Las derivadas tienen muchos usos fuera de las matemáticas y la vida cotidiana, en materias como la ciencia, la ingeniería y la física, entre otras.

Debe haber dominado la capacidad de calcular la derivada de varias funciones en cursos anteriores, incluyendo trigonométrica, implícita, logaritmo, etc.

d2y/dx2 y (dydx)^2 son dos ecuaciones derivadas. Pero para entenderlas, primero hay que entender qué es exactamente la segunda derivada.

La derivada de una función en cálculo se conoce como segunda derivada, a veces conocida como derivada de segundo orden.

Por ejemplo, la segunda derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo es la aceleración instantánea del objeto o el ritmo al que cambia la velocidad del objeto con respecto al tiempo.

En este artículo, te contaré cuál es la diferencia entre d2y/dx2=(dydx)^2 y qué significa exactamente derivada.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivada de dy/dx (Estos 2 pueden parecer notación de índice, pero no lo son). (dydx)2, por otra parte, es el cuadrado de la primera derivada.

Ejemplo:

Toma Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

La primera derivada: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

La segunda derivada: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

El cuadrado de la primera derivada: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

¿Qué es la segunda derivada?

Al diferenciar la derivada, se obtiene la segunda derivada. Recuerda que dy/dx es la derivada de y respecto a x. La segunda derivada, que se pronuncia "dee dos y por d x al cuadrado", se representa como d2y/dx2.

La naturaleza de los puntos estacionarios puede determinarse más fácilmente utilizando la segunda derivada (si son puntos máximos, puntos mínimos o puntos de inflexión).

Cuando dy/dx = 0, una curva alcanza un punto estacionario. El tipo de punto estacionario (máximo, mínimo o punto de inflexión) puede determinarse utilizando la segunda derivada una vez establecida la ubicación del punto estacionario.

¿Cómo se identifican los puntos máximos y mínimos?

d2y/d2x es la segunda derivada.

¿Qué es un derivado?

En matemáticas, la derivada de una función de una variable real cuantifica la sensibilidad del valor de la función (valor de salida) a los cambios en su argumento (valor de entrada). La herramienta principal del cálculo es la derivada.

La velocidad de un objeto, por ejemplo, es la derivada de su posición con respecto al tiempo. Cuantifica la rapidez con que varía la posición del objeto a medida que pasa el tiempo.

Cuando se produce, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un valor de entrada dado es la derivada de una función de una sola variable. La función más cercana a ese valor de entrada es la mejor aproximada linealmente por la recta tangente.

Por ello, la derivada se denomina con frecuencia "tasa instantánea de cambio", que es la relación entre el cambio instantáneo de la variable dependiente y el de la variable independiente.

Para incluir funciones de varias variables reales, se pueden generalizar las derivadas. Esta generalización reinterpreta la derivada como una transformación lineal cuya gráfica, tras una traslación adecuada, es la mejor aproximación lineal a la gráfica de la función original.

En cuanto al fundamento proporcionado por la selección de variables independientes y dependientes, la matriz jacobiana es la matriz que representa esta transformación lineal.

Puede calcularse utilizando las derivadas parciales de las variables independientes. El vector gradiente sustituye a la matriz jacobiana para una función de valor real con varias variables.

Diferenciación es la acción de localizar una derivada. Antidiferenciación es el término para el proceso contrario. Antidiferenciación e integración están relacionadas en el teorema fundamental del cálculo. Las dos operaciones fundamentales del cálculo de una variable son la diferenciación y la integración.

Vea este vídeo para conocer las derivadas y la función de una variable real

Diferentes notaciones

La notación de Leibniz

En 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz introdujo las letras dx, dy y dy/dx. Incluso hoy en día, se emplea con frecuencia cuando la relación entre las variables dependiente e independiente en la ecuación y = f(x) se considera funcional.

La variable para la diferenciación (en el denominador) puede especificarse utilizando la notación de Leibniz, que es importante para la diferenciación parcial.

Notación de Lagrange

Una de las notaciones de diferenciación modernas más populares, a veces conocida como notación prima, utiliza la marca prima y se atribuye a Joseph-Louis Lagrange. Denota la derivada de una función f como f1.

Esta última notación se generaliza para proporcionar la notación f(n) para la enésima derivada de f, que es más conveniente cuando se discute la derivada como una función en lugar de una función de sí misma porque la notación de Leibniz puede ser complicada en esta situación.

Notación de Newton

En la notación de diferenciación de Newton, a menudo conocida como "notación de puntos", se coloca un punto sobre el nombre de la función para indicar una derivada temporal.

Sólo las derivadas con respecto al tiempo o a la longitud de arco se representan utilizando esta notación. Normalmente, se aplica a ecuaciones diferenciales en geometría diferencial y física. Sin embargo, la notación de puntos es inaplicable a varias variables independientes y derivadas de alto orden (orden 4 o más).

Notación de Euler

La primera derivada Df se obtiene utilizando el operador diferencial D en notación de Euler aplicándolo a una función f. Dnd representa la enésima derivada.

Si y = f(x) es una variable dependiente, la variable independiente x se aclara frecuentemente añadiendo el subíndice x a la D.

Aunque cuando se entiende la variable x, como cuando ésta es la única variable independiente contenida en la ecuación, este subíndice se omite con frecuencia.

Para expresar y resolver ecuaciones diferenciales lineales, resulta útil la notación de Euler.

Aplicación de las derivadas en matemáticas

Las derivadas se utilizan con frecuencia en matemáticas para determinar el máximo o el mínimo de una función, la pendiente de una curva o incluso el punto de inflexión.

A continuación se presentan algunos casos en los que utilizaremos la derivada. Y en las secciones siguientes se profundiza en cada uno de ellos. La aplicación de las derivadas es más frecuente en:

• Cálculo de la tasa de variación de una magnitud
• Obtener una buena estimación del valor
• Hallar la ecuación de la tangente y la normal de una curva
• Identificación del punto de inflexión, máximos y mínimos
• Evaluación de las funciones crecientes y decrecientes

Una derivada sirve para calcular el punto de inflexión, el punto máximo y el punto mínimo

Aplicación de los derivados en la vida real

Las derivadas pueden utilizarse en muchas situaciones de la vida real. Aquí tienes una lista de algunas situaciones en las que puedes utilizar la derivación:

• Calcular las pérdidas y ganancias de la empresa.
• Para medir la variación de temperatura.
• Para calcular la velocidad de desplazamiento, como millas por hora, kilómetros por hora, etc.
• Numerosas ecuaciones físicas se derivan utilizando derivadas.
• Encontrar el rango de magnitud de los terremotos es una de las tareas favoritas de la investigación sismológica.

Conclusión

• d2y/dx2 es la segunda derivada.
• (dy/dx) ^2 es la primera derivada al cuadrado.
• En la vida real, una derivada se utiliza en varios campos para diversos fines.
• Una derivada se utiliza en matemáticas para calcular puntos máximos y mínimos.
• Se puede utilizar en las empresas para calcular las finanzas de la empresa y calcular los beneficios y las pérdidas.