Johdannaisilla on monia käyttötarkoituksia myös matematiikan ja arkielämän ulkopuolella, esimerkiksi luonnontieteissä, tekniikassa ja fysiikassa.

Sinun on aiemmilla kursseilla pitänyt osata laskea eri funktioiden derivaatat, kuten trigonometriset funktiot, implisiittiset funktiot, logaritmit jne.

d2y/dx2 ja (dydx)^2 ovat kaksi derivaattayhtälöä. Mutta niiden ymmärtämiseksi sinun on ensin ymmärrettävä, mikä on toinen derivaatta.

Laskennassa funktion derivaatta tunnetaan nimellä toinen derivaatta, joskus myös toisen kertaluvun derivaatta.

Toinen derivaatta mittaa karkeasti ottaen sitä, miten suureen muutosnopeus itse muuttuu. Esimerkiksi kappaleen sijainnin toinen derivaatta ajan suhteen on kappaleen hetkellinen kiihtyvyys tai nopeus, jolla kappaleen nopeus muuttuu ajan suhteen.

Tässä artikkelissa kerron, mitä eroa on d2y/dx2=(dydx)^2:lla ja mitä derivaatta tarkalleen ottaen tarkoittaa.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivaatta dy/dx (Nämä 2:t saattavat näyttää indeksin merkinnöiltä, mutta ne eivät ole sitä). (dydx)2 on toisaalta ensimmäisen derivaatan neliö.

Esimerkki:

Ota Y=3 ???? 3+6 ???? 2y=3×3+6×2

Ensimmäinen derivaatta: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Toinen derivaatta: d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Ensimmäisen derivaatan neliö: (dydx)2=(9 ???? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Mikä on toinen johdannainen?

Kun differentioit derivaatan, saat toisen derivaatan. Muista, että dy/dx on y:n derivaatta x:n suhteen. Toinen derivaatta, joka lausutaan "dee kaksi y:tä d x:n neliöllä", esitetään muodossa d2y/dx2.

Pysähtyneiden pisteiden luonne voidaan helpommin selvittää toisen derivaatan avulla (ovatko ne maksimipisteitä, minimipisteitä vai käännepisteitä).

Kun dy/dx = 0, käyrä saavuttaa pysähtymispisteen. Pysähtymispisteen tyyppi (maksimi, minimi tai taivutuskohta) voidaan määrittää toisen derivaatan avulla, kun pysähtymispisteen sijainti on määritetty.

Miten tunnistaa maksimi- ja minimipisteet?

d2y/d2x on toinen derivaatta.

Mikä on johdannainen?

Matematiikassa reaalimuuttujan funktion derivaatta määrittää funktion arvon (lähtöarvon) herkkyyttä sen argumentin (tuloarvon) muutoksille. Derivaatta on laskennan keskeinen työkalu.

Esimerkiksi esineen nopeus on sen sijainnin derivaatta ajan suhteen, joka kertoo, kuinka nopeasti esineen sijainti muuttuu ajan kuluessa.

Kun se tapahtuu, funktion kuvaajan tangenttiviivan kaltevuus tietyllä tuloarvolla on yhden muuttujan funktion derivaatta. Tangenttiviiva approksimoi parhaiten tuota tuloarvoa lähimpänä olevaa funktiota lineaarisesti.

Tämän vuoksi derivaatasta käytetään usein nimitystä "hetkellinen muutosnopeus", joka on riippuvan muuttujan hetkellisen muutoksen suhde riippumattoman muuttujan muutokseen.

Derivaatat voidaan yleistää useiden reaalisten muuttujien funktioiden sisällyttämiseksi niihin. Tässä yleistyksessä derivaatta tulkitaan uudelleen lineaariseksi muunnokseksi, jonka kuvaaja on sopivan käännöksen jälkeen paras lineaarinen approksimaatio alkuperäisen funktion kuvaajalle.

Riippumattomien ja riippuvien muuttujien valinnan tarjoaman perustan osalta Jacobin matriisi on matriisi, joka edustaa tätä lineaarista muunnosta.

Se voidaan laskea käyttämällä riippumattomien muuttujien osittaisderivaattoja. Gradienttivektori korvaa Jacobin matriisin reaalisarvoiselle funktiolle, jossa on useita muuttujia.

Differentiointi on derivaatan paikantaminen. Antidifferentiaatio on termi päinvastaiselle prosessille. Antidifferentiaatio ja integrointi liittyvät toisiinsa laskennan perusteormistossa. Yhden muuttujan laskennan kaksi perusoperaatiota ovat differentiointi ja integrointi.

