للمشتقات استخدامات عديدة خارج الرياضيات والحياة اليومية فقط ، بما في ذلك في مواد مثل العلوم والهندسة والفيزياء وغيرها.

يجب أن تكون قد أتقنت القدرة على حساب مشتقات الوظائف المختلفة في الدورات السابقة ، بما في ذلك المثلثية ، الضمنية ، اللوغاريتم ، إلخ.

d2y / dx2 و (dydx) ^ 2 هما مشتقان المعادلات. لكن لفهمها ، أولاً ، عليك أن تفهم بالضبط المشتق الثاني.

تُعرف مشتقة دالة في التفاضل والتكامل بالمشتق الثاني ، وتُعرف أحيانًا باسم مشتق الدرجة الثانية.

المشتق الثاني ، بالمعنى التقريبي ، يقيس كيف يتغير معدل تغير الكمية نفسه. على سبيل المثال ، المشتق الثاني لموضع كائن فيما يتعلق بالوقت هو التسارع اللحظي للكائن أو المعدل الذي تتغير فيه سرعة الكائن بالنسبة إلى الوقت.

في هذه المقالة ، سأخبرك بماذا هو الفرق بين d2y / dx2 = (dydx) ^ 2 وماذا يعني المشتق بالضبط.

D2y / dx2 Vs (dydx) ^ 2

مشتق dy / dx (هذه قد تبدو 2s مثل تدوين الفهرس ، لكنها ليست كذلك). (dydx) 2 ، من ناحية أخرى ، هو مربع المشتق الأول.

مثال:

خذ Y = 3 ؟؟؟؟ 3 +6 ؟؟؟؟ 2y = 3 × 3 + 6 × 2

المشتق الأول: dy / dx = 9 ؟؟؟؟ 2 + 12 ؟؟؟؟ dydx = 9 × 2 + 12x

المشتق الثاني:d2yd ؟؟؟؟ 2 = 18 ؟؟؟؟ + 12d2ydx2 = 18x + 12

مربع المشتق الأول: (dydx) 2 = (9 ؟؟؟ ؟ 2 + 12 ؟؟؟؟ ) 2 = (81 ؟؟؟؟ 4 + 216 ؟؟؟؟ 3 + 144

ما هو المشتق الثاني؟

عندما تشتق المشتق تحصل على المشتق الثاني. تذكر أن dy / dx هو مشتق y بالنسبة إلى x. المشتق الثاني ، واضح يتم تمثيل "dee two y by d x squared" كـ d2y / dx2.

يمكن التحقق من طبيعة النقاط الثابتة بسهولة أكبر باستخدام المشتق الثاني (سواء كانت نقاط قصوى ، أو نقاط دنيا ، أو أو نقاط انعطاف).

عندما dy / dx = 0 ، يصل المنحنى إلى نقطة ثابتة. يمكن تحديد نوع النقطة الثابتة (الحد الأقصى ، أو الحد الأدنى ، أو نقطة الانعطاف) باستخدام المشتق الثاني بمجرد تم تحديد موقع النقطة الثابتة.

كيف يتم تحديد النقاط العظمى والصغرى؟

d2y / d2x هو المشتق الثاني.

ما هو المشتق؟

مشتق دالة لمتغير حقيقي في الرياضيات يحدد مقدارحساسية قيمة الوظيفة (قيمة المخرجات) للتغيرات في حجتها (قيمة الإدخال). الأداة الأساسية لحساب التفاضل والتكامل هي المشتق.

سرعة عنصر ما ، على سبيل المثال ، هي مشتق موقعه بالنسبة إلى الوقت. إنه يحدد مدى سرعة تغير موضع الكائن بمرور الوقت.

عندما يحدث ، يكون ميل خط الظل إلى الرسم البياني للوظيفة عند قيمة إدخال معينة هو مشتق دالة لمتغير واحد. من الأفضل تقريب الدالة الأقرب إلى قيمة الإدخال خطيًا بواسطة خط الظل.

لهذا السبب ، غالبًا ما يشار إلى المشتق على أنه "معدل التغيير اللحظي" ، وهو نسبة التغيير اللحظي في المتغير التابع إلى المتغير المستقل.

لتضمين وظائف للعديد من المتغيرات الحقيقية ، يمكن تعميم المشتقات. يعيد هذا التعميم تفسير المشتق على أنه تحويل خطي يمثل الرسم البياني الخاص به ، بعد ترجمة مناسبة ، أفضل تقريب خطي للرسم البياني للوظيفة الأصلية.

فيما يتعلق بالأساس الذي يوفره اختيار المتغيرات المستقلة والتابعة ، فإن المصفوفة اليعقوبية هي المصفوفة التي تمثل هذا التحويل الخطي.

يمكن حسابها باستخدام المشتقات الجزئية للمتغيرات المستقلة. يستبدل متجه التدرج المصفوفة اليعقوبية بالعديد من الدالة ذات القيمة الحقيقيةالمتغيرات.

