বিজ্ঞান, প্রকৌশল, পদার্থবিদ্যা, এবং অন্যান্য বিষয়গুলি সহ শুধুমাত্র গণিত এবং দৈনন্দিন জীবনের বাইরে ডেরিভেটিভের অনেক ব্যবহার রয়েছে।

আপনি অবশ্যই ত্রিকোণমিতিক, অন্তর্নিহিত, লগারিদম ইত্যাদি সহ পূর্ববর্তী কোর্সে বিভিন্ন ফাংশনের ডেরিভেটিভ গণনা করার দক্ষতা অর্জন করেছেন।

d2y/dx2 এবং (dydx)^2 দুটি ডেরিভেটিভ সমীকরণ কিন্তু সেগুলি বোঝার জন্য, প্রথমে আপনাকে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি ঠিক কী তা বুঝতে হবে।

আরো দেখুন: হলিডে ইন VS হলিডে ইন এক্সপ্রেস (পার্থক্য) – সমস্ত পার্থক্য

ক্যালকুলাসে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হিসাবে পরিচিত, কখনও কখনও দ্বিতীয়-ক্রম ডেরিভেটিভ হিসাবে পরিচিত।

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, পরিমাপ করে কিভাবে একটি পরিমাণের পরিবর্তনের হার নিজেই পরিবর্তিত হচ্ছে। উদাহরণস্বরূপ, সময়ের সাপেক্ষে একটি বস্তুর অবস্থানের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হল বস্তুর তাৎক্ষণিক ত্বরণ বা সময়ের সাপেক্ষে বস্তুর গতিবেগ যে হারে পরিবর্তিত হয়।

এই নিবন্ধে, আমি আপনাকে বলব কী d2y/dx2=(dydx)^2 এবং ঠিক কি ডেরিভেটিভ মানে কি এর মধ্যে পার্থক্য।

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

dy/dx এর ডেরিভেটিভ (এইগুলি 2s সূচী স্বরলিপি মত দেখতে হতে পারে, কিন্তু তারা না)। (dydx)2, অন্যদিকে, প্রথম ডেরিভেটিভের বর্গ।

উদাহরণ:

Y=3 নিন???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

প্রথম ডেরিভেটিভ: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

প্রথম ডেরিভেটিভের বর্গ: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144<1

সেকেন্ড ডেরিভেটিভ কি?

যখন আপনি ডেরিভেটিভকে আলাদা করবেন, আপনি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পাবেন। মনে রাখবেন যে dy/dx হল x এর সাপেক্ষে y এর ডেরিভেটিভ। দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ, উচ্চারিত "dee two y by d x বর্গাকার," d2y/dx2 হিসাবে উপস্থাপিত হয়।

স্থির বিন্দুর প্রকৃতি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে আরও সহজে নির্ণয় করা যেতে পারে (সেগুলি সর্বাধিক বিন্দু, সর্বনিম্ন বিন্দু, বা ইনফ্লেশানের বিন্দু। স্থির বিন্দুর অবস্থান প্রতিষ্ঠিত হয়েছে৷

<11

d2y/d2x=ধনাত্মক	এটি একটি সর্বনিম্ন বিন্দু
d2y/d2x=0	স্থির বিন্দুর উভয় পাশে dy/dx-এর মান পরীক্ষা করুন, আগের মতো স্থির বিন্দু বিভাগে

কিভাবে ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা পয়েন্ট সনাক্ত করবেন?

d2y/d2x হল দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ।

ডেরিভেটিভ কি?

গণিতে একটি বাস্তব চলকের একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ পরিমাপ করেফাংশনের মানের সংবেদনশীলতা (আউটপুট মান) এর আর্গুমেন্টে (ইনপুট মান) পরিবর্তনের জন্য। ক্যালকুলাসের মূল হাতিয়ার হল ডেরিভেটিভ।

একটি আইটেমের বেগ, উদাহরণস্বরূপ, সময়ের সাপেক্ষে তার অবস্থানের ডেরিভেটিভ। এটি সময়ের সাথে সাথে বস্তুর অবস্থান কত দ্রুত পরিবর্তিত হয় তা পরিমাপ করে।

