Izvedenice imaju mnoge namjene izvan matematike i svakodnevnog života, uključujući predmete poput znanosti, inženjerstva, fizike i drugih.

Morali ste svladati sposobnost izračunavanja derivacije raznih funkcija u ranijim tečajevima, uključujući trigonometrijske, implicitne, logaritamske itd.

d2y/dx2 i (dydx)^2 dvije su derivacije jednadžbe. Ali da biste ih razumjeli, prvo morate razumjeti što je točno druga derivacija.

Derivacija funkcije u računu poznata je kao druga derivacija, ponekad poznata i kao derivacija drugog reda.

Druga derivacija, grubo govoreći, mjeri kako se sama stopa promjene količine mijenja. Na primjer, druga derivacija položaja objekta u odnosu na vrijeme je trenutna akceleracija objekta ili brzina kojom se brzina objekta mijenja u odnosu na vrijeme.

U ovom članku ću vam reći što je razlika između d2y/dx2=(dydx)^2 i onoga što točno izvedenica znači.

D2y/dx2 Vs (dydx)^2

Derivacija dy/dx (ovo 2 mogu izgledati kao zapis indeksa, ali nisu). (dydx)2 je, s druge strane, kvadrat prve derivacije.

Primjer:

Uzmimo Y=3 ???? 3 +6 ???? 2y=3×3+6×2

Prva derivacija: dy/dx=9 ???? 2+12 ???? dydx=9×2+12x

Drugi izvod:d2yd????2=18 ???? +12d2ydx2=18x+12

Kvadrat prve derivacije: (dydx)2=(9 ??? ? 2+12 ???? )2=(81 ???? 4+216 ???? 3+144

Što je druga derivacija?

Kada diferencirate derivaciju, dobit ćete drugu derivaciju. Upamtite da je dy/dx derivacija od y u odnosu na x. Druga derivacija, izgovorena “dee dva y po d x na kvadrat,” predstavlja se kao d2y/dx2.

Priroda stacionarnih točaka može se lakše utvrditi korištenjem druge derivacije (jesu li maksimalne točke, minimalne točke, ili točke infleksije).

Kada je dy/dx = 0, krivulja doseže stacionarnu točku. Vrsta stacionarne točke (maksimum, minimum ili točka infleksije) može se odrediti pomoću druge derivacije nakon što lokacija stacionarne točke je utvrđena.

Kako identificirati maksimalne i minimalne točke?

d2y/d2x je druga derivacija.

Što je derivacija?

Derivacija funkcije realne varijable u matematici kvantificiraosjetljivost vrijednosti funkcije (izlazne vrijednosti) na promjene u njezinom argumentu (ulazna vrijednost). Glavni alat Calculusa je derivat.

Brzina predmeta, na primjer, derivacija je njegovog položaja u odnosu na vrijeme. Kvantificira koliko brzo se položaj objekta mijenja kako vrijeme prolazi.

Kada se to dogodi, nagib tangente na grafikonu funkcije pri danoj ulaznoj vrijednosti derivacija je funkcije jedne varijable. Funkcija najbliža toj ulaznoj vrijednosti najbolje se linearno aproksimira tangentom.

Zbog toga se derivacija često naziva "trenutačna stopa promjene", što je omjer trenutne promjene u ovisnoj varijabli u odnosu na onu u nezavisnoj varijabli.

Da bi se uključile funkcije nekoliko realnih varijabli, derivacije se mogu generalizirati. Ova generalizacija reinterpretira derivaciju kao linearnu transformaciju čiji je graf, nakon odgovarajuće translacije, najbolja linearna aproksimacija grafa izvorne funkcije.

Što se tiče temelja koji je osiguran odabirom neovisnih i zavisnih varijabli, Jacobianova matrica je matrica koja predstavlja ovu linearnu transformaciju.

Može se izračunati korištenjem parcijalnih derivacija nezavisnih varijabli. Vektor gradijenta zamjenjuje Jacobianovu matricu za funkciju realne vrijednosti s nekolikovarijable.

