобія - гэта матрыца, якая прадстаўляе гэта лінейнае пераўтварэнне.

Яна можа быць вылічана з выкарыстаннем частковых вытворных незалежных зменных. Вектар градыенту замяняе матрыцу Якабі для рэчаіснай функцыі некалькімізменныя.

Дыферэнцыяванне - гэта дзеянне вызначэння месцазнаходжання вытворнай. Антыдыферэнцыяцыя - гэта тэрмін супрацьлеглага працэсу. Антыдыферэнцыяцыя і інтэграванне звязаны ў фундаментальнай тэарэме вылічэння. Дзве фундаментальныя аперацыі вылічэння з адной зменнай - гэта дыферэнцыяванне і інтэграванне.

Паглядзіце гэта відэа, каб даведацца пра вытворныя і функцыі рэальнай зменнай

Розныя абазначэнні

Абазначэнні Лейбніца

У 1675 годзе Готфрыд Вільгельм Лейбніц увёў літары dx, dy і dy/dx. Нават сёння гэта часта выкарыстоўваецца, калі сувязь паміж залежнай і незалежнай зменнымі ва ўраўненні y = f(x) лічыцца функцыянальнай.

Зменная для дыферэнцыявання (у назоўніку) можа вызначацца з выкарыстаннем натацыі Лейбніца, якая важная для частковага дыферэнцыявання.

Натацыя Лагранжа

Адна з самых папулярных сучасных натацый дыферэнцыяцыі, часам вядомая як простая натацыя, выкарыстоўвае просты знак і прыпісваецца Жазэфу-Луі Лагранжу. Ён пазначае вытворную функцыі f як f1.

Апошняе абазначэнне абагульняецца, каб забяспечыць абазначэнне f(n) для n-й вытворнай ад f, што больш зручна пры абмеркаванні вытворнай як функцыі а не функцыя самога сябе, таму што натацыя Лейбніца можа быць складанай у гэтай сітуацыі.

Натацыя Ньютана

Кропка - гэтазмяшчаецца над назвай функцыі ў дыферэнцыявальнай натацыі Ньютана, часта вядомай як «кропкавая натацыя», для абазначэння вытворнай па часе.

У гэтай натацыі прадстаўлены толькі вытворныя адносна часу або даўжыні дугі. Звычайна гэта прымяняецца да дыферэнцыяльных раўнанняў у дыферэнцыяльнай геаметрыі і фізіцы. Аднак кропкавая натацыя не прымяняецца да некалькіх незалежных зменных і вытворных высокага парадку (парадку 4 і больш).

Абазначэнне Эйлера

Першая вытворная Df атрымліваецца з дапамогай дыферэнцыяльнага аператара D у абазначэнні Эйлера шляхам прымянення яго да функцыі f. Dnd азначае n-ю вытворную.

Калі y = f(x) з'яўляецца залежнай зменнай, незалежная зменная x часта ўдакладняецца шляхам дадання ніжняга індэкса x да D.

Хоць, калі зменная x разумеецца , напрыклад, калі гэта адзіная незалежная зменная, якая змяшчаецца ва раўнанні, гэты індэкс часта прапускаюць.

Для выражэння і рашэння лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў карысная натацыя Эйлера.

Прымяненне вытворных у матэматыцы

Вытворныя часта выкарыстоўваюцца ў матэматыцы. Іх можна выкарыстоўваць для вызначэння максімуму або мінімуму функцыі, нахілу крывой ці нават кропкі перагіну.

Ніжэй прыведзены некалькі выпадкаў, калі мы будзем выкарыстоўваць вытворную. У наступных раздзелах кожны з іх разглядаецца вельмі падрабязна. Прымяненне вытворныхчасцей за ўсё сустракаецца ў:

• Вылічэнні хуткасці змены велічыні
• Атрыманні добрай ацэнкі значэння
• Знаходжанні ўраўнення для датычнай і нармалі крывой
• Вызначэнне кропкі перагіну, максімумаў і мінімумаў
• Выкананне ацэнкі ўзрастаючай і спадальнай функцый

Для вылічэння кропкі выкарыстоўваецца вытворная кропка перагіну, максімальная і мінімальная кропкі

Прымяненне вытворных у рэальным жыцці

Вытворныя можна выкарыстоўваць у многіх сітуацыях у рэальным жыцці. Вось спіс некалькіх сітуацый, у якіх вы можаце выкарыстоўваць вывядзенне:

• Каб разлічыць прыбытак і страты ў бізнэсе.
• Каб вымераць змяненне тэмпературы.
• Для разліку хуткасці руху, напрыклад, мілі ў гадзіну, кіламетры ў гадзіну і г.д.
• Шматлікія фізічныя ўраўненні атрыманы з дапамогай вытворных.
• Вызначэнне дыяпазону магнітуды землятрусу - любімая задача ў сейсмалагічных даследаваннях.

Выснова

• d2y/dx2 з'яўляецца другім вывядзеннем.
• (dy/dx) ^2 - гэта першая вытворная ў квадраце.
• Вытворная выкарыстоўваецца ў розных сферах для розных мэтаў у рэальным жыцці.
• Вытворная выкарыстоўваецца ў матэматыка для разліку максімальных і мінімальных балаў.
• Яго можна выкарыстоўваць у бізнэсе для разліку фінансаў бізнесу і разліку прыбытку і страт.