যখন এটি ঘটে, একটি প্রদত্ত ইনপুট মানতে ফাংশনের গ্রাফে স্পর্শক রেখার ঢাল একটি একক চলকের একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ। সেই ইনপুট মানের সবচেয়ে কাছের ফাংশনটি স্পর্শক রেখার দ্বারা রৈখিকভাবে আনুমানিকভাবে সবচেয়ে ভালো।

আরো দেখুন: কালো কেশিক বনাম সাদা কেশিক ইনুয়াশা (অর্ধ-পশু এবং অর্ধ-মানুষ) - সমস্ত পার্থক্য

এর কারণে, ডেরিভেটিভকে প্রায়শই "পরিবর্তনের তাত্ক্ষণিক হার" হিসাবে উল্লেখ করা হয়, যা স্বাধীন ভেরিয়েবলের সাথে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের তাত্ক্ষণিক পরিবর্তনের অনুপাত।

বেশ কয়েকটি বাস্তব ভেরিয়েবলের ফাংশন অন্তর্ভুক্ত করতে, ডেরিভেটিভগুলিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। এই সাধারণীকরণটি ডেরিভেটিভকে একটি রৈখিক রূপান্তর হিসাবে পুনরায় ব্যাখ্যা করে যার গ্রাফ, একটি উপযুক্ত অনুবাদের পরে, মূল ফাংশনের গ্রাফের সর্বোত্তম রৈখিক অনুমান।

স্বাধীন এবং নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের নির্বাচন দ্বারা প্রদত্ত ভিত্তি সম্পর্কে, জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্স হল ম্যাট্রিক্স যা এই রৈখিক রূপান্তরকে প্রতিনিধিত্ব করে।

এটি স্বাধীন ভেরিয়েবলের আংশিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টর একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের জন্য জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সকে বেশ কয়েকটি দিয়ে প্রতিস্থাপন করেভেরিয়েবল।

পার্থক্য হল একটি ডেরিভেটিভ সনাক্ত করার ক্রিয়া। অ্যান্টিডিফারেনসিয়েশান হল বিপরীত প্রক্রিয়ার শব্দ। ক্যালকুলাস ফান্ডামেন্টাল থিওরেমে এন্টিডিফারেন্সিয়েশন এবং ইন্টিগ্রেশন সম্পর্কিত। একক-ভেরিয়েবল ক্যালকুলাসের দুটি মৌলিক কাজ হল পার্থক্য এবং একীকরণ।

রিয়েল এ ভেরিয়েবলের ডেরিভেটিভস এবং ফাংশন সম্পর্কে জানতে এই ভিডিওটি দেখুন

বিভিন্ন স্বরলিপি

লিবনিজের স্বরলিপি

1675 সালে, Gottfried Wilhelm Leibniz dx, dy, এবং dy/dx অক্ষরগুলি প্রবর্তন করেন। এমনকি আজও, এটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় যখন y = f(x) সমীকরণে নির্ভরশীল এবং স্বাধীন চলকের মধ্যে সম্পর্ককে কার্যকরী বলে মনে করা হয়।

পার্থক্যের জন্য পরিবর্তনশীল (হরে) হতে পারে লিবনিজের স্বরলিপি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা হবে, যা আংশিক পার্থক্যের জন্য গুরুত্বপূর্ণ।

ল্যাগ্রেঞ্জের স্বরলিপি

সবচেয়ে জনপ্রিয় আধুনিক পার্থক্য স্বরলিপিগুলির মধ্যে একটি, যা কখনও কখনও প্রাইম নোটেশন হিসাবে পরিচিত, প্রাইম চিহ্ন ব্যবহার করে এবং জোসেফ-লুই ল্যাগ্রেঞ্জকে কৃতিত্ব দেওয়া হয়। এটি f1 হিসাবে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভকে বোঝায়।

পরের স্বরলিপিটি f এর nম ডেরিভেটিভের জন্য স্বরলিপি f(n) প্রদানের জন্য সাধারণীকরণ করে, যা একটি ফাংশন হিসাবে ডেরিভেটিভকে আলোচনা করার সময় আরও সুবিধাজনক। লাইবনিজের স্বরলিপি এই পরিস্থিতিতে জটিল হতে পারে।একটি সময় ডেরিভেটিভকে বোঝাতে নিউটনের ডিফারেন্সিয়েশন নোটেশনে ফাংশনের নামের উপরে স্থাপন করা হয়, যা প্রায়শই "ডট নোটেশন" নামে পরিচিত।