Katso tämä video, jossa kerrotaan reaalimuuttujan johdannaisista ja funktiosta.

Eri merkinnät

Leibnizin merkintätapa

Vuonna 1675 Gottfried Wilhelm Leibniz otti käyttöön kirjaimet dx, dy ja dy/dx. Vielä nykyäänkin sitä käytetään usein, kun riippuvan ja riippumattoman muuttujan välistä suhdetta yhtälössä y = f(x) pidetään funktionaalisena.

Differentioitava muuttuja (nimittäjässä) voidaan määrittää Leibnizin merkintätavalla, joka on tärkeä osittaisdifferentioinnin kannalta.

Lagrangen merkintätapa

Yksi suosituimmista nykyaikaisista differentiointimerkinnöistä, joka tunnetaan joskus myös nimellä prime-merkintä, käyttää prime-merkkiä, ja se on Joseph-Louis Lagrangen ansiota. Siinä funktion f derivaatta merkitään f1:ksi.

Jälkimmäinen merkintä yleistyy siten, että f:n n:nnelle derivaatalle saadaan merkintä f(n), joka on kätevämpi, kun käsitellään derivaattaa funktiona eikä funktiona itsestään, koska Leibnizin merkintätapa voi olla tässä tilanteessa monimutkainen.

Newtonin merkintätapa

Newtonin differentiointimerkinnässä, joka tunnetaan usein "pisteen merkintätapana", funktion nimen päälle laitetaan piste merkitsemään aikaderivaattaa.

Tätä merkintätapaa käytetään vain ajan tai kaaren pituuden suhteen. Yleensä sitä käytetään differentiaaliyhtälöissä differentiaaligeometriassa ja fysiikassa. Pistemerkintä ei kuitenkaan sovellu useisiin riippumattomiin muuttujiin ja korkeamman kertaluvun derivaattoihin (kertaluku 4 tai enemmän).

Eulerin merkintätapa

Ensimmäinen derivaatta Df saadaan käyttämällä Eulerin merkintätavan mukaista differentiaalioperaattoria D soveltamalla sitä funktioon f. Dnd tarkoittaa n:nnen derivaatan derivaattia.

Jos y = f(x) on riippuvainen muuttuja, riippumaton muuttuja x selvitetään usein lisäämällä D:hen alaviite x.

Tosin kun muuttuja x ymmärretään, esimerkiksi kun se on yhtälön ainoa riippumaton muuttuja, tämä alaviite jätetään usein pois.

Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ilmaisemisessa ja ratkaisemisessa on hyödyllistä käyttää Eulerin merkintätapaa.

Johdannaisten soveltaminen matematiikassa

Derivaattoja käytetään usein matematiikassa. Niiden avulla voidaan määrittää funktion maksimi tai minimi, käyrän kaltevuus tai jopa käännepiste.

Seuraavassa on muutamia tapauksia, joissa käytämme johdannaista. Seuraavissa kappaleissa käsitellään kutakin niistä yksityiskohtaisesti. Johdannaisia käytetään useimmiten:

• Määrän muutosnopeuden laskeminen
• Hyvän arvion saaminen arvosta
• Käyrän tangentin ja normaalin yhtälön löytäminen
• Taivutuskohdan, maksimien ja minimien tunnistaminen.
• Kasvavien ja vähenevien toimintojen arvioiminen

Derivaatan avulla lasketaan taivutuskohta, maksimi- ja minimipiste.

Johdannaisten soveltaminen tosielämässä

Derivaattoja voidaan käyttää monissa tosielämän tilanteissa. Seuraavassa on luettelo muutamista tilanteista, joissa voit käyttää derivaattoja:

• Yrityksen voiton ja tappion laskeminen.
• Lämpötilan vaihtelun mittaamiseksi.
• Matkavauhdin laskeminen, kuten mailit tunnissa, kilometrit tunnissa jne.
• Lukuisat fysiikan yhtälöt on johdettu käyttämällä derivaattoja.
• Maanjäristysten magnitudialueen löytäminen on seismologian tutkimuksen suosikkitehtävä.

Päätelmä

• d2y/dx2 on toinen derivaatta.
• (dy/dx) ^2 on ensimmäisen derivaatan neliö.
• Johdannaista käytetään eri aloilla useisiin eri tarkoituksiin tosielämässä.
• Derivaattaa käytetään matematiikassa maksimi- ja minimipisteiden laskemiseen.
• Sitä voidaan käyttää liiketoiminnassa yrityksen talouden laskemiseen ja voiton ja tappion laskemiseen.