التمايز هو عملية تحديد موقع المشتق. Antidifferentiation هو مصطلح للعملية المعاكسة. ترتبط نظرية التباين والتكامل في نظرية التفاضل والتكامل الأساسية. العمليتان الأساسيتان لحساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير هما التفاضل والتكامل.

شاهد هذا الفيديو للتعرف على المشتقات ووظيفة المتغير الحقيقي

الرموز المختلفة

تدوين لايبنيز

في عام 1675 ، قدم Gottfried Wilhelm Leibniz الأحرف dx و dy و dy / dx. حتى اليوم ، يتم استخدامه بشكل متكرر عندما تعتبر العلاقة بين المتغيرات التابعة والمستقلة في المعادلة y = f (x) وظيفية.

يمكن لمتغير التمايز (في المقام) يتم تحديدها باستخدام تدوين Leibniz ، وهو أمر مهم للتمايز الجزئي.

تدوين Lagrange

يستخدم أحد أكثر رموز التمايز الحديثة شيوعًا ، والمعروف أحيانًا باسم التدوين الأولي ، العلامة الأولية و ينسب إلى جوزيف لويس لاغرانج. يشير إلى مشتق الدالة f كـ f1.

يتم تعميم الترميز الأخير لتوفير الرمز f (n) للمشتق n من f ، وهو أكثر ملاءمة عند مناقشة المشتق كدالة بدلاً من وظيفة في حد ذاتها لأن تدوين Leibniz يمكن أن يكون معقدًا في هذه الحالة.

تدوين نيوتن

النقطة هييوضع فوق اسم الوظيفة في تدوين تفاضل نيوتن ، والمعروف غالبًا باسم "تدوين النقطة" ، للدلالة على مشتق زمني.

يتم تمثيل المشتقات فيما يتعلق بالوقت أو طول القوس فقط باستخدام هذا الترميز. عادة ، يتم تطبيقه على المعادلات التفاضلية في الهندسة التفاضلية والفيزياء. ومع ذلك ، فإن تدوين النقطة غير قابل للتطبيق على العديد من المتغيرات المستقلة والمشتقات عالية الرتبة (الترتيب 4 أو أكثر).

تدوين أويلر

يتم الحصول على المشتق الأول D باستخدام العامل التفاضلي D في تدوين أويلر بتطبيقه على دالة f. يشير Dnd إلى المشتق n.

إذا كانت y = f (x) متغيرًا تابعًا ، يتم توضيح المتغير المستقل x بشكل متكرر عن طريق إضافة الرمز x إلى D.

على الرغم من أنه عندما يتم فهم المتغير x ، على سبيل المثال عندما يكون هذا هو المتغير المستقل الوحيد الموجود في المعادلة ، غالبًا ما يتم ترك هذا الرمز المنخفض.

للتعبير عن المعادلات التفاضلية الخطية وحلها ، يكون تدوين أويلر مفيدًا.

تطبيق المشتقات في الرياضيات

كثيرًا ما تستخدم المشتقات في الرياضيات. يمكن استخدامها لتحديد الحد الأقصى أو الأدنى لوظيفة ما ، أو ميل المنحنى ، أو حتى نقطة الانعطاف.

فيما يلي بعض الحالات التي سنستخدم فيها المشتق. والأقسام التالية تتناول تفاصيل رائعة حول كل منها. تطبيق المشتقاتيوجد بشكل متكرر في:

• حساب معدل التغير للكمية
• الحصول على تقدير جيد للقيمة
• إيجاد معادلة ظل المنحنى والطبيعي
• تحديد نقطة الانعطاف ، والحد الأقصى ، والحد الأدنى
• إجراء تقييم للوظائف المتزايدة والمتناقصة

يتم استخدام المشتق لحساب النقطة من التصريف ، النقطة القصوى والدنيا

تطبيق المشتقات في الحياة الواقعية

يمكن استخدام المشتقات في العديد من المواقف في الحياة الواقعية. فيما يلي قائمة ببعض المواقف التي يمكنك فيها استخدام الاشتقاق:

• لحساب الربح والخسارة في العمل.
• من أجل قياس تغير درجة الحرارة.
• لحساب معدل السفر ، مثل ميل في الساعة ، كيلومتر في الساعة ، إلخ.
• يتم اشتقاق معادلات فيزيائية عديدة باستخدام المشتقات.
• يعد العثور على مدى قوة الزلزال مهمة مفضلة في أبحاث علم الزلازل.

الاستنتاج

• d2y / dx2 هو الاشتقاق الثاني.
• (dy / dx) ^ 2 هو أول مربع مشتق.
• يتم استخدام المشتق في مجالات مختلفة لعدة أغراض في الحياة الواقعية.
• يتم استخدام المشتق في الرياضيات لحساب الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.
• يمكن استخدامه في الأعمال التجارية لحساب الموارد المالية للشركة ولحساب الربح والخسارة.