Razlikovanje je radnja lociranja derivata. Antidiferencijacija je izraz za suprotan proces. Antidiferencijacija i integracija povezane su u temeljnom teoremu o računu. Dvije temeljne operacije računa s jednom varijablom su diferencijacija i integracija.

Pogledajte ovaj video da biste saznali više o izvedenicama i funkciji realne varijable

Različite oznake

Leibnizova notacija

1675. Gottfried Wilhelm Leibniz uveo je slova dx, dy i dy/dx. I danas se često koristi kada se odnos između zavisne i nezavisne varijable u jednadžbi y = f(x) smatra funkcionalnim.

Varijabla za diferencijaciju (u nazivniku) može specificirati korištenjem Leibnizove notacije, koja je važna za djelomičnu diferencijaciju.

Lagrangeova notacija

Jedna od najpopularnijih modernih notacija diferencijacije, ponekad poznata kao prim notacija, koristi oznaku prim i pripisuje se Joseph-Louisu Lagrangeu. Označava derivaciju funkcije f kao f1.

Posljednji zapis generalizira se tako da daje oznaku f(n) za n-tu derivaciju od f, što je prikladnije kada se govori o derivaciji kao funkciji nego sama funkcija jer Leibnizova notacija može biti komplicirana u ovoj situaciji.

Newtonova notacija

Točka jepostavljeno iznad naziva funkcije u Newtonovoj notaciji diferencijacije, često poznatoj kao "točkasta notacija", za označavanje vremenske derivacije.

Samo derivacije s obzirom na vrijeme ili duljinu luka predstavljene su ovom notacijom. Obično se primjenjuje na diferencijalne jednadžbe u diferencijalnoj geometriji i fizici. Međutim, notacija s točkama nije primjenjiva na nekoliko neovisnih varijabli i izvodnica visokog reda (reda 4 ili više).

Eulerova notacija

Prva derivacija Df dobiva se korištenjem diferencijalnog operatora D u Eulerovoj notaciji primjenom na funkciju f. Dnd označava n-tu derivaciju.

Ako je y = f(x) zavisna varijabla, nezavisna varijabla x često se pojašnjava dodavanjem indeksa x u D.

Iako kada se varijabla x razumije , primjerice kada je ovo jedina nezavisna varijabla sadržana u jednadžbi, ovaj indeks se često izostavlja.

Za izražavanje i rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi, Eulerova notacija je korisna.

Primjena derivacija u matematici

Derivacije se često koriste u matematici. Mogu se koristiti za određivanje maksimuma ili minimuma funkcije, nagiba krivulje ili čak točke infleksije.

U nastavku je nekoliko primjera u kojima ćemo koristiti izvedenicu. A sljedeći odjeljci detaljno govore o svakom od njih. Primjena izvedenicanajčešće se nalazi u:

• Izračunavanju brzine promjene veličine
• Dobivanju dobre procjene vrijednosti
• Pronalaženju jednadžbe za tangentu i normalu krivulje
• Identificiranje točke infleksije, maksimuma i minimuma
• Procjena rastućih i opadajućih funkcija

Izvodnica se koristi za izračunavanje točke infleksije, maksimalne i minimalne točke

Primjena izvedenica u stvarnom životu

Izvedenice se mogu koristiti u mnogim situacijama u stvarnom životu. Ovdje je popis nekoliko situacija u kojima možete koristiti derivaciju:

• Za izračun dobiti i gubitka u poslovanju.
• Za mjerenje temperaturnih varijacija.
• Za izračunavanje brzine putovanja, kao što su milje na sat, kilometri na sat, itd.
• Brojne fizičke jednadžbe izvedene su pomoću izvedenica.
• Pronalaženje raspona magnitude potresa omiljeni je zadatak u seizmološkim istraživanjima.

Zaključak

• d2y/dx2 je druga derivacija.
• (dy/dx) ^2 je prva derivacija na kvadrat.
• Derivacija se koristi u raznim područjima za nekoliko svrha u stvarnom životu.
• Derivacija se koristi u matematika za izračun maksimalnih i minimalnih bodova.
• Može se koristiti u poslovanju za izračun financija poduzeća i za izračun dobiti i gubitka.