শুধুমাত্র সময় বা চাপের দৈর্ঘ্য সম্পর্কিত ডেরিভেটিভগুলি এই স্বরলিপি ব্যবহার করে উপস্থাপন করা হয়। সাধারণত, এটি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং পদার্থবিদ্যার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রয়োগ করা হয়। যাইহোক, ডট নোটেশনটি বেশ কয়েকটি স্বাধীন ভেরিয়েবল এবং উচ্চ-ক্রম ডেরিভেটিভের (অর্ডার 4 বা তার বেশি) ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

ইউলারের নোটেশন

প্রথম ডেরিভেটিভ ডিএফ ডিফারেনশিয়াল অপারেটর ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয় ডি অয়লারের স্বরলিপিতে এটি একটি ফাংশনে প্রয়োগ করে f। Dnd মানে nম ডেরিভেটিভ।

যদি y = f(x) একটি নির্ভরশীল চলক হয়, স্বাধীন চলক x ঘন ঘন সাবস্ক্রিপ্ট x যোগ করে স্পষ্ট করা হয় D এর সাথে।

যদিও যখন x পরিবর্তনশীল বোঝা যায় , যেমন যখন এটি সমীকরণে থাকা একমাত্র স্বাধীন পরিবর্তনশীল, তখন এই সাবস্ক্রিপ্টটি প্রায়শই ছেড়ে দেওয়া হয়।

রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রকাশ ও সমাধানের জন্য, অয়লারের স্বরলিপি সহায়ক৷

গণিতে ডেরিভেটিভের প্রয়োগ

ডেরিভেটিভগুলি প্রায়শই গণিতে ব্যবহৃত হয়৷ এগুলি একটি ফাংশনের সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন, একটি বক্ররেখার ঢাল বা এমনকি প্রবর্তন বিন্দু নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

নীচে কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হল যেখানে আমরা ডেরিভেটিভ ব্যবহার করব। এবং নিম্নলিখিত বিভাগগুলি তাদের প্রতিটি সম্পর্কে বিশদ বিবরণে যান। ডেরিভেটিভের প্রয়োগএটি প্রায়শই পাওয়া যায়:

• পরিমাণের পরিবর্তনের হার গণনা করা
• মানের একটি ভাল অনুমান পাওয়া
• একটি বক্ররেখার স্পর্শক এবং স্বাভাবিকের জন্য সমীকরণ খোঁজা
• ইনফ্লেকশন, ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা বিন্দু চিহ্নিত করা
• ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস ফাংশনগুলির একটি মূল্যায়ন করা

বিন্দু গণনা করতে একটি ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয় ইনফ্লেকশন, সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন বিন্দু

বাস্তব জীবনে ডেরিভেটিভের প্রয়োগ

ডেরিভেটিভগুলি বাস্তব জীবনে অনেক পরিস্থিতিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এখানে কয়েকটি পরিস্থিতির একটি তালিকা রয়েছে যেখানে আপনি ডেরিভেশন ব্যবহার করতে পারেন:

• ব্যবসায় লাভ এবং ক্ষতি গণনা করতে।
• তাপমাত্রার তারতম্য পরিমাপ করার জন্য।
• ভ্রমণের হার গণনা করতে, যেমন মাইল প্রতি ঘন্টা, কিলোমিটার প্রতি ঘন্টা, ইত্যাদি।
• অনেক পদার্থবিদ্যার সমীকরণ ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে উদ্ভূত হয়।
• ভূমিকম্পের মাত্রার পরিসীমা খুঁজে পাওয়া ভূমিকম্পবিদ্যা গবেষণায় একটি প্রিয় কাজ৷

উপসংহার

• d2y/dx2 হল দ্বিতীয় উদ্ভব৷
• (dy/dx) ^2 হল প্রথম ডেরিভেটিভ বর্গ।
• একটি ডেরিভেটিভ বাস্তব জীবনে বিভিন্ন উদ্দেশ্যে বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।
• এতে একটি ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয় সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট গণনা করার জন্য গণিত।
• এটি ব্যবসার আর্থিক হিসাব করতে এবং লাভ-ক্ষতির হিসাব করতে ব্যবসায় ব্যবহার করা যেতে পারে।